1、第一章 建立数学模型第一章建立数学模型序言一、数学的地位及重要性1） 社会生活中的数学2） 工农业生产中的数学3） 战争中的数学“高技术武器是数学技术的结晶”2、 传统数学教育的缺陷数学能力包括：“算术学”与“用数学”算数学：定义、定理、公式、计算等。用数学：面对实际问题，在作计算推理之前，首先要用数学语言描述它，即建立数学模型。然后用数学方法分析求解，可能还需要用上计算机软件，最后，还要结合实际进行分析、检验、修正，这些工作称为“用数学”。传统的数学教育侧重于前者，对后者的训练远远不足。导致学生不能看到数学对其研究专业的重大作用，因而对数学的科学地位及重要性产生怀疑。3、 数学建模课程现状：
2、数学建模是一门新兴的学科，20世纪70年代初诞生于英、美等现代工业国家。在短短几十年的历史瞬间辐射至全球大部分国家和地区。80年代初，我国高等院校也陆续开设了数学建模课程，随着数学建模教学活动（包括数学建模课程、数学建模竞赛和数学（建模）试验课程等）的开展，这门课越来越得到重视，也深受广大学生的喜爱。4、 课程特点1)很强的实用性：教材的内容来自于实际。2)知识的广泛性：依赖于各方面的基础知识。3)内容的趣味性：有些问题就象是做游戏，引人入胜。4)教学方式的多样性：教师讲授方式，小组讨论方式，学生报告方式，课堂教学方式，课外教学方式等。5、 数学建模课程的目标培养学生解决实际问题的综合能力。1
3、） “双向翻译”能力2） 运用数学思想进行综合分析能力3） 结合其他专业特别是应用计算机解决问题的能力4） 观察力和想象力5） 提高撰写科研论文的能力6） 团结协作的精神1.1 从现实对象到数学模型我们常见的模型 实物模型玩具、照片、飞机、火箭模型 水箱中的舰艇、风洞中的飞机 物理模型地图、电路图、分子结构图 符号模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征你碰到过的数学模型“航行问题” 甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?用x 表示船速，y 表示水速，
4、列出方程：(x y) 30 750 x =20(x y) 50 750 求解 y =5答：船速每小时20千米/小时. 航行问题建立数学模型的基本步骤作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；求解得到数学解答（x=20, y=5）； 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。你碰到过的数学模型降落伞降落问题”题目:设降落伞以初速度为零离开跳伞塔,试做合理假设,建立速度与时间的关系.模型假设:1:设降落伞所受空气阻力与速度成正比;2:离开跳伞塔的时刻记为t=0;符号:降落伞速度 V(t)
5、;重力P;阻力R; 外力F; 质量m;加速度a(t);重力加速度g建模原理:牛顿第二运动定理:F=ma(t)=P-R数学式子dv(t) m mg kvv|t 0d t 0求解模型 mg(1 e mk t )v kP=mg; R=kV(t); ma(t)= mg-kV(t) Matlab源程序clc;clear;syms m g k v t;%定义符号变量jiangluosan.mv=dsolve(m*Dv=m*g-k*v,v(0)=0,t);%解微分方程disp(v与t的函数关系为：) v Command窗口中运行的结果v与t的函数关系为：v = m*g/k-exp(-1/m*k*t)*m*g
6、/k数学模型(Mathematical Model) 和数学建模（Mathematical Modeling)数学模型对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学建模建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）1.2 数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展； 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地； 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具； 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。数学建
7、模的具体应用 分析与设计 预报与决策 控制与优化 规划与管理1.3 数学建模示例1.3.1哥尼斯堡七桥问题一次能把七座桥游遍吗？欧拉实质为：一笔画问题1.3.2 椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析通常 三只脚着地放稳 四只脚着地模型假设 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形; 地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。模型构成四个距离(四只脚)用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性用 (对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 四只脚着地椅脚与地面距离为零距离是 的函数x 两个距离正方形对称性
8、A,C 两脚与地面距离之和 f( ) 正方形ABCD B,D 两脚与地面距离之和 g( ) 绕O点旋转模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 地面为连续曲面 f( ) , g( )是连续函数椅子在任意位置至少三只脚着地对任意 , f( ), g( )至少一个为0数学问题已知：f( ) , g( )是连续函数; 对任意 ，f( ) g( )=0 ; 且g(0)=0，f(0) 0. 证明：存在 0，使f( 0) = g( 0) = 0.模型求解 给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0) 0 ，知f( /2)=0 , g( /2)0
9、.令h( )= f( )g( ), 则h(0)0和h( /2)0.由f, g的连续性知h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在 0 , 使h( 0)=0, 即f( 0) = g( 0) . 因为f( ) g( )=0, 所以f( 0) = g( 0) = 0.评注和思考建模的关键 和f( ), g( )的确定假设条件的本质与非本质考察四脚呈长方形的椅子1.3.3 商人们怎样安全过河问题(智力游戏)随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?问题分析 多步决策过程河小船(至多2人) 3名商人 3名随从决策 每一步
10、(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.模型构成xk第k次渡河前此岸的商人数xk, yk=0,1,2,3; yk第k次渡河前此岸的随从数k=1,2, sk=(xk , yk)过程的状态S 允许状态集合S=(x, y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2uk第k次渡船上的商人数uk, vk=0,1,2; vk第k次渡船上的随从数k=1,2, dk=(uk , vk)决策D=(u, v) u+v=1, 2 允许决策集合多步决策问题sk+1=sk +(-1)k dk 状态转移律求dk D(k
11、=1,2, n), 使sk S, 并按转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).模型求解 穷举法 编程上机图解法状态s=(x,y) 16个格点允许状态 10个点允许决策 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.d1, ，d11给出安全渡河方案评注和思考规格化方法,易于推广考虑S=(x, y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,24名商人各带一随从的情况1.3.4 如何预报人口的增长1 问题的提出人口、工业化的资金、粮食、不可再生资源、环境污染是人类在地球上生存所面临的五大问题，而人口问题是这五大问题之首。人口在不断的增长，其增长有无规律可
12、循？目标：预测人口发展趋势；控制人口增长。2 建模准备资料报告，公元前世界人口已接近3亿（粗略估计）。近一千年人口统计比较精细。看下图。背景 世界人口增长概况 年1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60中国人口增长概况年1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口变化规律 控制人口过快增长常用的计算公式今年人口x0, 年增长率r k年后人口 xk x0(1 r)k 指数增长模型马尔萨斯提出 (1
13、798) 基本假设: 人口(相对)增长率r 是常数x(t) 时刻t的人口x(t t) x(t) r t x(t)dx rx, x(0) x dt 0x(t) x0ertx(t) x0(er )t x0(1 r)t 随着时间增加，人口按指数规律无限增长 指数增长模型的应用及局限性 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代可用于短期人口增长预测 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降)阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对
14、人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大 r是x的减函数假设r(x) r sx (r,s 0) r固有增长率(x很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）xr(x) r(1 )xmr r(xm) 0 s xm阻滞增长模型(Logistic模型) dx rxdx r(x)x rx(1 x ) dtdt xmxm x(t) x(t)S形曲线, 1 (xm 1)e rt x增加先快后慢x0阻滞增长模型(Logistic模型)参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r 或r, xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位百万）1860 1870
15、1880 1960 1970 1980 199031.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4 r=0.2557, xm=392.1 阻滞增长模型(Logistic模型) 模型检验 用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较x(2000) x(1990) x x(1990) rx(1990)1 x(1990)/ xm x(2000) 274.5 实际为281.4 (百万)模型应用预报美国2010年的人口加入2000年人口数据后重新估计模型参数 r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的
16、售量)更复杂的人口模型 -Logisitic模型 dN(t) N dt rN(1 (Nm) ) N(t0) N0调整 ，可使阻滞因子变大或缩小。Gompertz模型dN N N lndt NmUsher模型 dNdt(t) N(1 (NNm) ) N(t0) N0Malthus 模型和Logistic模型都是确定性模型，只考虑人口总数的连续时间模型。在研究过程中还发展了随机性模型，考虑人口年龄分布的模型等。人口模型的推广放射性元素的衰变规律（检验名画的真伪，考古年代的判断）经济领域（通货膨胀，利率，新产品的销售，广告宣传等）动植物生长规律（96年的全国大学生数学建模竞赛题）浓度的扩散（人体内药
17、物的吸收，传染病的传播与流行等）1.4 数学建模的方法和步骤数学建模的基本方法机理分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律测试分析将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型二者结合用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。数学建模的一般步骤模型准备形成一个比较清晰的问题了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征数学建模的一般步骤模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中模型构成用数学的语言、符号描述问题发挥
18、想像力 使用类比法尽量采用简单的数学工具数学建模的一般步骤模型求解各种数学方法、软件和计算机技术模型分析如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性模型应用数学建模的全过程现实世界数学世界表述根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题求解选择适当的数学方法求得数学模型的解答解释将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象验证用现实对象的信息检验得到的解答实践理论实践占绝对优势的数学模型可归为三类：(1)最优化模型(2)动态模型(3)概率模型在实际应用中，模型的类型可以由所遇到的问题决定，但更多的是与使用者对模型的选择有关，在许多实例中都
19、可用若干不同类型的模型数学建模是连接数学和现实世界的桥梁从提出问题，思考，优化问题到用精确的数学语言叙述这个问题，一旦问题变成数学问题，就可用数学去求得解答最后需要倒转这个过程，把数学的解答翻译成对于原问题来说，是易于了解的，有意义的答案，(这是很多人经常忽略的部分)。有些人擅长语言，有些人擅长计算，建模需要具有这两种能力的人 1.5 数学模型的特点和分类数学模型的特点模型的逼真性和可行性模型的渐进性模型的强健性模型的可转移性模型的非预制性模型的条理性模型的技艺性模型的局限性数学模型的分类应用领域人口、交通、经济、生态 数学方法初等数学、微分方程、规划、统计 表现特性建模目的了解程度确定和随机
20、 静态和动态离散和连续 线性和非线性描述、优化、预报、决策 白箱 灰箱 黑箱1.6 怎样学习数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则想像力 洞察力 判断力 学习、分析、评价、改进别人作过的模型 亲自动手，认真作几个实际题目1.6 参加数学建模比赛前你需要积累哪些？1、 基础知识：高等数学+线性代数+ 概率论与数理统计2、 系统学习数学建模：1）数学模型姜启源谢金星叶俊高等教育出版社：基础+方法+思想这本书作为初学者入门是再好不过了，介绍各种模型，各种方法都比较详细，建议每个人都通读然后相互队内讨论解决，至少保证每一章都至少有一个人看过，这样
21、的话可以保证不会有知识盲区。但是整体上看一遍就够了，因为毕竟能直接用到比赛中的模型本书中还是不多，只是作为阅读后续书籍，它是一个很好的铺垫性的读物。2）数学建模算法与应用司守奎国防工业出版社。这是一本指导操作的教程这本书被奉为数学建模百科全书，目前学界在用的，成型的和发展中的方法、思想在本书中都有全面的介绍，而且很多实用的方法都附有源程序，如果不想做的很有创新性时，直接套用基本上就能解决所有的国赛和美赛的题目。关于书籍方面，大家能够精读一两本，然后能够像工具书一样很轻松地翻阅而没有障碍，在比赛过程中是非常有利的，在精不在多，关键是要反复和理解透彻，达到信手拈来的程度，变成自己的东西。3、阅读论
22、文和实战演练（关键！）。1.7 建模中数据处理方法概述一、预测与预报1、 灰色预测模型2、 回归分析模型3、 微分方程预测模型4、 神经网络预测5、 时间序列预测6、 马尔可夫预测7、 小波分析预测8、 混沌序列预测二、评价与决策1、 模糊综合评判2、 主成分分析3、 层次分析（AHP）4、 方差分析、协方差分析5、 秩和比综合评价6、 优劣解距离法（TOPSIS法）7、 投影寻踪综合评价8、 数据包洛（DEA）分析法三、分类与判别1、 距离聚类2、 关联性聚类3、 模糊判别4、 贝叶斯判别5、 密度聚类6、 其它聚类7、 费舍尔判别8、 层次聚类四、关联与因果1、 灰色关联分析法2、 Per
23、son相关3、 Sperman或Kendall等级相关系数4、 典型相关系数5、 Copula相关6、 标准化回归路径分析7、 生存分析8、 格兰杰因果检验五、优化与控制1、 线性、整数、0-1规划2、 非线性规划与智能优化算法3、 多目标规划和目标规划4、 网络优化（图论）5、 动态规划6、 排队论与计算机仿真7、 模糊规划8、 灰色规划涉及到的数学课程几何理论、线代、微积分、组合概率、统计分析、优化方法（数学规划）、图论与网络优化、综合评价、插值与拟合、差分方程、排队论、模糊数学、随机决策、多目标决策、随机模拟、灰色系统理论、神经网络、时间序列分析、机理分析法等。数学建模的十大算法 1、蒙
24、特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具） 3、数学规划算法，线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现） 4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备） 5、动
25、态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）7、 网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具）8、 一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积
26、分等思想是非常重要的）9、 数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）10、 图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不少图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理）建模软件1:计算机代数系统DERIV, Soft Warehouse , Inc., MAPLE, Waterloo Maple, Inc., MATHCAD, Mathsoft, Inc., MATHEMATICA, Wolfram Research,
27、 Inc., MATLAB, The Works, Inc., 2:统计软件包MINITAB, Minitab, Inc., SAS, SAS Institute, Inc., SPSS, SPSS Institute, Inc., 3:线性规划软件包LINGO, The Scientific Press, MPL, Maximal Software, Inc., http:/www. maximal-AMPL, Compass Modeling Solutions, Inc., 主要数学建模网站：全国大学生数学建模竞赛 华中数模网（华中农大）： 中国数学建模网（国防科大）：本课程公共邮箱：cjdxshumo 密码:cjdx123
