1、等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形 三角形的分类： （1）按边分类：直角三象形斜三角形锐角三角形钝角三角形 （2）按角分类： 三角形的主要线段的定义：（1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段表示法：1.AD是ABC的BC上的中线.2.BD=DC=BC.三角形的中线是线段；三角形三条中线全在三角形的内部；三角形三条中线交于三角形内部一点；中线把三角形分成两个面积相等的三角形（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段1.AD是ABC的BAC的平分线.2.1=2=BAC.三角形的角平分线是线段；三角形三条角平分线全
2、在三角形的内部；三角形三条角平分线交于三角形内部一点；用量角器画三角形的角平分线（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段1.AD是ABC的BC上的高线.2.ADBC于D.3.ADB=ADC=90.三角形的高是线段；锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；三角形三条高所在直线交于一点4. 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意： （1）如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部. （2）如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.图4图3如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，
3、锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形直角顶上.图5图6图75.三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边6. 三角形的角与角之间的关系：（1）三角形三个内角的和等于180;（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.（4）直角三角形的两个锐角互余.三角形的内角和定理定理：三角形的内角和等于180推论：直角三角形的两个锐角互余。三角形的外角的
4、定义三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角. 所以说一个三角形有六个外角，但我们每个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.三角形外角的性质（1）三角形的外角和等于360（三个外角的和）。（2）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和（3）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角7三角形的稳定性：三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性（1）三角形具有稳定性；图8（2）四边形没有稳定性.适当添加辅助线，寻找基本图形（1）基本图形一，如图8，在DABC中，AB=AC，B,A,D成一条直线，则DAC
5、=2B=2C或B=C=DAC.图9（2）基本图形二，如图9，如果CO是AOB的角平分线，DEOB交OA,OC于D,E，那么DDOE是等腰三角形，DO=DE.当几何问题的条件和结论中，或在推理过程中出现有角平分线，平行线，等腰三角形三个条件中的两个时，就应找出这个基本图形，并立即推证出第三个作为结论.即：角平分线+平行线等腰三角形.基本图形三，如图10，如果BD是ABC的角平分线，M是AB上一点，MNBD，且与BP,BC相交于P,N.那么BM=BN，即DBMN是等腰三角形，且MP=NP，即：角平分线+垂线等腰三角形.当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时，就应找出这个基本图形，如等腰三角
6、形不完整就应将基本图形补完整，如图11，图12. 图118.三角形知识扩充:1直角三角形中各元素间的关系：如图，在ABC中，C90，ABc，ACb，BCa。（1）三边之间的关系：a2b2c2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：AB90；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinAcosB，cosAsinB，tanA。2斜三角形中各元素间的关系：如图6-29，在ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：ABC。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。（R为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减
7、去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC。9三角形的面积公式：（1）Sahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；（2）SabsinCbcsinAacsinB；（3）S；（海伦公式）（4）S；公式（4）可由公式（2）通过正玄定理 和 公式“ Sin（B+C）=SinA ”推出,学生可以自己推导。 公式（1）和（2）学生必须掌握，公式（3）和（4）建议掌握。10.特殊三角形的性质和判定：一、等腰三角形1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三
8、角形。 2. 等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 3. 等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 4. 等边三角形的性质： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60 5. 等边三角形的判定： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形； （2）有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。 6. 含30角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。二、直角三角形 1. 认识直角三角形。学会用符号和字母表示直角三角形。 按照角的
9、度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号“Rt”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。如果ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。 如果ABAC且A90，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。 2. 掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。 3. 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。 4. 掌握“直角三角形斜边上
10、中线等于斜边的一半”性质。能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。5在直角三角形中如果一个锐角是30，则它所对的直角边等于斜边的一半”。难点：在直角三角形中如何正确添加辅助线 通常有两种辅助线：斜边上的高线和斜边上的中线。【例题精讲】 双基训练*1.已知等腰三角形ABC的底边BC=8，|AC-BC|=3，则腰AC的长为 。*二.若等腰三角形的周长为12，腰长为x，则腰长x的取值范围是 。*三.已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15和6两部分，则腰长与底边的长分别为 。*四.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这条高与底边的夹角为 。*五.在ABC中，AB=AC，AB的中垂线与A
11、C所在直线相交所得的锐角为500，则底角B的大小为 。*六.已知两根木棒的长分别是8cm、10cm，要选择第三根木棒将它们钉成一个三角形，那么第三根木棒长x的范围是 ；如果以5cm为等腰三角形的一边，另一边为10cm，则它的周长应为 。*7.图14-32是由两个全等的有一个角为300的直角三角形拼成的，其中，两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数自变量（ ）。 （A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个 *八.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为a，则其底边上的高是 。纵向应用*1.如图14-33，在ABC中，D、E分别是AC、AB边上的点，BD与CE交于点O，给
12、出下列四个条件：EBO=DCO；BEO=CDO；BE=CD；OB=OC。 （1）上述四个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）？ （2）选择第（1）小题中的一种情形，证明：ABC是等腰三角形。*二.如图14-34，已知1=2，EFAD于点P，交BC延长线于点M，求证：BME=（ACB-B）.*三.如图14-35，在RtABC中，C=900，ADBC，CBE=ABE。求证：ED=2AB *四.如图14-36，在ABC中，AB=AC，CM是边AB上的中线，BD=AB，求证：CD=2CM*五.如图14-37，在ABC中，AD是A的平分线，CDAD，垂足为D，G为BC的中点，求证：DGC=B。*6. 如图14-38，已知等边ABC的周长为6，BD是AC边上的高，E是BC延长线上一点，CD=CE，求BDE的周长。*7. 如图14-39，已知AB=AC，BD、CE分别是B、C的平分线，AMBD于点M，ANCE于点N，求证：AMN是等腰三角形。横向拓展*一. 已知等腰三角形三边的长为a、b、c且a=c，若关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0的两根之差为，则等腰三角
