1、将代入方程（2）的左边,得 =所以是方程（2）的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有两个任意常数,但它不一定是方程式（2）的通解. 2.线性相关、线性无关的概念设为定义在区间I内的n个函数,若存在不全为零的常数使得当在该区间内有, 则称这n个函数在区间I内线性相关,否则称线性无关.例如 在实数范围内是线性相关的,因为又如在任何区间（a,b）内是线性无关的,因为在该区间内要使必须.对两个函数的情形,若常数, 则,线性相关,若常数, 则,线性无关.3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理2 如果与是方程式（2）的两个线性无关的特解,则为任意常数）是方程式（2）的通解.例
2、如, 是二阶齐次线性方程,是它的两个解,且常数,即,线性无关, 所以 （ 是任意常数）是方程的通解. 由于指数函数（r为常数）和它的各阶导数都只差一个常数因子, 根据指数函数的这个特点,我们用来试着看能否选取适当的常数,使满足方程（2）.将求导,得把代入方程（2）,得因为, 所以只有 （3） 只要满足方程式（3）,就是方程式（2）的解.我们把方程式（3）叫做方程式（2）的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中的系数及常数项恰好依次是方程（2）的系数. 特征方程（3）的两个根为 , 因此方程式（2）的通解有下列三种不同的情形.（1）当时，是两个不相等的实根. ,是方程（2）的两个特解,并且常数,
3、即与线性无关.根据定理2,得方程（2）的通解为 （2）当时, 是两个相等的实根.,这时只能得到方程（2）的一个特解,还需求出另一个解,且常数,设, 即.将代入方程（2）, 得整理,得由于, 所以 因为是特征方程（3）的二重根, 所以从而有 因为我们只需一个不为常数的解,不妨取,可得到方程（2）的另一个解那么,方程（2）的通解为 即 .（3）当时,特征方程（3）有一对共轭复根 （）于是 利用欧拉公式 把改写为 之间成共轭关系,取=,方程（2）的解具有叠加性,所以,还是方程（2）的解,并且常数,所以方程（2）的通解为 综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:（1）写出方程（2）的特征方程
4、 （2）求特征方程的两个根（3）根据的不同情形,按下表写出方程（2）的通解. 特征方程的两个根 方程 的通解两个不相等的实根两个相等的实根一对共轭复根例1求方程的通解.解: 所给方程的特征方程为 所求通解为 .例2 求方程满足初始条件的特解.解 所给方程的特征方程为 通解为 将初始条件代入,得 ,于是,对其求导得将初始条件代入上式,得所求特解为例3求方程的通解.其根为 所以原方程的通解为 二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3 设是方程（1）的一个特解,是式（1）所对应的齐次方程式（2）的通解,则是方程式（1）的通解.证明 把代入方程（1）的左端:使方程（1）的两端恒等,所以是方程（
5、1）的解.定理4 设二阶非齐次线性方程（1）的右端是几个函数之和,如 （4） 而与分别是方程 与 的特解,那么就是方程（4）的特解, 非齐次线性方程（1）的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.型的解法,其中为常数,是关于的一个次多项式. 方程（1）的右端是多项式与指数函数乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程（1）的特解可能为,其中是某个多项式函数. 把 代入方程（1）并消去,得 （5） 以下分三种不同的情形,分别讨论函数的确定方法: （1） 若不是方程式（2）的特征方程的根, 即,要使式（5）的两端恒等,可令为另一个次多项式:代入（5）式,并比较两端关于同次幂的系数,就得到关于未知数的个方程.
6、联立解方程组可以确定出.从而得到所求方程的特解为（2） 若是特征方程的单根, 即,要使式（5）成立, 则必须要是次多项式函数,于是令用同样的方法来确定的系数. （3） 若是特征方程的重根,即 .要使（5）式成立,则必须是一个次多项式，可令 综上所述,若方程式（1）中的,则式（1）的特解为其中是与同次多项式,按不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程的一个特解.解 是型, 且对应齐次方程的特征方程为 ,特征根根为.=-2是特征方程的单根, 令,代入原方程解得故所求特解为 .例5 求方程的通解.解 先求对应齐次方程的通解.特征方程为 , 齐次方程的通解为
7、. 再求所给方程的特解由于是特征方程的二重根,所以把它代入所给方程,并约去得 比较系数,得所给方程的通解为 3.型的解法其中、均为常数. 此时,方程式（1）成为 （7） 这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式（7）的特解也应属同一类型,可以证明式（7）的特解形式为其中为待定常数.为一个整数.当不是特征方程的根, 取0;当不是特征方程的根, 取1;例6 求方程的一个特解.解 ，不是特征方程为的根，.因此原方程的特解形式为将代入原方程，得解得 原方程的特解为:例7 求方程的通解. 解 先求对应的齐次方程的通解.对应的齐次方程的特征方程为 再求非齐次方程的一个特解.由于,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为的特解、,则 是原方程的一个特解.由于,均不是特征方程的根,故特解为代入原方程,得比较系数,得 解之得 .于是所给方程的一个特解为 所以所求方程的通解为
