1、民族理论与民族政策题库概率论与数理统计浙大四版习题答案第二章 第二章 随机变量及其分布 1.一 一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律解：X可以取值3，4，5，分布律为P(X 3) P(一球为3号,两球为1,2号) 1 C2C532 1101 C33C52P(X 4) P(一球为4号,再在1,2,3中任取两球) 2310 610 P(X 5) P(一球为5号,再在1,2,3,4中任取两球) 1 C4C53也可列为下表 X： 3， 4，5 P：136, 1010103.三 设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中
2、取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，（1）求X的分布律，（2）画出分布律的图形。解：任取三只，其中新含次品个数X可能为0，1，2个。P(X 0) C13C15133 22352P(X 1) C2 C13C15C2 C133C1521312 35P(X 2) 1 35再列为下表 X： 0， 1， 2 P：22121, 3535354.四 进行重复独立实验，设每次成功的概率为p，失败的概率为q =1p(0（2）将实验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律。（此时称Y服从以r, p为参数的巴斯卡分布。）（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X表示他首
3、次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率。解：（1）P (X=k)=qk1p k=1,2,（2）Y=r+n=最后一次实验前r+n1次有n次失败，且最后一次成功P(Y r n) Cr n 1qpnnr 1p Cr n 1qp,nnrn 0,1,2, ,其中 q=1p， k r,r 1, 1rk r或记r+n=k，则 PY=k=Ckr ,1p(1 p)（3）P (X=k) = (0.55)k10.45 (0.55)k=1,22k 1P (X取偶数)= P(X 2k) k 1 k 10.45 11316.六 一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备使用的概率
4、为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？P(X 2) C5pq225 2 C5 (0.1) (0.9) 0.0729223（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？P(X 3) C5 (0.1) (0.9) C5 (0.1) (0.9) C5 (0.1) 0.008563324455（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？P(X 3) C5(0.9) C5 0.1 (0.9) C5 (0.1) (0.9) C5 (0.1) (0.9) 0.99954332 514223（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？P(X 1) 1 P(X 0) 1 0.59049 0.40951五
5、 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。（1）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。（2）户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求Y的分布律。（3）求试飞次数X小于Y的概率；求试飞次数Y小于X的概率。解：（1）X的可能取值为1，2，3，n，P X=n=P 前n1次飞向了另2扇窗子，第n次飞了出去=()n 1 231， n=1，2， 3（2）Y的
6、可能取值为1，2，3 P Y=1=P 第1次飞了出去=1 3P Y=2=P 第1次飞向 另2扇窗子中的一扇，第2次飞了出去 =211 323P Y=3=P 第1，2次飞向了另2扇窗子，第3次飞了出去 =(3)PX Y 2!1 3!33 PYk 13 kPX Y|Y k kPX Y|Y k PYk 23 全概率公式并注意到 PX Y|Y 1 0 PYk 2 kPX k注意到X,Y独立即 PX Y|Y k PX k 111 121 8 27333 333 3同上，PX Y PYk 13 kPX Y|Y k11121419 333932781 k 1PY kPX k 故PY X 1 PX Y PX
7、Y) 3881 8.八 甲、乙二人投篮，投中的概率各为0.6, 0.7，令各投三次。求 （1）二人投中次数相等的概率。 记X表甲三次投篮中投中的次数 Y表乙三次投篮中投中的次数由于甲、乙每次投篮独立，且彼此投篮也独立。P (X=Y)=P (X=0, Y=0)+P (X=2, Y=2)+P (X=3, Y=3)= P (X=0) P (Y=0)+ P (X=1) P (Y=1)+ P (X=2) P (Y=2)+ P (X=3) P (Y=3)1212= (0.4)3 (0.3)3+ C3 0.6 (0.4) C3 0.7 (0.3) C32 (0.6)2 0.4 C32 (0.7)2 .3 (
8、0.6)3 (0.7)3 0.321 （2）甲比乙投中次数多的概率。P (XY)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)123228=C3 0.6 (0.4) (0.3) C3 (0.6) 0.4 (0.3) 123 C32 (0.6)2 0.4 C3 0.7 (0.
9、3) (0.6) (0.3) (0.6) C3 0.7 (0.3) (0.6)22 C3 (0.7) 0.3 0.243331239.十 有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯。如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验10次，成功3次。试问他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的。）解：（1）P (一次成功)=1C84 170136973)() 7070100003(（2）P (连续试验10次，成功3次)= C10。此概率太小，按实际推断原理，就认为他确有区分
10、能力。九 有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取10件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%，求（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率 （2）需作第二次检验的概率（3）这批产品按第2次检验的标准被接受的概率（4）这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率 （5）这批产品被接受的概率解：X表示10件中次品的个数，Y表示5件中次品的个数，由于产品总数很大，故XB（10，0.1），YB（5，0.1）（近似服从） （1）P X=0=0.9100.34922819（2）
11、P X2=P X=2+ P X=1=C100.10.9 C100.10.9 0.581（3）P Y=0=0.9 0.590 （4）P 0(05= P 012.十三 电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求 （1）每分钟恰有8次呼唤的概率 法一： 法二：4 4P(X 8) e 0.029770（直接计算）8!8P ( X= 8 )= P (X 8)P (X 9)（查= 4泊松分布表）。= 0.0511340.021363=0.029771 （2）每分钟的呼唤次数大于10的概率。 P (X10)=P (X 11)=0.002840（查表计算）十二 (2)每分钟呼唤次数大于3的概率。PX
12、 3 PX 4 0.566530十六 以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间（以分计），X的分布函数是 1 e 0.4x,FX(x) 0x 0x 0求下述概率：（1）P至多3分钟；（2）P 至少4分钟；（3）P3分钟至4分钟之间； （4）P至多3分钟或至少4分钟；（5）P恰好2.5分钟 解：（1）P至多3分钟= P X3 =FX(3) 1 e 1.2 （2）P 至少4分钟 P (X 4) =1 FX(4) e 1.6（3）P3分钟至4分钟之间= P 3=1 e 1.2 e 1.6 （5）P恰好2.5分钟= P (X=2.5)=0 0,x 1, 18.十七 设随机变量X的分布函
13、数为FX(x) lnx,1 x e,， 1,x e.求（1）P (XP(2 X 5555 FX() FX(2) ln ln2 ln2224 1 ,1 x e,（2）f(x) F(x) x 0,其它20.十八（2）设随机变量X的概率密度f(x)为 2 （1）f(x) x （2）f(x) 2 x 0 x02 1 x 1其它 0 x 11 x 2 其他求X的分布函数F (x)，并作出（2）中的f (x)与F (x)的图形。 解：当1x1时：2F(x) 0dx 1 1 x2 11 21 xdx x x arcsinx 2 2 12X 1112x x arcsinx 2当1 1 0dx 2 11 xdx
14、 2 0dx 11x 0 1112F(x) x x arcsinx 2 1x 1 1 x 1 1 x解：（2）F(x) P(X x) x f(t)dt当x 0时,F(x) x 0dt 0当0 x 1时,当1 x 2时,当2 x时,xF(x) 0dt tdt 02 x2F(x) 0dt 1 tdt x1(2 t)dt 2x x 122 F(x) 0dt 1 tdt 21(2 t)dt x20dt 1故分布函数为 0 x2 2F(x) 2x 2x 12 1x 00 x 1 1 x 22 x（2）中的f (x)与F (x)的图形如下x22.二十 某种型号的电子的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度：
15、 1000 f(x) x2 x 1000其它 现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）。任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为P(X 1500) 1 P(X 1500) 1 1 (1 22) 33 150010001000x21 dx 1 1000( )x 15001000 令Y表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则YB(5,2)，3214 151P(Y 2) 1 P(Y 2) 1 P(Y 0) P(Y 1) 1 () C5 () () 33 3 1 1 5 235 1 11243 23224323.二
16、十一 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为： 1 x5 FX(x) 5e,x 0 0,其它某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开。他一个月要到银行5次。以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律。并求P（Y1）。解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为P(X 10) 10fX1(x)dx 5 5 k 10e x5dx e x5 10 e 2 因此YB(5,e 2).即P(Y k) e 2k(1 e 2)5 k,(k 1,2,3,4,5P(Y 1) 1 P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 (1 e 1 0.86775 2) 1 (1
17、 5155) 1 (1 0.1353363)7.389 1 0.4833 0.5167.24.二十二 设K在（0，5）上服从均匀分布，求方程4x2 4xK K 2 0有实根的概率 1 K的分布密度为：f(K) 5 0 00 K 5其他 要方程有根，就是要K满足(4K)244 (K+2)0。 解不等式，得K2时，方程有实根。 P(K 2) 2f(x)dx 521dx 5 50dx 3 525.二十三 设XN（3.22）（1）求P (22，P (X3) 若XN（，2），则P ( 5 3 2 3 P (2 2 2 =0.84130.3085=0.5328 10 3 4 3 P (4 2 2 =0.9
18、9980.0002=0.9996P (|X|2)=1P (|X|=1 2 3 2 3 22 =1(0.5) +(2.5) =10.3085+0.0062=0.6977 P (X3)=1P (X3)=1 3 3 =10.5=0.5 2 （2）决定C使得P (X C )=P (XC) 得 又 P (X C )=1P (XC )= P (XC) P (XC )=1=0.5 2 2 2C 3 C 3 0 C =3 P (XC )= 0.5,查表可得26.二十四 某地区18岁的女青年的血压（收缩区，以mm-Hg计）服从N(110,122)在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X。求（1）P (X105
19、)，P (100x) 0.05. 解:(1)P(X 105) (105 110) ( 0.4167) 1 (0.4167) 1 0.6616 0.3384 12120 110100 11055P(100 X 120) () () () ( )1212665) 1 2 (0.8333) 1 2 0.7976 1 0.59526 2 (2)P(X x) 1 P(X x) 1 (查表得x 110x 110) 0.05 () 0.95.1212故最小的X 129.74.x 110 1.645. x 110 19.74 129.74.12 27.二十五 由某机器生产的螺栓长度（cm）服从参数为=10.0
20、5，=0.06的正态分布。规定长度在范围10.050.12内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少？设螺栓长度为XPX不属于(10.050.12, 10.05+0.12)=1P (10.050.12 (10.05 0.12) 10.05 (10.05 0.12) 10.05 0.060.06 =1(2)(2) =10.97720.0228 =0.045628.二十六 一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为=160，(未知)的正态分布，若要求P (120X200=0.80，允许最大为多少？ P (120X200)= 200 160 120 160 40 40 0.80 又对标准正态分布
21、有(x)=1(x) 上式变为 解出 40 40 1 0.80 40 0.9 40 便得: 再查表，得40 1.281 40 31.25 1.28130.二十七 设随机变量X的分布律为： X：2，P：1， 51， 0，1， 31130111， ， ， 6515求Y=X 2的分布律 Y=X 2：(2)2 P：1 5(1)21 6(0)2 (1)2 (3)21130 11 515再把X 2的取值相同的合并，并按从小到大排列，就得函数Y的分布律为： Y： 0 P：14911301111 6155531.二十八 设随机变量X在（0，1）上服从均匀分布 （1）求Y=e的分布密度 X的分布密度为：f(x)
22、0 10 x 1 x为其他X Y=g (X) =eX是单调增函数 X=h (Y)=lnY，反函数存在 = ming (0), g (1)=min(1, e)=1又 且 maxg (0), g (1)=max(1, e)= e1 fh(y) |h(y)| 1 Y的分布密度为：(y) y 0 1 y ey为其他 （2）求Y=2lnX的概率密度。 又 且Y= g (X)=2lnX 是单调减函数X h(Y) e Y2反函数存在。 = ming (0), g (1)=min(+, 0 )=0=maxg (0), g (1)=max(+, 0 )= +yy 1 21 2e e fh(y) |h(y)| 1
23、 Y的分布密度为：(y) 22 0 0 y y为其他 32.二十九 设XN（0，1） （1）求Y=eX的概率密度 X的概率密度是f(x) X12e x22, x Y= g (X)=e 是单调增函数 又 且X= h (Y ) = lnY 反函数存在 = ming (), g (+)=min(0, +)=0 = maxg (), g (+)= max(0, +)= + Y的分布密度为：(lny) 112 fh(y) |h(y)| e (y) y2 0 20 y y为其他 （2）求Y=2X2+1的概率密度。在这里，Y=2X2+1在(+，)不是单调函数，没有一般的结论可用。 设Y的分布函数是FY（y）
24、，则 FY ( y)=P (Yy)=P (2X2+1y) 26=P y 12 X y 1 2 当y 当y1时：Fy(y) P y 12y 1 2 y 12y 12 X 12e x22dx故Y的分布密度( y)是：当y1时：( y)= FY ( y) = (0) =0y 1 当y1时，( y)= FY ( y) = 1212 e x22y 12 dx =e y 142(y 1) （3）求Y=| X |的概率密度。 Y的分布函数为 FY ( y)=P (Yy )=P ( | X |y) 当y当y0时，FY ( y)=P (| X |y )=P (yXy)= Y的概率密度为：当y0时：( y)= F
25、Y ( y) = (0) =0 当y0时：( y)= FY ( y) = dx y y12e x22dx y y12e x222e y22 33.三十 （1）设随机变量X的概率密度为f (x)，求Y = X 3的概率密度。 又 且Y=g (X )= X 3 是X单调增函数，1X=h (Y ) =Y3，反函数存在， = ming (), g (+)=min(0, +)= = maxg (), g (+)= max(0, +)= + Y的分布密度为：12( y)= f h ( h )| h ( y)| = f(y3 1 3) y, y ,但y 0 327 (0) 0（2）设随机变量X服从参数为1的指数分布，求Y=X 2的概率密度。 e x法一： X的分布密度为：f(x) 0x 0x 0 Y=x是非单调函数当 x2 22y Y fY (y) = f( y)( y) f(y)(y) 1 e 0 = 2y 0 y 21ye y,y 0y 0 法二：YFY(y) P(Y y) P( y X y) P(X y) P(X y) 0 0 ye xdx 0 1 e y,y 0y 0 1e Y fY (y) = 2y 0 y,y 0.y 0. 34.三十一 设X的概率密度为
