1、这两项成果的前者被用来将微分方程改写为积分表达式，后者被用来求解有限元法所得出的代数方程组。高斯（Gauss）8在18世纪，另一位数学家拉格朗日提出泛泛函函分析。泛函分析是将偏微分方程改写为积分表达式的另一途径。拉格朗日（Lagrange J.）9在19世纪末及20世纪初，数学家瑞利和里兹（Rayleigh Ritz）首先提出可对全定义域全定义域运用展开函数运用展开函数来表达其上的来表达其上的未知函数未知函数。瑞利（Rayleigh）101915年，数学家伽辽金（Galerkin）提出了选择展开函数中形函数的伽辽金法伽辽金法，该方法被广泛地用于有限元。1943年，数学家库朗德第一次提出了可在定
2、义域内分片地使用展开函数来表达其上的未知函数。这实际上就是有限元的做法。1112（对象、变量、方程、求解途径）各力学学科分支的关系13（1）桥梁隧道问题14任意变形体力学分析的基本变量及方程研究对象：任意形状的变形体几种典型的对象圆形隧道三维模型15（2）中华和钟（3）矿山机械16（4）压力容器的成形17变形体及受力情况的描述18求解方法19有限元方法的思路及发展过程思路：以计算机为工具，分析任意变形体以获得所有力学信息，并使得该方法能够普及、简单、高效、方便，一般人员可以使用。实现办法：20技术路线：21发展过程：如何处理对象的离散化过程22.常用单元的形状常用单元的形状点点（质量质量）线线
3、（弹簧，梁，杆，间隙弹簧，梁，杆，间隙）面面（薄壳薄壳,二维实体二维实体,轴对称实体轴对称实体）二次二次体体（三维实体三维实体）线性线性二次二次.线性线性.23点点 单元单元线线 单元单元一维波传导问题一维波传导问题 24点点 单元单元线线 单元单元25面面 单元单元282930受垂直载荷的托架受垂直载荷的托架31线性单元线性单元/二次单元二次单元 更高阶的单元模拟曲面的精度就越高更高阶的单元模拟曲面的精度就越高。低阶单元低阶单元更高阶单元更高阶单元体体单元单元32 有限元分析的作用有限元分析的作用l 复杂问题的建模简化与特征等效复杂问题的建模简化与特征等效l 软件的操作技巧（单元、网格、算法
4、参数控制）软件的操作技巧（单元、网格、算法参数控制）l 计算结果的评判计算结果的评判l 二次开发二次开发l 工程问题的研究工程问题的研究l 误差控制误差控制36第二章 有限元分析的力学基础 2.1 变形体的描述与变量定义变形体的描述与变量定义（1）变形体 变形体：即物体内任意两点之间可发生相对移动。有限元方法所处理的对象：任意变形体38（2）基本变量的定义 可以用以下各类变量作为任意变形体的描述因此，在材料确定的情况下，基本的力学变量应该有：位移、应变、应力量39目的：对弹性体中的位移、应力、应变进行定义和表达，进而建立平衡方程、几何方程和材料物理方程（3）研究的基本技巧采用微小体积元dxdy
5、dz的分析方法（针对任意变形体）402.2 弹性体的基本假设弹性体的基本假设为突出所处理的问题的实质，并使问题简单化和抽象化，在弹性力学中，特提出以下几个基本假定。（1）物质连续性连续性假定：物质无空隙，可用连续函数来描述；（2）物质均匀性均匀性假定：物体内各个位置的物质具有相同特性；（3）物质（力学）特性各向同性各向同性假定：物体内同一位置的物质在各个方向上具有相同特性；（4）线性弹性线性弹性假定：物体的变形与外来作用的关系是线性的，外力去除后，物体可恢复原状；（5）小变形小变形假定：物体变形远小于物体的几何尺寸，在建立方程时，可以高阶小量（二阶以上）。以上基本假定将作为问题简化的出发点。4
6、12.3 基本变量的指标表达基本变量的指标表达指标记法的约定：自由指标自由指标：在每项中只有一个下标出现，如 ，i，j为自由指标，它们可以自由变化；在三维问题中，分别取为1，2，3；在直角坐标系中，可表示三个坐标轴x,y,z。哑指标哑指标：在每项中有重复下标出现，如：，j为哑指标。在三维问题中其变化的范围为1,2,342Einstein 求和约定：哑指标意味着求和指标记法的应用：指标记法的应用：对于方程组按一般的写法，可写为若用指标记法：（2-3）式与（2-2）式等价，因为j为哑指标，意味着求和（2-1）（2-2）（2-3）43克罗内克符号克罗内克符号 在笛卡尔直角坐标系下，由表示的Krone
7、cker（克罗内克）符号定义为 亦即44那么，矩阵=是单位矩阵。根据上述定义，可以推出下列关系 45弹性力学里假想把物体分成无限多微小六面体，称为微元体。考虑任一微元体的平衡（或运动），可写出一组平衡（或运动）微分方程及边界条件。但未知应力的数目总是超过微分方程的数目，所以弹性力学问题都是超静定的，必须同时考虑微元体的变形条件以及应力和应变的关系，它们在弹性力学中相应的称为几何方程和物理方程。平衡平衡（或运动）方程、几何几何方程和物理物理方程以及边界条件，称为弹性力学的基本方程。2.4 弹性力学的基本方法弹性力学的基本方法46从取微元体入手，综合考虑静力（或运动）、几何、物理三方面条件，得出其
8、基本微分方程，再进行求解，最后利用边界（表面）条件确定解中的常数，这就是求解弹性力学问题的基本方法。472.5 空间问题的基本方程空间问题的基本方程dydxdz483D情形下的力学基本变量将正应力和正应变简写成49abbaaddccxyxyyxyxyzyzzyzyzxzxxzxz50由力平衡条件有：化简得到平衡微分方程51平衡微分方程的矩阵形式为 其中，是微分算子 式中，b是体积力向量，52由力矩平衡条件有：全式除以dxdydz，合并相同的项，得 略去微量项，得 剪切力互等定律53二维问题：平衡微分方程剪切力互等定律54应力边界条件四面微分体Mabc 55斜微分面abc为其边界面的一部分，其外
9、法线N与各坐标轴夹角的余弦为cos（N，x）=l，cos（N，y）=m，cos（N，z）=n。从M点到斜微分面abc的垂直距离dh（图中未标出），是四面微分体的高。56四面微分体的体积为 假定斜微分面abc上作用的面力在三个坐标轴上的投影分别为体积力分量为X、Y、Z。设斜微分面的面积为dA，则其它三个微分面的面积为 Mac=dAl，Mab=dAm，Mcb=dAn。57考虑 将上式除以dA，并注意到体积力项 当令dh0取极限时，体积力一项趋于零。由此得到 考虑 考虑 应力边界条件58二维问题：应力边界条件59圣维南原理（局部影响原理）物体表面某一小面积上作用的外力，如果为一静力等效的力系所代替，
10、只能产生局部应力的改变，而在离这一面积稍远处，其影响可以忽略不计。606162均匀分布载荷作用下的平板，应力分布是均匀的。材料力学中的拉伸应力计算公式就是圣维南原理应用的结论。63一对集中力F/2作用点区域仍然有比较大的应力梯度变化，但是比等效力系F作用的变化小。远离力的作用点区域，应力分布仍然均匀。而且均匀区域更大。64几何方程：位移与应变的关系B1A11265设P点的位移分量为u和v，由于坐标x有一增量dx，A点的位移较P点的位移也有一相应的增量，从而A点的位移分量为：。同理，B点的位移分量为：66在小变形的前提下，APA1很小，可以认为，线段PA位移后的绝对伸长，可以用线段两端点沿x轴的
11、位移之差来表示，即：从而线段PA的正应变 为：同理线段PB的正应变 为：67对于三维情况的微分体，可以得到：因此，可以总结为：68下面，研究线段PA与PB间所夹直角的变化，即剪应变 xy。这个剪应变由两部分组成，一部分是与x轴相平行的PA向y轴方向的转角1；另一部分是与y轴平行的线段PB向x轴方向的转角 2。在小变形情况下69上式分母中的 ，可以略去。从而上式可简写为：同样可得：线段PA与PB间的剪应变 xy等于1与 2 之和：70至此，我们得到了六个应变分量与三个位移分量间的全部关系式：称为几何方程71几何方程式的矩阵形式为 为微分算子其中的转置 72变形连续方程由几何方程可知，六个应变分量
12、完全由三个位移分量u，v，w对x，y，z的偏导数所确定。因此，六个应变分量不会是互不相关的x，y，z的函数，相互之间必存在一定的关系。73从物理意义方面讲，物体在变形前是连续的，而在变形后仍是连续的。若六个应变分量互不相关，则每个微分体的变形是任意的，从而将使变形后的各微分体间出现“撕裂”或“重叠”，这显然与实际情况不符。要使物体变形后仍为连续的，六个应变分量间必满足一定的关系。下面推导这些关系。74六个应变分量间的关系，可以分为两组。第一组 分别求 对y，x的二阶导数，得将上两式相加，得 这就是应变分量间的一个关系式。75将x，y，z循环替换，可以得到 与 组成了第一组的三个关系式。76第二
13、组 分别求 对z，x，y的导数，得77将第二和第三式相加，减去第一式，得 再求上式对z的导数：78将x，y，z循环替换，可以得到 与 组成了第二组的三个关系式。上述六个微分关系式称为变形连续方程。79对于二维问题，由于几何方程简化为：由于只存在以上三个应变分量，且都仅为x和y的函数，则变形连续方程仅剩有 80物理方程前边对物体的应力和变形分别进行了讨论。这种分析适用于任何变形体，即所得出的一些结论和公式与物体的物理性质无关。但仅有应力和应变的分析还不能解决问题，还必须进一步研究应力和应变间的物理关系。81由简单的轴向拉伸试验可知，在单向应力状态下，处于弹性阶段时，应力应变呈线性关系，即 x=E
14、x 其中E为材料的弹性模量。这就是虎克定律。弹塑性范围斜率,E弹性范围应力应变82工程上，一般将应力与应变间的关系表示为称它们为物理方程（广义虎克定律）。83式中，E为弹性模量，为泊松比，G为剪切弹性模量，而且三者之间有如下的关系：这些弹性常数不随应力的大小而改变，不随位置坐标而改变，也不随方向而改变。因为我们曾假设物体是完全弹性的、均匀的，而且是各向同性的。84物理方程用六个应力分量表示六个应变分量。当然也可以用应变分量来表示应力分量。由上页的关系式及物理方程可以推出：85若令代表应变列阵和应力列阵，则应力应变关系可写成矩阵形式86其中称为弹性矩阵，由弹性常数E和 决定。87由广义虎克定律，有二维平面应力情况下的物理方程：物理方程逆形式88弹性问题中的能量表示弹性问题中的自然能量包括两类：外力功 应变能 （以位移为基本变量的表达）或应变余能（以应力为基本变量的表达）出于研究的需要，还要定义一些由自然能量所组合的物理量，如势能（以位移为基本变量的表达）、余能（以应力为
