1、（1）PAPDPEPC；（2）ADAE.思路点拨本题主要考查切割线定理的应用解题时由割线定理得PAPEPDPB，再由切割线定理知PA2PCPB可得结论，然后由（1）进一步可证ADAE.精解详析（1）PAE，PDB分别是O2的割线，PAPB. 又PA，PCB分别是O1的切线和割线，PA2PCPB. 由得PAPC.（2）连接AD，AC，ED，BC是O1的直径，CAB90.AC是O2的切线又由（1）知，ACED.ABED.又AB是O 2的直径，ADAE.讨论与圆有关的线段间的相互关系，常常可以借助于切割线定理和相似成比例的知识去解决，通常用分析法揭示解题的思考过程，而用综合法来表示解题的形式1（湖北
2、高考）如图，P为O外一点，过P点作O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交O于C，D两点若QC1，CD3，则PB .解析：由切割线定理，得QA2QCQD4QA2，则PBPA2QA4.答案：4相交弦定理的应用例2如图，已知在O中，P是弦AB的中点，过点P作半径OA的垂线分别交O于C，D两点，垂足是点E.求证：PCPDAEAO.思路点拨由相交弦定理知PCPDAPPB，又P为AB的中点，所以PCPDAP2.在RtPAO中再使用射影定理即可精解详析连接OP，P为AB的中点，OPAB，APPB.PEOA，AP2AEPDPCPAPBAP2，PDPCAE相交弦定理的运用多与相似三角形联系在一起
3、，经常与射影定理、直角三角形的性质相结合证明某些结论2（湖南高考）如图，已知AB，BC是O的两条弦，AOBC，AB，BC2，则O的半径等于 设AO，BC的交点为D，由已知可得D为BC的中点，则在直角三角形ABD中，AD1，设圆的半径为r，延长AO交圆O于点E，由圆的相交弦定理可知BDCDADDE，即（）22r1，解得r相交弦定理与切割线定理的综合应用例3如图所示，已知PA与O相切，A为切点，PBC为割线，弦CDAP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2EFEC.（1）求证：PEDF；（2）求证：CEEBEFEP.（3）若CEBE32，DE6，EF4，求PA的长思路点拨本题主要考查相交
4、弦定理与切割线定理的综合应用解题时先证CEDDEF，同时利用平行关系可证（1）；然后证明DEFPEA，结合相交弦定理可证（2）；最后由切割线定理可求PA.精解详析（1）证明：DE2EFEC，DEECEFED.DEF是公共角，CEDDEF.EDFC.CDAP，CP.PEDF.（2）证明：PEDF，DEFPEA，DEFPEA.DEPEEFEA，即EFEPDEEA.弦AD，BC相交于点E，DEEACEEB.CE（3）DE2EFEC，DE6，EF4，EC9.CEBE32，BE6.CEEP，964解得EPPBPEBE，PCPEEC由切割线定理得PA2PBPA2.PA解决与圆有关的线段问题多综合应用相交弦
5、定理及切割线定理，同时注意相似三角形及平行过渡传递等量关系的应用3如图，E是O内两弦AB和CD的交点，直线EFCB，交AD的延长线于点F，FC与圆交于点G.求证：（1）DFEEFA；（2）EFGCFE.证明：（1）EFCB，DEFDCB.DCB和DAB都是上的圆周角，DABDCBDEF.DFEEFA，DFEEFA.（2）由（1）知：DFEEFA，即EF2FAFD.由割线定理得FAFDFGFC.EF2FGFC，即又EFGCFE，EFGCFE.本课时主要考查相交弦定理、切割线定理的应用难度中档，是高考命题的热点内容考题印证（新课标全国卷）如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交
6、于点B，C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明：（1）BEEC；（2）ADDE2PB2.命题立意本题主要考查切割线定理、相交弦定理以及三角形的外切定理、弦切角定理、同弧所对的圆心角相等定理自主尝试（1）连接AB，AC.由题设知PAPD，故PADPDA.因为PDADACDCA，PADBADPAB，DCAPAB，所以DACBAD，从而因此BEEC.（2）由切割线定理得PA2PB因为PAPDDC，所以DC2PB，BDPB.由相交弦定理得ADDEBDDC，所以AD对应学生用书P25一、选择题1.如图，已知O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB4，DECE3，则CD的长为（
7、）A4 B5C8 D10选B设CEx，则DE3x.根据相交弦定理，得x（x3）22，x1或x4（不合题意，应舍去）则CD3115.2.如图，点P是O外一点，PAB为O的一条割线，且PAAB，PO交O于点C，若OC3，OP5，则AB的长为（）A B2C D选B设PAABx，延长PO交圆于点D.因为PAPD，OC3，OP5，所以PC2，PD8.所以x2x16，所以x23如图，ACB90，CDAB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则（）ACECBADDB BCEABCADABCD2 DCEEBCD2选A在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2ADDB，再根据切割线定理可得CD2C
8、ECB，所以CEDB.4如图，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB，CE分别切圆O2于B，E两点若160，265，判断AB，CD，CE的长度，下列关系正确的是（）AABCECD BABCECDCABCDCE DABCDCE选A因为160所以ABC18012180606555所以21ABC，所以ABBCAC，因为CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB，CE分别切圆O2于B，E两点，所以ACCD，BCCE，CD.故选A.二、填空题5如图，圆O是ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD2，AB3，则BD的长为 由切割线定理得：DBDADC2，即DB（DBBA）DC2，DB23DB
9、280，DB4.6如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知PA2，PC4，圆心O到BC的距离为，则圆O的半径为 记圆O的半径为R.依题意得PA2PBPC，PB2，BCPCPB2，所以R2.27如图，O的弦ED，CB的延长线交于点A，若BDAE，AB4，BC2，AD3，则DE ；CE .由切割线定理得ABACADAE，即463（3DE），解得DE5；易知又AA，故ABDAEC，故BCEBDA90在直角三角形ABD中，BDCE2528.如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DFCF，AFFBBE421.若CE与圆相切，则线段CE的长为 设BEx，则FB2x
10、，AF4x，由相交弦定理得DFFCAFFB，即28x2，解得x，AE，再由切割线定理得CE2EBEA，所以CE三、解答题9如图，P为圆O外一点，PA，PB是圆O的两条切线，A，B为切点，OP与AB相交于点M，且点C是上一点OPCOCM.连接OB，由切线长定理，得PAPB，PMAB，PO平分APB.又PBOB，在RtOPB中，OB2OPOM，OBOC，OC2OP，OCPOMC，OPCOCM.10.如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F.AD，BE相交于点G，连接BD.（1）求BD的长（2）求ABE2D的度数（3）求的值解：（1）连接OC，因为AB是小圆的切线，C是切点，所以OCAB，
