1、A45或30 B15或75或60 D154从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条夹角均为60，则二面角BPAC的余弦值是（）5在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为（）6长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为（）题号123456答案二、填空题7若两个平面，的法向量分别是n（1,0,1），（1，1,0）则这两个平面所成的锐二面角的度数是_8如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是
2、_9已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为_三、解答题10长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，BCBB12，E，F分别是面A1B1C1D1与面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值11.在三棱锥SABC中，SABSACACB90，AC2，BC4，SB4.（1）证明：SCBC；（2）求二面角ABCS的大小能力提升12.如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，点D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DEAE.求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值13.如图，直三棱柱AB
3、CA1B1C1中，ACBC，AA1AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE3EB1.DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（2）设异面直线AB1与CD的夹角为45，求二面角A1AC1B1的余弦值1异面直线所成的角可以利用两个向量的夹角来求2二面角可以利用立体几何方法作出二面角的平面角，然后利用几何方法或向量进行计算；也可以直接利用两个平面的法向量来求，要注意角的范围3利用向量解题，大致可以利用基底法和坐标法51直线间的夹角52平面间的夹角知识梳理10，方向向量20，法向量相等或互补作业设计1A2D如图所示，建立空间直角坐标系，则A（1,0,0），M，C（0,1,0），N，|.cos.3B
4、如图（1），（2）所示，分别是P在二面角l的内部、外部时的情况因为PA，所以PAl，因为PCl，所以l面PAC，同理，l面PBC，而面PAC与面PBC有公共点，所以面PAC和面PBC应重合，即A，B，C，P在同一平面内，ACB是二面角的平面角在RtAPC中，sinACP，所以ACP30.在RtBPC中，sinBCP，所以BCP45，故ACB304575（图（1），或ACB453015（图（2）图（1）图（2）4B在射线PA上取一点O，分别在平面PAB、PAC内作OEPA，OFPA交PB、PC于E、F，则EOF为所求二面角的平面角EOF中，令EF1，则由题意可求得，OEOF，cosEOF5B建立
5、如图所示的坐标系，设正方体的棱长为1，则（1,0,1），（1,1，）设平面A1DE的法向量n1（x，y，z），解得令z1，n1（1，1）平面ABCD的一个法向量为n2（0,0,1），cosn1，n26B建立坐标系如图则A（1,0,0），E（0,2,1），B（1,2,0），C1（0,2,2）（1,0,2），（1,2,1），cos.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为760解析cosn，n，120.故两平面所成的锐二面角为60890解析建立如图所示的坐标系，设正三棱柱的棱长为1，则BB1因此，设异面直线AB1与BM所成的角为，则cos |cos|0，909. 解析建立如图所示的空间直角坐标系，
6、设AB1.因为A1D平面ABC，ADBC，由AD，AA11知A1D故A1.又A，B又CC1AA1，coscos故异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为10解以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2,0,0），B（2,4,0），C1（0,4,2），A1（2,0,2），E（1,2,2），F（1,4,1），（1,4,1），（1，2,2），|33，1825，异面直线所成角的范围是设AF与BE所成角为，11（1）证明由已知SABSACACB90，以C点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0,2,0），B（4,0,0），C（0,0,0），S（0,2,2），（0，2，2（4,0,0），0，S
7、CBC.（2）解SABSAC90，SA平面ABC，（0,0,2）是平面ABC的法向量设侧面SBC的法向量为n（x，y，z），（4,0,0）n0，n0，x0.令z1，则y则得平面SBC的一个法向量n（0，1），n即二面角ABCS的大小为6012解如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设AA1，则AB2，相关各点的坐标分别是A（0，1,0），B（，0,0），C1（0,1，D.易知（，1,0），（0,2，设平面ABC1的一个法向量为n（x，y，z），则有解得xy，zy，故可取n（1，所以cosn，由此可知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为13（1）证明以B为坐标原点，射
8、线BA、BB1为x轴正半轴、y轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系设AB2，则A（2,0,0），B1（0,2,0），D（0,1,0），E（，0）又设C（1,0，c），则，0），（2，2,0），（1，1，c）于是0，故DEB1A，DEDC，又DEAB1E，CDDED.所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线（2）解因为等于异面直线AB1与CD的夹角，故|B1A|cos 45即24.解得c，故（1,0，又（0,2,0），所以（1,2，设平面AA1C1的法向量m（x，y，z），则m0，m即x2yz0,2y0.令x，则z1，y0.故m（，0,1）设平面AB1C1的法向量为n（p，q，r），则n0，n即p2qr0,2p2q0，令p，则q，r1.故n（，1）所以cosm，n由于m，n等于二面角A1AC1B1的平面角，所以二面角A1AC1B1的余弦值为
