1、高等数学考研知识点总结第一讲函数、极限与连续一、考试要求1理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会建立应用问题的函数关系。2了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。5理解（了解）极限的概念，理解（了解）函数左、右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。6掌握（了解）极限的性质，掌握四则运算法则。7掌握（了解）极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握（会）利用两个重要极限求极限的方法。8理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。9理解函
2、数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型10了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。11.掌握（会）用洛必达法则求未定式极限的方法。二、内容提要1、函数（1）函数的概念: y=f(x)，重点：要求会建立函数关系.（2）复合函数: y=f(u), u=，重点：确定复合关系并会求复合函数的定义域.（3）分段函数: 注意，为分段函数.（4）初等函数：通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的函数。（5）函数的特性：单调性、有界性、奇偶性和周期性*注：1、可导奇(偶)函数的导函数为偶(奇)函
3、数。特别：若为偶函数且存在，则2、若为偶函数，则为奇函数； 若为奇函数，则为偶函数；3、可导周期函数的导函数为周期函数。特别：设以为周期且存在，则。4、若f(x+T)=f(x), 且，则仍为以T为周期的周期函数.5、设是以为周期的连续函数，则，6、 若为奇函数，则；若为偶函数，则7、设在内连续且存在，则在内有界。2、极限 (1) 数列的极限： (2) 函数在一点的极限的定义： (3) 单侧极限: 1) 左右极限 2) 极限存在的充要条件： (4) 极限存在的准则 1) 夹逼定理：数列情形，函数情形 2) 单调有界数列必有极限(5)极限的基本性质：唯一性，保号性，四则运算*1）极限不等式注：不成
4、立2）局部保号性则在某内3）局部有界性 则在某内有界。4） (6) 两类重要极限 (7) 无穷小量与无穷大量 1) 无穷小量; 2) 无穷大量; （注意与无界变量的差异） 3) 无穷小量与无穷大量的关系 (8) 无穷小量阶的比较 (9) 罗比达法则3、连续 1) 连续的定义 2) 区间上的连续函数 3) 间断点及其分类 4) 闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最值定理、介值定理、零点定理三、*重要公式与结论1、常见极限不存在的情形：1) 方法：用无穷小量乘有界变量 2） 方法：分或讨论. 2、 特别：若 3、无穷小量的等价代换 若，则有 特别注意：（， （）， （），设，且，(1) (2)
5、(3) (4) 若，则（0712）当时，与等价的无穷小量是（A） （B）（C） （D）4 、 若 由此有 5、极限的形式与关系（1）（2）（3），6、若，则 (i) (ii) 若，则 (i) (ii) 7、设在处连续，则（1）（2）（3）（4）不存在四、典型题型与例题题型一、 函数的概念和性质例1、设 ，则=（A） 0 （B） 1 （C） （D） 例2、对下列函数 （1） （2） （3） 在（0，1）内有界的有（ ）个 （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3例3、（0434）函数在下列哪个区间内有界 （A）（-1，0） （B）（0，1） （C） （1，2） （D）（2，3）例4、（05
6、34）以下四个命题中正确的是（ ）（A） 若在（0，1）内连续，则在（0，1）内有界（B） 若在（0，1）内连续，则在（0，1）内有界（C） 若在（0，1）内有界，则在（0，1）内有界（D） 若在（0，1）内有界，则在（0，1）内有界例5、（051、2）设是连续函数的一个原函数，则必有（A）是偶函数是奇函数（B）是奇函数是偶函数（C）是周期函数是周期函数（D）是单调函数是单调函数题型二、 极限的概念和性质例6、 当时，是（A） 无穷小 （B）无穷大（C）有界的但不是无穷小（D）无界的但不是无穷大例7、设对，总有，且，则 （A） 存在且等于0 （B）存在但一定不为0 （C）一定不存在 （D）不一
7、定存在例8、已知在处连续，且，求题型三、求函数的极限基本思路：1、先化简 （1）约掉零因子（无穷因子） （2）提出极限不为零的因子 （3）根式有理化 （4）无穷小替换 （5）变量替换（尤其是倒代换）2、再用洛必达法则或其它求极限的方法3、上述步骤可重复进行 1、常规方法：1) 运算法则，2)无穷小量等价代换，3）洛必塔法则1）用运算法则应注意的问题例9、求极限例10、求极限罗毕达法则1、或型1、先化简2、用洛必达法则、四则运算法则、泰勒公式3、综合题（结合导数的定义等）例11、求例12、求极限例13、（042）求极限例14、（0734）= 罗毕达法则2、 型型未定式有两种处理方法或例15、求例
8、16、例17、（101）极限(A)1 . (B) . (C). (D). 【】罗毕达法则3、其他类型1、型转化为型，用洛必达法则等2、3、型 (i) 通分 (ii) 变量替换（重点倒代换） 转化为型。4、不是未定式例18、求极限例19（0434）求2、变形方法：1) 变量代换；2) 导数定义；3) 泰勒公式; 特别若f(x)二阶连续可导，则有例20、设f(x)连续， f(0)=0, f(0)0, 求例21、求下列极限(泰勒公式),例22、求法一、有理化，无穷小替换、洛必达法则法二、泰勒公式3、抽象函数例23、若，求。题型四、求数列的极限思路：1、转化为函数的极限。2、数列用递推公式给出，可考虑
9、单调有界原理。3、对通项适当放大（缩小），用夹逼准则。4、和（积）的极限，可考虑用定积分的定义。1、 利用函数极限求数列的极限方法：1、 2、若例24、求2、利用数列的收敛准则（1）、两个准则（2）、已知可导 1）若，则单调，且 2）若，则不单调（3）、若存在使得，则例25、设证明，并求其解。例26、设证明，并求其解。3、利用定积分定义(适合n项求和的情形)思路：1、求出项和或积（积可转化为和），再求极限。 2、利用夹逼准则。 3、利用定积分的定义 4、利用已知级数的和。公式： 1） 2）例27、等于（A） （B）（C） （D）例28、求3、其他方法例29、（用级数收敛性）解：考虑级数由于级数
10、收敛，所以=0例30、（用中值定理）解：用拉格朗日中值定理（介与之间） =） 因而=题型五、反问题求已知极限中的待定参数，函数值，导数及函数等命题方式：1、已知极限存在 2、已知无穷小阶的比较 3、已知函数的连续性或间断点类型思路：1、将极限转化为 2、洛必达法则 3、泰勒公式例31、已知求的值例31、已知当时，是的高阶无穷小，求值例33、（022）已知在可导，且满足，求题型六、无穷小量的比较1、 掌握低阶无穷小、高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小等概念2、 当时，若，则例34、设函数则当时，是的（A） 低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但不等价的无穷小例35、（0412）把
11、时的无穷小，从高阶到低阶排列例36、设f(x)连续，且当x0时，F(x)=是与x3等价的无穷小量，则f(0)=.例37、（103）设f (x)=ln10 x, g (x)= x , h (x)= , 则当x充分大时有 (A) g (x) h (x) f (x). (B) h (x) g (x) f (x) . (C) f (x) g (x) h (x) . (D) g (x) f (x) h (x) . 【】题型七、判断函数的连续性与间断点的类型1、 初等函数在其有定义的区间内是连续的。2、 连续隐含的条件。3、 会判断函数的连续性（特别是分段函数在分界点处的连续性，要考虑左右极限）。4、 会求函数的间断点，并能判断其类型。5、 闭区间上连续函数的性质。例38、设在处连续，求的值例39、设f(x)=，则f(x)有( ).(A) 两个第一类间断点(B) 三个第一类间断点(C) 两个第一类间断点和一个第二类间断点(D) 一个第一类间断点和一个第二类间断点例40、（103）函数的无穷间断点数为(A) 0. (B)1. (C) 2. (D) 3. 【】
