1、即9.法二：（abc）（）1119.用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明1已知a，b，c，d都是正数，求证：（abcd）（acbd）4abcd.证明：因为a，b，c，d都是正数，所以0，0，所以abcd，即（abcd）（acbd）4abcd.当且仅当abcd，acbd，即ad，bc时，等号成立2已知a，b，c0，求证：abc.a，b，c，均大于0，又b22a，c22b.a22c.（b）（c）（a）2（abc）即abc.当且仅当b，c，a，即abc时取等号.利用基本不等式求最值例2（1）求当x0
2、时，f（x）的值域；（2）设0x0，y0，且1，求xy的最小值思路点拨根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件，求最值解（1）x0，f（x）.x2，0.0f（x）1，当且仅当x1时取“”即f（x）值域为（0,1（2）00.y4x（32x）22x（32x）22.当且仅当2x32x，即x时，等号成立y4x（32x）的最大值为.（3）x0，1，xy（xy）1061016.当且仅当，又1，即x4，y12时，上式取等号故当x4，y12时，有（xy）min16.在应用基本不等式求最值时， 分以下三步进行：（1）首先看式子能否出现和（或积）的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；（2）其次，
3、看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取（1）变为同正；（3）利用已知条件对取等号的情况进行验证若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决3已知x0，则2x的最小值和取得最小值时的x值分别是（）A8,2 B8,4C16,2 D16,4解析：2x28，当且仅当2x，即x2时，取“”号，故选A.答案：A4设x，yR，且满足x4y40，则lgxlgy的最大值是（）A40 B10C4 D2x，yR，.10.xy100.lg xlg ylg（xy）lg 1002.D5（浙江高考）若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是（）A. BC5 D6x3y5xy，5，
4、x0，（3x4y）9421325，5（3x4y）25，3x4y5，当且仅当x2y时取等号3x4y的最小值是5.C利用基本不等式解决实际问题例3某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2014年巴西世界杯期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3x与t1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2014年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完（1）将2014年的利润
5、y（万元）表示为促销费t（万元）的函数（2）该企业2014年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？思路点拨（1）两个基本关系式是解答关键，即利润销售收入生产成本促销费；生产成本固定费用生产费用；（2）表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式解（1）由题意可设3x，将t0，x1代入，得k2.x3.当年生产x万件时，年生产成本年生产费用固定费用，年生产成本为32x3323.当销售x万件时，年销售收入为150%t.由题意，生产x万件化妆品正好销完，由年利润年销售收入年生产成本促销费，得年利润y（t0）（2）y5050250242，当且仅当，即t7时，等号成立，ymax4
6、2，当促销费定在7万元时，年利润最大利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式yf（x）（x一般为题目中最后所要求的量）；最后，利用不等式的有关知识解题求解过程中要注意实际问题对变量x的范围制约6一商店经销某种货物，根据销售情况，年进货量为5万件，分若干次等量进货（设每次进货x件），每进一次货运费50元，且在销售完该货物时，立即进货，现以年平均件货储存在仓库里，库存费以每件20元计算，要使一年的运费和库存费最省，每次进货量x应是多少？解：设一年的运费和库存费共y元，由题意知：y502010x210
7、4，当且仅当10x即x500时，ymin10 000，即每次进货500件时，一年的运费和库存费最省7.围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）（1）将y表示为x的函数；（2）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用（1）如题图所示，设矩形的另一边长为a m.则y45x180（x2）1802a225x360a360.由已知xa360，得a，所以y225x360（x
8、0）（2）x0，225x210 800.y225x36010 440，当且仅当225 x时，等号成立即当x24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元 对应学生用书P71下列不等式中，正确的个数是（）若a，bR，则若xR，则x222若xR，则x212若a，b为正实数，则A0 B1C2 D3显然不正确；正确；对虽然x22无解，但x222成立，故正确；不正确，如a1，b4.2已知a0，b0，a，b的等差中项是，且a，b，则的最小值是（）A3 B4ab21，aab115，当且仅当ab时取“”号3. “a1”是“对任意正数x,2x1”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件
9、D既不充分又不必要条件当a1时，2x2x2 （当且仅当x时取等号），所以a12x1（x0），反过来，对任意正数x，如当a2时，2x1恒成立，所以2x1/a1.4某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（）A5千米处 B4千米处C3千米处 D2千米处由已知：y1，y20.8x（x为仓库到车站的距离）费用之和yy1y20.8x28.当且仅当0.8x，即x5时等号成立5若x0，则f（x）23x2的最大值是_，取
10、得最值时x的值是_f（x）23（x2）23410，当且仅当x2即x时取等号106当x时，函数yx的最小值为_因为x，所以x0，所以yx4，当且仅当x，即x时，取“”7y（x0）的最小值是_0，yx1121.当且仅当x1时取等号218已知a0，b0，ab1，求证：（1）8；（2） 9.（1）ab1，a0，b0，224448（当且仅当ab时，等号成立），8.（2）1，由（1）知8.9.9设x0且xy4，要使不等式m恒成立，求实数m 的取值范围由x0且xy4.得1，.当且仅当时等号成立即y2x（x0，y2x舍去）此时，结合xy4，解得x，y.的最小值为.m.m的取值范围为.10某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米（如图所示）（1）若设休闲区的长和宽的比x，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽应如何设计？（1）设休闲区的宽为a米，则其长为ax米，由a2x4 000，得a.则S（x）（a8）（ax20）a2x（8x20）a16
