1、常微分方程期末考试A卷姓名：贾丽专业：数学与应用数学学号：192201503064388学习中心：奥鹏培训中心一、填空题（每个空格4分，共40分）1、 dy dx2 xdy dx 3y20是一阶微分方程，是方程（填“线性”或“非线性”）。非线性2、给定微分方程y 2x，它的通解是y=x2+C（C为任意常数），通过点（2，3）的特解是y=x2 -1。3、微分方程M （x, y）dx N（x, y）dy 0为恰当微分方程的充要条件是M x, y Nx, y。yx4、方程x4 x2y 122 C1x C2y x2 1的通解为，满足初始条件y |x1 2, y |x3 5的特解为y x4 x2 1 x
2、 9 12 2 6 4。5、微分方程d 2 y 25y 0的通解为dx2y C1 cos5x C2 sin 5x。6、微分方程d2y dx26dy dx8y0的通解为y c1e2x c2e4x，该方程可化为一阶线性微分方程组 dzdy dx 6zz 8y。 dx二、求解下列微分方程（每小题8分，共32分）。1、dy exy ；dx解：dy ex dx eyeydy exdx e y ex C（C为任意常数 ）2、dy 2xy 4x ；dx解：px 2x,Qx 4x用公式法y e2xdx e2xdx 4xdx C ex2 2 ex2 dx2 C ex2 2ex2 C 2 Ce x2 y 2 Ce
3、 x23、d2x dt 26dx dt5xe2t；解： 2 6 5 0 1 1, 2 5齐次的解：x C1et C2e5t又 2 1 2 k 0设x* b0e2t带入解得b01 21xC1et C2e5t1 e2t 214、 dx dt dy dt 2x 4y 5x 3y.解：由dx 2x 4y得，y 1 x 1 dx dt2 4 dt故dy 1 dx 1 d 2x dt 2 dt 4 dt2 5x 3 1 x 1 dx 2 4 dt d2x dt 25dx dt14x0, 2 5 14 01 2, 2 7 x C1e2t C2e7t 带入得：yC1e2t5 4C2e7t x C1e2t C2
4、e7tyC1e2t5 4C2e7t常微分方程试卷共2页（第1页）答案务必写在对应的作答区域内，否则不得分，超出黑色边框区域的答案无效！三、（8分）考虑方程dy dx（ y2 9）f（x,y）,假设f（x,y） 及f y（x,y）在xOy平面上连续，试证明：对于任意x0及 | y0 | 3，方程满足y（x0 ） y0的解都在 （, ） 上存在。证明：根据题设，可以证明右端函数在整个xoy平面上，满足延展定理及存在与唯一性定理的条件，易于看到，y 3为方程在 ,上的解。由延展定理可知，yx0 y0, x0任意，y0 3的解y=y（x）又不能穿过直线y 3，故只能向两侧延展，而无限远离原点，从而，这
5、应在 ,上存在。1 2 1四、（10分）设A 1 21 01 1，求解方程组dX dtAX满足初始条1 件（0） 0的解（t） 。0解：由E A 12 3 0得1 1二重，2 3. 2 1对应特征向量1 ，2 4 32 1 0 2 0 4 32解得11421 4 v1 12 14 12 , v2 12 14 12 1 e3t 1 et 2 2 t e3t Ev1 et EtAE v2 1 4e3t1 4et 1 2e3t1 2et 五、（10分）叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理的内容，并给出唯一性的证明。证明：一阶微分方程dy f x, y （1）dx其中f（x，y）是矩形区域R : x x0 a, y y0 b上的连续函数。定义1如果存在常数L 0，使得不等式f x, y1 f x, y2 L y1 y2，对于所有x, y1x, y2 R都成立，则函数f（x，y）在R上关于y满足利普希茨条件。定理1如果f（x，y）在R上连续且关于y满足利普希茨条件，则方程（1）存在唯一的解y=x，定义于区间x x0 h上，连续且满足初始条件x0 y0，这里hmin a, b M，M max f x, y 。x, yR常微分方程试卷共2页（第2页）答案务必写在对应的作答区域内，否则不得分，超出黑色边框区域的答案无效！
