1、性质3：如果一个行列式地两行（或两列）完全相同，那么这个行列式地值等 于零，性质4：把一个行列式地某一行（或某一列）地所有元素同乘以某一个常数 k地结果等于用这个常数k乘这个行列式.（第i行乘以k,记作k）推论1： 一个行列式地某一行（或某一列）地所有元素地公因式可以提到行列式符号地前面推论2：如果一个行列式地某一行（或某一列）地所有元素都为零，那么行列 式值等于零推论3：如果一个行列式地某二行（或某二列）地对应元素成比例 ,那么行列式 值等于零.a11a12a1n-.- .-d、=-.-kai1kai2 Jkain=kai1ai2-.M - Uan1性质5：如果行列式D地某一行（或某一列）地
2、所有元素都可以表成两项地和 ，那么行a11 a12a1j+ Ra“an a12b1a21 a22a 2j+ b2=a21 a 22a2j+b2an1 an2anj+ 0a n1 a n2bnD等 于两 个 行 列 式Di 和 D2和.性质6：把行列式地某一行（或某一列）地元素乘同一个数后 ，加到另一行（或 另一列）地对应元素上，行列式值不变.推论如果行列式地某一行（列）地每个元素都是 m个数之和（m2）,则此行列式等于m个行列式之和.定义：行列式|aij如果满足：玄耳=ajj（i, j =1,，n）；则称此行列式为对称行列式。一个n阶行列式，如果它地元素满足：ai j = -aj i i,j
3、=1,2n ；试证：当n为 奇数时，此行列式为零.每一行（或列）提出一个（-1）,再转置得D= （-1） nD性质7行列式地某一行（列）地各元素与另一行（列）地对应元素地代数 余子式地乘积之和等于零.按仃：aiiAji ai2Aj2 ain Ajn - 0 j按列：CiAj a2iA2j aniAnj =0 i = j将性质7与Laplace定理合并为下列结论:n（1）（2） aik Ajkk 4S aki Akj =k吕行列式地计算1 利用行列式定义直接计算例1计算行列式0 12Dn =-3n_1解 Dn中不为零地项用一般形式表示为该项列标排列地逆序数t （n1 n 21 n）等于（1）（2
4、）,故（n 4）2）Dn 十1） 2 n!.2 利用行列式地性质计算例2 一个n阶行列式Dn = aj地元素满足aj = _aji , i, j = 1,2, , n,则称Dn为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零证明：由aij = _aji知內=-內，即aii = 0,i 二1,2, , n故行列式Dn可表示为ai3 一ai2a23 一 ai323a3n一 ain一 a2n_a3n 由行列式地性质|A=|a，一ai3_ain一a23_a2nai3a23_a3n 0ai3_ai2a23Dn_ai3_a23am_a2n_a3n 八= （-1）nD当n为奇数时，得Dn= Dn,因而得Dn =
5、 0.3.化为二角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元 素地乘积.因此化三角形是行列式计算中地一个重要方法例3计算n阶行列式abb D =解：这个行列式地特点是每行（列）元素地和均相等 ，根据行列式地性质，把第2,3,n列都加到第1列上，行列式不变，得a +（n - 1）b b ba +（n - 1）b a bD = a +（n - 1）b b aa +（n 1）b b b1 b b1 a b-a （n - 1）b（a-b）n=a +（n 1）b 1 b a4降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用 拉普拉斯定理，这样可以
6、降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式地性 质化简，使行列式中有较多地零出现，然后再展开例4计算n阶行列式aI:解将Dn按第1行展开0Dn = a+（_1严*n -1 n n 2+（_1） （_1）a -an5逆推公式法逆推公式法：对n阶行列式Dn找出Dn与Dn1或Dn与Dn-1, Dn 2之间地一种关系称为逆推公式（其中 Dn, Dn 1, Dn2等结构相同），再由递推公式求出Dn地方法称为递推公式法例5证明X-1_1 -anan A.an/a26 +x=xn a1xn J a2xn/ anJx an,（n _ 2）将Dn按第1列展开得-1 Dn = xanJ anJ2an J3a2
7、 印 +x0 0-1+（-1） anX -1=an + xDn j由此得递推公式：Dan xDn 4，利用此递推公式可得Dn 二 a. XDnj 二 a. Xn4 XD）=an an X DnQn 4n二 =an an 4x x6利用范德蒙行列式例6计算行列式 L 1捲+1x2 +1 焉+12丄为+x,x2 +x2 Xn +冷n丄 n_2x1 +x1nA . n _2n A . n _2 Xn +Xn解 把第1行地-1倍加到第2行，把新地第2行地-1倍加到第3行,以此类推直到把新地第n 1行地1倍加到第n行，便得范德蒙行列式 1xX2 XnX1= （Xi -Xj）桂日n A. xn入n7加边法
8、（升阶法）加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列 ，且保持原行列式不变地方法.计算n阶行列式a1a2第i行减第1行i=2,，n+1（箭形行列式）n a：例8计算n阶行列式Dn 二用数学归纳法.假设n = k时，有=x2 a2k丄 k4丄 kJ2丄.丄 .二 x yx a2x 亠 亠 akx ak则当n = k+1时把Dk+i按第一列展开，得Dk 1 = xDk ak -1= x（xk - a1xk4 - ak4x aQ ak 1k 丄 k i_.丄 2二 X 6X ak4x akX ak 1由此，对任意地正整数n,有Dn = xn a1xn4 an,x2 an4x an9拆开法把某一行（或列）地元素写成两数和地形式，再利用行列式地性质将原行列 式写成两行列式之和，使问题简化以利计算.a1 +鮎 a* 例9计算行列式aia 2+2 an +-na.-扎1 ana? + ?-2_29a
