1、线段的垂直平分线的性质和判定 第1课时 教案 探究版线段的垂直平分线的性质和判定 （第1课时） 教案 探究版教学目标 知识与技能：1探究线段垂直平分线的性质2线段垂直平分线的判定过程与方法：通过自主探索线段垂直平分线的性质；学会用性质解决实际问题的过程，逐步培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力情感、态度：1学生在理解探索性质中，培养学生勇于探索的精神，树立积极思考，克服困难的信心2在探究的过程中，更大程度地激发学生学习的主动性和积极性，并使学生具有一些初步研究问题的能力教学重点：1线段垂直平分线的性质和判定2能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题教学难点灵活运用线段的垂直平分线的性质
2、和判定解题教学策略：鼓励学生自主学习、积极探究思考还有注意引导学生加强对解题思路的分析、解题思想方法的概括和及时的归纳总结教具准备：多媒体课件教学过程设计一、情境导入（教师用多媒体演示）如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等所以在这个问题中，要求在“A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓
3、库的距离相等”利用此性质就能完成进一步提问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?”设计意图：通过问题，让学生在解决问题的同时，回顾线段垂直平分线的性质二、探究新知1探究1师：多媒体展示下图，引导学生思考如下图木条l与AB钉在一起，l垂直平分AB，P1，P2，P3，是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3，到A与B的距离，你有什么发现？学生活动：1学生用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB，过AB中点作AB的垂直平分线l，在l上取P1，P2，P3，连接AP1，BP1，AP2，BP2，AP3，BP3，2作好图后，用直尺量出AP1，BP1，AP2，BP2，AP3，BP3，讨论发现什么样的规律
4、探究结果：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等即AP1BP1，AP2BP2，AP3BP3，师：能用我们已有的知识来证明这个结论吗？学生讨论给出证明教师请两位学生黑板板演，集体纠正，并多媒体展示正确答案证法1：利用两个三角形全等如下图，在APC和BPC中，证明：lAB，PCAPCB又ACCB，PCPC，APCBPC（SAS）PAPB用符号语言表示为：CACB，lAB，PAPB证法二：利用轴对称性质由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线l对折，线段PA与PB是重合的，因此它们也是相等的定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等带着探究1的结论我们来看下面的问题2探究2如
5、下图用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？学生活动：1学生用平面图形将上述问题进行转化作线段AB，取其中点P，过P作l，在l上取点P1，P2，连接AP1，AP2，BP1，BP2会有以下两种可能甲 乙2讨论：要使l与AB垂直，AP1，AP2，BP1，BP2应满足什么条件？探究过程：学生分组讨论，由代表举手发言，教师多媒体展示结论1如上图甲，若AP1BP1，那么沿l将图形折叠后，A与B不可能重合，也就是APP1BPP1，即l与AB不垂直2如上图乙，若AP1BP1，那么沿l将图形折叠后，A与B恰好重合，就有AP
6、P1BPP1，即l与AB垂直当AP2BP2时，亦然探究结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上也就是说在探究2图中，只要使箭端到弓两端的端点的距离相等，就能保证射出箭的方向与木棒垂直师：你能证明上面的结论吗？学生讨论给出证明学生黑板板演，教师多媒体展示证明过程，对比学生解答，纠正问题已知：如图，PAPB求证：点P在线段AB的垂直平分线上证明：过点P作线段AB的垂线PC，垂足为C则PCAPCB90在RtPCA和RtPCB中，PAPB，PCPC，RtPCARtPCB（HL）ACBC又PCAB，点P在线段AB的垂直平分线上用数学符号表示为：PAPB，点P在AB的垂直平分线上判定
7、定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上师：你能再找一些到线段AB两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB两端点距离相等的点？这些点能组成什么几何图形？生：在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B的距离都相等；反过来，与A，B的距离相等的点都在直线l上，所以直线l可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合设计意图：通过学生动手操作，思考问题，猜测结论，培养了学生的直观猜测能力，教师通过层层设问引入，激发学生的探究欲望；同时通过小组讨论交流，培养学生的合作学习能力，让不会的同学问出来，让会的同学讲出来，达到共同提高的教学目的，也营造了宽松和谐的课堂气氛三、典例精讲例
8、已知：如图，在 ABC 中，AB = AC，O 是 ABC 内一点，且 OB = OC求证：直线 AO 垂直平分线段BC学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程师生共同完成：证明： AB = AC， 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）设计意图：应用线段垂直平分线的性质定理，在解答过程中，引导学生分析解决问题的方法四、课堂练习1如图，在ABC中，BC8，AB的中垂线交B
9、C于D，AC的中垂线交BC与E，则ADE的周长等于_2如下图，ADBC，BDDC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？ABBD与DE有什么关系？3如下图，ABAC，MBMC直线AM是线段BC的垂直平分线吗？设计意图：及时巩固所学知识，了解学生的学习效果，增强学生灵活运用知识的能力答案：182解：ADBC，BDDC，AD是BC的垂直平分线ABAC点C在AE的垂直平分线上，ACCEABACCEABCE，BDDC，ABBDCDCE即ABBDDE3解：ABAC，点A在BC的垂直平分线上MBMC，点M在BC的垂直平分线上直线AM是线段BC的垂直平分线五、课堂小结1本节课学习了哪些
10、内容？2线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？两者之间有什么关系？3如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？设计意图：通过提出问题，使学生思考总结所学内容，培养学生归纳总结能力；通过对性质定理和判断定理的复习，使学生找出区别与联系，避免概念的混淆六、布置作业1如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP2CP甲、乙两人想在AB上取两点D，E，使得ADDCCEEB，其作法如下：（甲）作ACP，BCP之角平分线，分别交AB于D，E，则D，E即为所求；（乙）作AC，BC之中垂线，分别交AB于D，E，则D，E即为所求对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（ ）A两人都正确 B两人都错误C甲正确
11、，乙错误 D甲错误，乙正确2如图，在ABC中，EF是AC的垂直平分线，AF12，BF3，则BC_3如图，BD垂直平分CE，ED3 cm，ABE的周长为11 cm，则ACE的周长为_答案：1D 215 317 cm七、 课堂检测设计1三角形纸片上有一点P，量得PA3 cm，PB3 cm，则点P一定（ ）A是边AB的中点 B在边AB的中线上C在边AB的高上 D在边AB的垂直平分线上2如图，在ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E若EDC的周长为24，ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为_3如图，ABC中，BC7，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，
12、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G求AEG的周长4如图，已知AB比AC长2 cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，ACD的周长是14 cm，求AB和AC的长答案：1D解析：点P到线段AB两个端点的距离相等，点P在线段AB的垂直平分线上26解析：由ABC与四边形AEDC的周长之差为12，可知BEBDDE12，由EDC的周长为24可知CECDDE24，由DE是BC边上的垂直平分线可知BECE，BDCD，所以BEBDDE24，得2DE12，所以DE63解：DE，GF分别是AB，AC的垂直平分线，BEAE，CGAGAEG的周长AEEGAGBEEGCGBC7答：AEG的周长为74解析：利用垂直平分线的性质，把相等的线段“集中”到一个三角形中解：DE是BC的垂直平分线，DBDCACADCD14 cm，ACADDB14，即ACAB14 cm又ABAC2 cm，设ABx cm，ACy cm，根据题意得解得即AB长8 cm，AC长6 cm
