1、2分析三种变异( 1)组间变异:各处理组均数之间不尽相同,这种变异叫做组间变异( variation among groups ),组间变异反映了处理因素的作用(处理确有作用时 ),也包括了随机误差( 包括个体差异及测定误差 ), 其大小可用组间均方( MS 组 k2间)表示,即 MS 组间= SS组间 / 组间 , 其中, SS组间= ni (xi x)2 , 组间 =k-1 为组间自由度。 k 表示处理组数。i1( 2)组内变异:各处理组内部观察值之间不尽相同,这种变异叫做组内变异 (variation within groups) ,组内变异反k ni 映了随机误差的作用, 其大小可用组
2、内均方 (MS组内) 表示, MS组内 SS组内 / 组内 ,其中 SS组内 (xij xi)2 ,i1 j 1组内 N k ,为组内均方自由度。(3)总变异:所有观察值之间的变异(不分组) ,这种变异叫做总变异 (total variation) 。其大小可用全体数据的方 k ni差表示, 也称总均方 (MS总 )。按方差的计算方法, MS总= SS总 / 总 ,其中SS总= (xij x)2, k为处理组数, nii1j1为第 i 组例数, 总 =N-1 为总的自由度, N 表示总例数。(二)方差分析的应用条件( 1) 各样本是相互独立的随机样本,且来自正态分布总体。( 2) 各样本的总体
3、方差相等,即方差齐性 (homoscedasticity) 。(三)不同设计资料的方差分析1完全随机设计的单因素方差分析( 1)资料类型:完全随机设计 (completely random design) 是将受试对象完全随机地分配到各个处理组。设计因素 中只考虑一个处理因素,目的是比较各组平均值之间的差别是否由处理因素造成。(2) 方差分析表:见表 5-1。F F 时,拒绝 H0: 1 2 L L k 。表 5-1 完全随机设计方差分析计算表来源SSMSF值组间SS组间组间 k 1= SS组间MS组间=MS组间F=MS组内组内( 误差 )SS组内 =SS总 SS 组间组内 = 总 - 组内
4、=N- kSS组内MS组内=总计SS总总= N 1总2随机区组设计的两因素方差分析随机区组设计( randomized block design )是将受试对象按自然属性(如实验动物的窝别、 体重,病人的性别、年龄及病情等)相同或相近者组成单位组(区组) ,然后把每个组中的受试对象随机地分配给 不同处理。设计中有两个因素,一个是处理因素,另一个是按自然属性形成的单位组。单位组的选择原则是“单位 组间差别越大越好,单位组内差别越小越好” 。( 2)方差分析表:见表 5-2。 F 处理 F 时,拒绝 H0: 1 2 L L表 5-2 随机区组设计方差分析计算表kmultipleLSD-t 检验:称
5、为最小显著差异 t 检验。适用于 k 组中某一对或某几对在专业上有特殊意义的均数间差检验统计量为 t 值,自由度为方差分析表中的误差自由度,查4多组资料方差起行检验当各组标准差相差较大(如 1.5 倍)时,需检验资料是否满足方差齐性的条件。5. 变量变换当资料不能满足方差分析的条件时,如果进行方差分析, 可能造成错误的判断。因此对于明显偏离上述应用条件 的资料,可以通过变量变换的方法来加以改善。常用的变量变换方法有:( 1)对数变换 对数变换不仅可以将对数正态分布的数据正态化, 还能使数据方差达到齐性, 特别是各样本的标 准差与均数成比例或变异系数接近于一个常数时。变换公式为:(5-4)X l
6、g X 当原始数据中有小值或零时,可用 X lg(X 1)( 2)平方根变换 常用于使服从 Possion分布的计数资料或轻度偏态的资料正态化; 当各样本的方差与均数呈正 相关时,可使资料达到方差齐性。(5-5)XX当原始数据中有小值或零时,可用 X X 0.5( 3)倒数变换 常用于数据两端波动较大的资料,可使极端值的影响减小。X 1/ X (5-6)(4)平方根反正弦变换 常用于服从二项分布的率或百分比资料。 一般地,当总体率较小 ( 70%)时,通过平方根反正弦变换,可使资料接近正态,且达到方差齐性的要求。(5-7)X sin 1 X(5)秩转换后,采用秩和检验比较组间差别(祥见第九章)
7、6两因素析因设计方差分析处理含有两因素两水平的全面组合。例如治疗肿瘤术后病人,可采用 4 种方法:既不放疗也不化疗( a0b0);放疗 不化疗( a1b0);不放疗化疗( a0b1);既放疗又化疗( a1b1)。设放疗为 A 因素(两水平) ,化疗为 B 因素(两水平) , 则构成 2 2 析因设计,目的是分析 A 的主效应, B 的主效应及 AB 的交互作用。7重复测量资料的方差分析 受试对象随机分组后,多次测量某一观察指标,以比较处理效应在不同时间点有无变化。如试验组和对照组的轻 度高血压病人入院前、治疗后 1天、 2天、 3天、 4天的血压变化。设处理分组为 A 因素,重复测量的时间点为
8、 B因 素,目的是分析 A 的主效应和 AB 的交互作用。三、典型试题分析本题考点:方差分析过程中离均差平方和的分解、离均差平方和与均方的关系。组间变异和组内变异, 总离均差平方和等于组间离均差平方和与组内离均差平方差 之和,因此,等式 SS总=SS组间+SS组内是成立的。离均差平方和除以自由度之后的均方就不再有等式关系,因此 C 选项不成立。 A 、B 选项不一定成立。 D 选项为正确答案。)。单因素方差分析中,当 P0.05 时,可认为(C各总体均数都不相等 D 各总体均数相等答案: B 评析 本题考点:方差分析的检验假设及统计推断。方差分析用于多个样本均数的比较, 它的备择假设 (H1)
9、是各总体均数不等或不全相等, 当 P0.05 时,接受 H1, 即认为总体均数不等或不全相等。因此答案选 B。3. 以下说法中不正确的是( )A方差除以其自由度就是均方B方差分析时要求各样本来自相互独立的正态总体C方差分析时要求各样本所在总体的方差相等D完全随机设计的方差分析时,组内均方就是误差均方 答案: A 评析 本题考点:方差分析的应用条件及均方的概念。5组内变异)的概率为 5%。A.两种设计试验效率一样B.随机单位组设计的误差一定小于完全随机设计C.随机单位组设计的变异来源比完全随机设计分得更细D.以上说法都不对 答案: C。评析 :两种设计及其方差分析的区别。 两种设计不同,随机区组
10、设计除处理因素外,还考虑了单位组因素。进行方差分析时,变异来源多分解出 项:单位组间变异。因此 C 选项为正确答案。四、习 题一) 名词解释1均方 2方差分析基本思想 3总变异 4组间变异6完全随机设计 7随机区组设计(二) 单项选择题1 两样本均数的比较,可用(A 方差分析B t 检验C两者均可D方差齐性检验2配伍组设计的方差分析中,配伍 等于( )。A 总 - 误差B 总- 处理C 总- 处理 + 误差D 总 - 处理 - 误差3在均数为 , 标准差为 的正态总体中随机抽样, | X4当自由度( 1, 2)及显著性水准 都相同时,方差分析的界值比方差齐性检验的界值( )。A 大 B小 C相
11、等 D 不一定5方差分析中变量变换的目的是( )。A 方差齐性化 B曲线直线化 C变量正态化 D 以上都对 6下面说法中不正确的是( )。A 方差分析可以用于两个样本均数的比较B完全随机设计更适合实验对象变异不太大的资料C在随机区组设计中,每一个区组内的例数都等于处理数D在随机区组设计中,区组内及区组间的差异都是越小越好 7随机单位设计要求( )。A 单位组内个体差异小,单位组间差异大B单位组内没有个体差异,单位组间差异大C单位组内个体差异大,单位组间差异小D单位组内没有个体差异,单位组间差异小8完全随机设计方差分析的检验假设是( )。A 各对比组样本均数相等 B各对比组总体均数相等C各对比组
12、样本均数不相等 D各对比组总体均数不相等9完全随机设计、随机区组设计的 SS和及自由度各分解为几部分( )。A 2,2 B2,3 C2,4 D 3,310配对 t 检验可用哪种设计类型的方差分析来替代( )。A 完全随机设计 B随机区组设计C两种设计都可以 D AB 都不行(三)简答题1 t 检验和方差分析的应用条件?2如何合理选择检验水准 ?3以 t 检验为例,说明检验假设中 和 P的区别。32 个(四)计算题 1某湖水在不同季节氯化物含量测定值如表 5-3 所示。问不同季节氯化物含量有无差别?若有差别,进行水平的两两比较。表 5-3 某湖水不同季节氯化物含量( mg/L )春夏秋冬22.619.118.919.022.813.616.921.024.517.217.618.015.114.820.015.216.613.121.918.414.221.520.116.716.221.219.6Xij167.9159.3131.9129.358