1、 行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。即=；行列式对行满足的性质对列也同样满足。性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.如: D=ad-bc , =bc-ad= -D以r表第i行，C表第j列。交换 i,j两行记为r,交换i,j两列记作CC。性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k乘这个行列式。（第i行乘以k，记作r）推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素
2、都为零，那么行列式值等于零。推论3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列式值等于零。性质5：如果行列式D的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么行列式D等于两个行列式D1和D2的和。=+性质6：把行列式的某一行（或某一列）的元素乘同一个数后，加到另一行（或另一列）的对应元素上，行列式值不变。推论 如果行列式的某一行（列）的每个元素都是m个数之和（m2），则此行列式等于m个行列式之和。一个n阶行列式，如果它的元素满足：；试证：当n为奇数时，此行列式为零。每一行（或列）提出一个（-1），再转置得D=（-1）nD性质7 行列式的某一行（列）的各元素与另一行（列）
3、的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。按行：按列：将性质7 与Laplace定理合并为下列结论： （1） 和 （2）行列式的计算1利用行列式定义直接计算例1 计算行列式解 Dn中不为零的项用一般形式表示为.该项列标排列的逆序数t（n1 n21n）等于，故2利用行列式的性质计算例2 一个n阶行列式的元素满足则称Dn为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由知，即故行列式Dn可表示为由行列式的性质当n为奇数时，得Dn =Dn，因而得Dn = 0.3化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。例
4、3 计算n阶行列式 解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，n列都加到第1列上，行列式不变，得4降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。例4 计算n阶行列式解 将Dn按第1行展开5逆推公式法逆推公式法：对n阶行列式Dn找出Dn与Dn1或Dn与Dn1, Dn2之间的一种关系称为逆推公式（其中Dn, Dn1, Dn2等结构相同），再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法。例5 证明将Dn按第1列展开得 由此得递
5、推公式：，利用此递推公式可得6利用范德蒙行列式例6 计算行列式解 把第1行的1倍加到第2行，把新的第2行的1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n1行的1倍加到第n行，便得范德蒙行列式7加边法（升阶法）加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。例7 计算n阶行列式（箭形行列式）8数学归纳法例8 计算n阶行列式解：用数学归纳法. 当n = 2时假设n = k时，有 则当n = k+1时，把Dk+1按第一列展开，得由此，对任意的正整数n，有9拆开法把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。例9 计算行列式
6、 上面介绍了计算n阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。（1）; 证明 关于行列式的消项（其中C代表列R代表行）（2） （a b）3; （a b）3（3） （a b）（a c）（a d）（b c）（b d）（c d）（a b c d）; 证明 （c2 ,c3 ,c4减数字去第一列的） =（a b）（a c）（a d）（b c）（b d）（c d）（a b c d） （4） xn a1xn 1 an 1x an 证明 用数学归纳法证明 当n 2时 命题成立 假设对于（n 1）阶行列式命题成立 即
7、Dn 1 xn 1 a1 xn 2 an 2x an 1 则Dn按第一列展开 有 xD n 1 an xn a1xn 1 an 1x an 因此 对于n阶行列式命题成立 6 设n阶行列式D det（aij）, 把D上下翻转、或逆时针旋转90 、或依副对角线翻转 依次得 证明 D3 D 证明因为D det（aij） 所以 同理可证7 计算下列各行列式（Dk为k阶行列式） （1）, 其中对角线上元素都是a 未写出的元素都是0 解 （按第n行展开） an an 2 an 2（a2 1） （2）; 解 将第一行乘（ 1）分别加到其余各行 得再将各列都加到第一列上 得 x （n 1）a（x a）n 1 （3）; 解 根据第6题结果 有此行列式为范德蒙德行列式 例3 练习3：证明: . 证明：左边从最后一行开始，每行减去上一行，得到：1 2 3 . n-1 n 1 1 1 . 1 1-n . . . . 1 1-n 1 . 1 1 然后做列变换，从各列中减去第一列，得到：1 1 2 . n-2 n-1 1 0 0 . 0 -n 1 -n 0 . 0 0 再把各列乘以（1/n），加回到第一列，得到：（n+1）/2 1 2 . n-2 n-1 0 0 0 . 0 -n 0 -n 0 . 0 0 最后沿第一列展开得到结果是（1/2）*（n+1）*nn-1*（-1）（n-1）（n-2）/2
