1、对于信息丰富者，受到召集作用的权重。对于非信息丰富者，游向食物源的权重。由此可得鱼群觅食的集群运动情况。关键词：个体运动 集群运动 运动规则 一、 问题重述1.1问题背景 在动物界，大量集结成群进行移动或者觅食的例子并不少见，这种现象在食草动物、鸟、鱼和昆虫中都存在。这些动物群在运动过程中具有很明显的特征：群中的个体聚集性很强，运动方向、速度具有一致性。在生态系统中,动物个体的行为相对简单,集群后却能表现出复杂的群体行为。个体行为是构成群体行为的基础,个体之间的组织结构、个体行为之间的关系和群体行为的涌现机制是研究群体行为的关键要素。通过数学模型来模拟动物群的集群运动行为以及探索动物群中的信息
2、传递机制一直是仿生学领域的一项重要内容。目前主要研究有仿生的群体优化算法,群体组织内部的通信机制及其应用方面 ,如微粒群算法、 蚁群算法、 群体机器人等。1.2 目标任务 题目要求查阅相关资料，思考动物集群运动的机理，建立数学模型刻画动物集群运动、躲避威胁等行为，主要针对以下问题分析建模：1. 建立数学模型模拟动物的集群运动。 2. 建立数学模型刻画鱼群躲避黑鳍礁鲨鱼的运动行为。3. 假定动物群中有一部分个体是信息丰富者（如掌握食物源位置信息，掌握迁徙路线信息），请建模分析它们对于群运动行为的影响，解释群运动方向决策如何达成。二、模型假设（1） 假设所有个体鱼具有相同的物理特性；（2） 假设所
3、有个体鱼具有有限感知能力以及遵循共同的行为规则 ；（3） 假设所有个体鱼之间的相互作用及信息的交互不受外界因素影响； （4） 假设捕食者和个体的运动速度相等并且保持不变；（5） 假设所有信息丰富者掌握的是同一食物源的信息。三、符号说明符号符号说明Ai鱼群中的个体鱼R个体鱼感知范围的半径下一个时间步长周期个体鱼的运动方向本周期t中A1的游动方向周期 t当前个体到邻居平均位置的方向邻居的平均方向 小于碰撞距离的邻居到当前个体方向的平均值个体鱼决策方向是的权重值个体鱼为了躲避威胁而以最快方式逃逸的方向该个体鱼受其它个体发出的告警信号的平均方向r个体间避免碰撞的最小距离R0捕食者的威胁范围四、问题分析
4、在自然界中，动物出于生存、避险、觅食、求偶、繁殖等原因往往选择采取群体行为的方式。某些动物个体的行为相对简单,集群后却能表现出复杂的群体行为。这些动物群在运动过程中具有聚集性很强，运动方向、速度保持一致性等明显的特征。在生态系统中,个体行为是构成群体行为的基础。本文认为由个体简单运动到群体复杂行为是存在一种映射关系的。个体之间的组织结构、个体行为之间的关系和群体行为的涌现机制是研究群体行为的关键要素。文章的总体思路是要从个体的行为、个体与个体的相互作用、个体在群体中的作用等角度出发，通过数学方法模拟动物的群体运动行为，并利用Matlab软件编程实现模型的仿真，探索动物群的集群运动行为以及动物群
5、中的信息传递机制。对问题一：题目要求建立合理的数学模型来模拟动物的集群运动。为了能够建立简洁易懂的模型，在本文中选取鱼群为研究对象，研究鱼群的形成和行为，希望通过研究个体鱼的运动机制科学阐释集群行为的内在变化原因。针对鱼群的形成、结构和行为，很多研究者从不同角度提出了一些理论和模型。本文通过研究个体鱼在群体中位置和速度随时间的不断变化的规律，采取从个体到局部，从局部到整体，自下向上的建模思想 ,对个体鱼进行建模 ,进而通过个体遵循一定的行为规则来研究个体之间以及个体和环境之间的相互作用，最终探讨出鱼群集群运动的形成机理，并合理推广至对动物群的研究。对问题二：题目要求建立数学模型刻画鱼群躲避黑鳍
6、礁鲨鱼的运动行为。针对这个问题，本文在问题一研究的基础上，考虑仍然沿用其个体鱼的运动模型。当有某些个体受到鲨鱼威胁时，它们一方面选择最快的逃逸方式躲避，一方面发出告警信号与其感知范围内的其它个体进行信息交互。这样，这些受威胁的个体鱼和得到告警信号的个体鱼在下一时刻的运动方向就较其它个体及其上一时刻有了较大不同。基于此，可以采用数学公式计算其不同范围内的个体鱼的运动方向和位置坐标的变化。对问题三：假设动物群中的部分信息丰富者是提前已知的，并且其不一定是集聚的。为了简化问题的研究，本文仍然以鱼群为例，探讨鱼群觅食的集群行为。当有一部分个体掌握食物源位置信息，这部分个体直接向食物源运动，同时通过个体
7、间的信息交互将信息传递给其它个体，引起其它个体运动状态和位置坐标的改变，从而形成集群的觅食行为。五、模型的建立5.1问题一的模型5.1.1 模型的分析个体行为是构成群体行为的基础，在一个集群中所有个体行为的匹配结合就映射一种集群的运动行为。为了研究集群的运动行为就必须研究清楚集群中每一个个体的运动行为和由个体构成的局部的运动行为。对于研究的鱼群行为来说，本文采取自下而上的建模方法，根据对问题的分析，文章对这种模型分为三层：最下层分析个体鱼（设为）的运动模型，并且假定个体鱼的运动满足设定的游动规则5，模型具有普遍地适用性。中间层通过分析个体鱼之间的相互作用，个体鱼的运动信息所能影响到的范围，形成
8、局部（局部1局部n）的行为。在最上层分析局部行为扩大到集群就构成集群运动的行为模型。从个体到集群的行为关系略图如下图。图 1 个体到集群的行为关系图5.1.2 模型的建立5.1.2.1个体鱼运动模型1. 个体鱼运动的的简化本文描述的是个数为N的一群可视为质点的个体鱼在L*L的二维周期边界条件的平面运动的情况，并且每一时刻每个个体鱼运动的速度大小均相同。2. 对个体鱼的定义每一个个体鱼是一个自驱动的个体，形状大小相同，具有一定的感知能力。它能感知的范围是以其质心为圆点的半径为R的圆形区域，且它能感知这一区域内其他个体鱼的所有动态信息（包括速度大小和方向，有没有发出告警信号等）。3. 运动规则描述
9、（1）惯性规则，个体鱼在得到需要改变运动的信号时，鱼游动的方向不可能立刻改变 ,这时表现出一种惯性的作用。（2）靠近规则，为了不脱离鱼群，需要尽量靠近邻居的中心。如图a.（3）对齐规则，为了保持鱼群运动的连贯性，每个个体鱼尽量与邻居的方向一致。如图b.（4）规避规则，为了保持鱼群运动的一致性，个体鱼运动尽量避免碰撞。如图c. 图a 图b 图c图 2 运动规则描述示意图4. 运动模型的建立假设每一个体鱼在t时刻具有相同大小的速度，而运动速度的方向是任意的或随机的，并且位置坐标在给定的平面内是已知的。建立个体鱼的运动模型就是要研究个体鱼在下一个时刻t+1（1表示一个时间步长）时刻运动的方向和在坐标
10、平面内的位置。3中的四条规则对改变鱼下一时刻游动方向都起一定作用, 那么在本文中把这四个方向的平均方向作为鱼下一时刻游动的方向。取个体鱼A1研究其运动。由于方向就是与水平方向的夹角, 因此仅仅需要对上述四个方向与水平方向的夹角进行平均 ,即为下一时刻该鱼的游动方向。用公式表示为： （1）其中 为下一个时间步长周期个体鱼的运动方向, 为本周期t中A1的游动方向, 为周期 t当前个体到邻居平均位置的方向, 为邻居的平均方向, 为小于碰撞距离的邻居到当前个体方向的平均值 （见图 3）。图 3 运动方向的确定图考虑到各规则对鱼的影响力不同, 个体鱼作为自主决策的自驱体在决策时考虑的先后级不同，所以还需
11、要对各个方向加权, 取加权平均值 ,权重的大小文中可以根据偏好确定。则公式转化为： （2）其中。下面给出四个规则所代表的四个方向的具体实现方法：（1） 惯性规则的实现：为本周期t中A1的游动方向, 本周期内的运动方向由上一时刻的运动方向所确定，即。（2） 靠近规则的实现: 每个个体都有向邻居中心靠拢的特性, 邻居中心为观察范围内各个体所在位置的平均值。假设当前A1所处的位置为，为当前各个邻居的位置 ， 则邻居平均位置，为周期 t当前个体到邻居平均位置的方向,则 （3）（3） 对齐规则的实现: 个体会和它的邻居朝同一个方向游动。公式表示为 ： （4）其中为各个邻居的方向, N 为邻居的个数, 为
12、邻居的平均方向。（4）避免碰撞规则的实现:当个体和它的邻居靠的太近时 （距离小于碰撞距离 ） ,应自动避开。公式表示为： （5）其中为小于碰撞距离的邻居到当前个体方向的平均值,M 为邻居中小于碰撞距离的邻居个数。最后根据以上计算可得出个体 A1的位置迭代规则为： （6）5.1.2.2局部运动模型（1）个体间的感知感知问题前以述及，个体鱼在鱼群中相互感知，二维空间内，感知范围为半径为R的圆面，通过个体鱼之间的通信，传递位置和运动信息以及其他信号。（2）通信机制通信范围：与感知范围一致。通信对象：位于Ai的通信范围内的所有个体鱼。通信过程：当Ai的位置坐标发生变化后，Ai立即更新其通信范围内的通信对象；能及时将所有通信对象；所有通信对象能将它们的位置、运动等信息传递给Ai。通过Ai与通信对象之间的通信，实现个体鱼在群体中的局部交互。（3）鱼群的局部交互鱼在群体中排列十分紧密，但有时拥挤会造成身体遮挡了部分感知范围，但是离散的鱼却能组合成连贯的鱼群结构，实现全局的统一。但是，如果假设每条鱼能够与其他所有个体进行交互，获取全局信息，那么所有鱼都将集聚在鱼群的质心，而不是一种均匀的分布。因而可以推断在鱼群中只存在局部交互。局部的交互，经过反复协调，最终达成全局的和谐结构。鱼群运动是一个和谐的整体，而局部与局部是在整体中相交互联的。而且个体之间的交互
