1、高考数学一轮复习专题九 数列2017年高考数学一轮复习专题九 数列(2015课标，17，12分，中)Sn为数列an的前n项和已知an0，a2an4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和解：(1)a2an4Sn3，a2an14Sn13.两式相减得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由于an0，可得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)，a13.所以an是首项为3，公差为2的等差数列，所以通项公式an2n1.(2)由an2n1可知bn.设数列bn的前n项和为Tn，则Tnb1b2bn.1(2013辽宁，4，易)下面
2、是关于公差d0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an3nd是递增数列其中的真命题为()Ap1，p2 Bp3，p4Cp2，p3 Dp1，p4【答案】Dan是等差数列，则ana1(n1)ddna1d，因为d0，所以an是递增数列，故p1正确；对p2，举反例，令a13，a22，d1，则a12a2，故nan不是递增数列，p2不正确；d，当a1d0时，递减，p3不正确；an3nd4nda1d，4d0，an3nd是递增数列，p4正确故p1，p4是正确的，故选D.2(2011江西，5，易)已知数列an的前n项和Sn满足：SnSmS
3、nm，且a11，那么a10()A1 B9 C10 D55【答案】Aa10S10S9(S1S9)S9S1a11，故选A.3(2013湖南，15，难)设Sn为数列an的前n项和，Sn(1)nan，nN*，则(1)a3_；(2)S1S2S100_.【解析】(利用an与Sn的关系求通项公式)(1)由已知得S3a3，S4a4，两式相减得a4a4a3，a3.(2)已知Sn(1)nan，当n为奇数时，两式相减得an1an1an，an；当n为偶数时，则两式相减得an1an1an，即an2an1.综上，anS1S2S100(a2a4a100)(a1a3a99).【答案】(1)(2)4(2012四川，20，12分
4、，中)已知数列an的前n项和为Sn，且a2anS2Sn对一切正整数n都成立(1)求a1，a2的值；(2)设a10，数列的前n项和为Tn.当n为何值时，Tn最大？并求出Tn的最大值解：(1)取n1，得a2a1S2S12a1a2，取n2，得a2a12a2，由，得a2(a2a1)a2.若a20，由知a10.若a20，由知a2a11.由解得a11，a22或a11，a22.综上可得，a10，a20或a11，a22或a11，a22.(2)当a10时，由(1)知a11，a22.当n2时，有(2)anS2Sn，(2)an1S2Sn1，所以(1)an(2)an1，即anan1(n2)，所以ana1()n1(1)
5、()n1.令bnlg，则bn1lg()n11(n1)lg 2lg.所以数列bn是单调递减的等差数列，从而b1b2b7lglg 10，当n8时，bnb8lg0，所以(n1)an1nan0，即，所以，所以an.【答案】(3)【解析】由于an122，所以2，即bn14bn2，bn14.又a11，故b11.所以是首项为，公比为4的等比数列，bn4n1，bn4n1.【答案】4n1考向2由Sn和an的关系求通项1an与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn，则an2已知Sn求an时应注意的问题(1)应重视分类讨论思想的应用，分n1和n2两种情况讨论，特别注意anSnSn1中需n2.(2)由SnSn1an推得
6、an，当n1时，a1也适合“an式”，则需统一“合写”(3)由SnSn1an推得an，当n1时，a1不适合“an式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即an(1)(2013课标，14)若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式是an_(2)(2012大纲全国，18，12分)已知数列an中，a11，前n项和Snan.求a2，a3；求an的通项公式【解析】(1)由Snan得，当n2时，Sn1an1，两式相减，整理得an2an1，又n1时，S1a1a1，a11，an是首项为1，公比为2的等比数列，故an(2)n1.(2)由S2a2得3(a1a2)4a2，解得a23a13.由S3a3得3(
7、a1a2a3)5a3，解得a3(a1a2)6.由题设知a11.当n2时，有anSnSn1anan1，整理得anan1.于是a11，a2a1，a3a2，an1an2，anan1.将以上n个等式两端分别相乘，整理得an.显然，当n1时也满足上式综上可知，an的通项公式an.【点拨】解题(1)的关键是由anSnSn1构造等比数列求an；解题(2)的关键是通过给出的Sn与an的关系，得出an与an1之间的关系，再利用累乘法求得an. 已知Sn求an的一般步骤(1)先利用a1S1求出a1；(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式；(3)对n1时的
8、结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1与n2两段来写(2012广东，19，14分)设数列an的前n项和为Sn，数列Sn的前n项和为Tn，满足Tn2Snn2，nN*.(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式解：(1)令n1时，T12S11，因为T1S1a1，所以a12a11，所以a11.(2)当n2时，Tn12Sn1(n1)2，则SnTnTn12Snn22Sn1(n1)22(SnSn1)2n12an2n1.因为当n1时，a1S11也满足上式，所以Sn2an2n1(n1)当n2时，Sn12an12(n1)1，两式相减得an2a
9、n2an12，所以an2an12(n2)，所以an22(an12)因为a1230，所以数列an2是以3为首项，2为公比的等比数列所以an232n1，所以an32n12.当n1时也满足上式，所以an32n12.考向3数列的单调性及其应用1数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看成是以正整数集N*或N*的有限子集1，2，3，n为定义域的函数anf(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值2数列的单调性(1)递增数列an1an；(2)递减数列an1a1a2a3a4，a5a6a7an1(nN*)数列an中的最大项为a52，最小项为a40.(2)an11，已知对任意的nN*，都有an
10、a6成立，结合函数f(x)1的单调性，可知56，即10a0数列an是单调递增数列；an1an0时，则1数列an是单调递增数列；1数列an是单调递减数列；1数列an是常数列当an1数列an是单调递减数列；an.求实数k的取值范围解：(1)由n25n40，解得1nn2kn4，化简得，k2n1，又有nN*，则有k3.1(2015重庆模拟，4)已知a11，ann(an1an)(nN*)，则数列an的通项公式是()A2n1 B.Cn2 Dn【答案】D因为ann(an1an)，所以，所以ana11n.2(2014河北四校联考，5)已知数列an满足条件a1a2a3an2n5，则数列an的通项公式为()Aan
11、2n1 BanCan2n Dan2n2【答案】B由题意可知，数列an满足条件a1a2a3an2n5，则a1a2a3an12(n1)5，n1，两式相减可得，2n52(n1)52，an2n1，n1，nN*.当n1时，7，a114，综上可知，数列an的通项公式为：an故选B.3(2015河南洛阳模拟，7)将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5，9，14，20，为“梯形数”根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差，即a2 0145()A2 0182 012 B2 0202 013C1 0092 012 D1 0102 013【答案】D因为anan1n2(n2)，a15，所以a2 014(a2 0
12、14a2 013)(a2 013a2 012)(a2a1)a12 0162 0154551 0102 0135，所以a2 01451 0102 013，故选D.4(2015江西九江模拟，13)在数列an中，已知a11，an1，记Sn为数列an的前n项和，则S2 014_【解析】a2，a32，a41，可见a4a1，由此可得，an3an，因此数列an是以3为周期的周期数列，则S2 014671(a1a2a3)a16711.【答案】5(2015山东潍坊调研，12)已知an是递增数列，且对于任意的nN*，ann2n恒成立，则实数的取值范围是_【解析】方法一(定义法)：因为an是递增数列，所以对任意的n
13、N*，都有an1an，即(n1)2(n1)n2n，整理，得2n10，即(2n1)(*)因为n1，所以(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需3.方法二(函数法)：设f(n)ann2n，其图象的对称轴为直线n，要使数列an为递增数列，只需使定义域在正整数上的函数f(n)为增函数，故只需满足f(1)3.【答案】36(2015山东青岛调研，16，12分)已知数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)(nN*)在函数f(x)x2x的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，不等式Tnloga(1a)对任意正整数n恒成立，求实数a的取值范围解：(1)点(n，Sn)在函数f(x)x2
14、x的图象上，Snn2n.当n2时，Sn1(n1)2(n1)，得ann.当n1时，a1S11，符合上式，ann(nN*)(2)由(1)得，Tn.Tn1Tn0，数列Tn单调递增，Tn中的最小项为T1.要使不等式Tnloga(1a)对任意正整数n恒成立，只要loga(1a)，即loga(1a)0，a0，0aa，0a0，则a2a30B若a1a30，则a1a20C若0a1D若a10【答案】C对于A，若a12，a21，a34，则a2a350，结论不成立；对于C，0a10.a1a3(a2d)(a2d)ad2a，a2.结论成立；对于D，(a2a1)(a2a3)d20，结论不成立2(2015广东，10，易)在等
15、差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8_.【解析】a2a8a3a7a4a62a5，(a2a8)25，a2a810.【答案】103(2015陕西，13，易)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为_【解析】设首项为a1，由等差中项的定义知a12 01521 010，a15.【答案】54(2015课标，16，中)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_【解析】an1SnSn1，且an1Sn1Sn，Sn1SnSnSn1，1，即1.又1，是首项为1，公差为1的等差数列，1(n1)(1)n.Sn.【答案】1(2012辽宁，6，易)
16、在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11()A58 B88 C143 D176【答案】B由等差数列性质可知，a4a8a1a1116，所以S1188.2.(2014辽宁，8，中)设等差数列an的公差为d.若数列2a1an为递减数列，则()Ad0Ca1d0【答案】C设bn2a1an，则bn12a1an+1，由于2a1an是递减数列，则bnbn1，即2a1an 2a1an+1.y2x是单调增函数，a1ana1an1，a1ana1(and)0，a1(anand)0，即a1(d)0，a1dbn1求解3(2012江西，12，易)设数列an，bn都是等差数列，若a1b17，a3b321，则a5b5_.【解析】方法一：设cnanbn，an，bn是等差数列，cn是等差数列，设其公差为d，则c17，c3c12d21，解得d7，因此，c5a5b57(51)735.方法二：设cnanbn，an，bn是等差数列，cn是等差数列，2(a3b3)(a1b1)(a5b5)，即427(a5b5)，因此a5b542735.【答案】354(2013重庆，12，易)已知an是
