1、第一章 建立数学模型第一章 建立数学模型1.1 从现实对象到数学模型我们常见的模型有：玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机 物理模型地图、电路图、分子结构图 符号模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物，模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征1.1.1你碰到过的数学模型“航行问题”甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?解：用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：求解得：x=20,y=5.答：船速每小时20千米/小时1.1.2航行问题建立数学模型的基本步骤（1）作
2、出简化假设（船速、水速为常数）；（2）用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）；（3）用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；（4）求解得到数学解答（x=20, y=5）；（5）回答原问题（船速每小时20千米/小时）.1.1.3数学模型 (Mathematical Model) 和数学建模（Mathematical Modeling）（1）数学模型对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。（2）数学建模建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）1.2 数学建模的重要意义（1）电子
3、计算机的出现及飞速发展；（2）数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。1.2.1数学建模的具体应用1.3 数学建模示例问题：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳。然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。这个看来似乎与数学无关地现象能用数学语言给以表述，并用数学工具来证实吗？让我们试试看。1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗？（1）问题分析：通常要求三只脚着地，放稳要求
4、四只脚着地。 模型假设：四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。（2）模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来椅子位置：利用正方形(椅脚连线)的对称性，用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置。四只脚着地：椅脚与地面距离为零，距离是的函数据正方形对称性四个距离(四只脚)可转化为两个距离：A,C 两脚与地面距离之和 f()B,D 两脚与地面距离之和 g()正方形ABCD绕O点旋转如右图： 模型构成：用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来地面为连续曲面 f() , g()是连续函
5、数椅子在任意位置至少三只脚着地 对任意, f(), g()至少一个为0 数学问题：已知f()，g()是连续函数；对任意，f() g()=0；且g(0)=0，f(0) 0. 证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.（3）模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法：将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0令h()= f()g(), 则h(0)0和h(/2)0.由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) .因为f() g()=0, 所以f(0) = g(
6、0) = 0.（4）评注和思考建模的关键：和 f(), g()的确定。假设条件的本质与非本质：考察四脚呈长方形的椅子。 1.3.2商人们怎样安全过河3名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全过河呢？问题(智力游戏)随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?（1）问题分析：多步决策过程决策：每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求：在安全的前提下(两岸的随从数不比商人
7、多),经有限步使全体人员过河.（2）模型构成xk第k次渡河前此岸的商人数，yk第k次渡河前此岸的随从数xk，yk=0,1,2,3;k=1,2, sk=(xk , yk)过程的状态，S 允许状态集合S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2uk第k次渡船上的商人数，vk第k次渡船上的随从数uk, vk=0,1,2;k=1,2, dk=(uk , vk)决策D=(u , v) u+v=1, 2 允许决策集合sk+1=sk +(-1)dk k状态转移律多步决策问题：求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按转移律由 s1=(3,3)到达
8、sn+1=(0,0).（3）模型求解 穷举法 编程上机：S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3;x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2 图解法：状态s=(x,y) 16个格点允许状态 10个点允许决策 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.d1, ，d11给出安全渡河方案（4）评注和思考：规格化方法,易于推广考虑4名商人各带一随从的情况练习人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡，鸡要吃米。试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。 1.3.3 如何预报人口的增长背景 世界人口增长情况 年1625183019301
9、960197419871999人口(亿)5102030405060中国人口增长概况 年19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口变化规律；控制人口过快增长。常用的计算公式：今年人口 x0, 年增长率 r，k年后人口指数增长模型马尔萨斯提出 (1798)基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数，x(t) 时刻t的人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长指数增长模型的应用及局限性： 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合； 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代； 可用于短期人口增长预测； 不
10、符合19世纪后多数地区人口增长规律； 不能预测较长期的人口增长过程； 不能预测较长期的人口增长过程。19世纪后人口数据，人口增长率r不是常数(逐渐下降)。阻滞增长模型(Logistic模型) 人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大 r是x的减函数假设： r固有增长率(x很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）阻滞增长模型(Logistic模型)x(t)S形曲线, x增加先快后慢阻滞增长模型(Logistic模型)参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm利用统计数据用最小二
11、乘法作拟合例：美国人口数据（单位百万）1860 1870 1880 1960 1970 1980 199031.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4r=0.2557, xm=392.1专家估计 模型检验用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较。实际为281.4 (百万)模型应用预报美国2010年的人口，加入2000年人口数据后重新估计模型参数r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)练习假定人口的增长服从这样的规律：时刻t的人口为x(t)，t到t+t时间内人口的增量与xm-
12、x(t)成正比（其中xm为最大容量）。试建立模型并求解。作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较。1.4 数学建模的方法和步骤1.4.1数学建模的基本方法： 机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律 测试分析：将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模 型 二者结合：用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数。机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 （Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析 数学建模的一般步骤：（1）模型假设：针对问题特点和建模目的，作出合理的、简化的假设，在合理与简化之间作出折中（2）模型
13、构成：用数学的语言、符号描述问题，发挥想像力，使用类比法，尽量采用简单的数学工具（3）模型求解：各种数学方法、软件和计算机技术（4）模型分析：如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析（5）模型检验：与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性（6）模型应用表述根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题求解选择适当的数学方法求得数学模型的解答解释将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象验证用现实对象的信息检验得到的解答1.5 数学模型的特点和分类1.5.1数学模型的特点：模型的逼真性和可行性、非预制性、渐进性、条理性、强健性、技艺性、可转移性、局限性。1.5.2数学模型的分类：应用
14、领域：人口、交通、经济、生态 数学方法：初等数学、微分方程、规划、统计 表现特性：确定和随机、静态和动态、离散和连续、线性和非线性建模目的：描述、优化、预报、决策 了解程度：白箱、灰箱、黑箱1.6 怎样学习数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术，技术大致有章可循，艺术无法归纳成普遍适用的准则。想象力、洞察力、判断力 学习、分析、评价、改进别人作过的模型 亲自动手，认真作几个实际题目1.7 大学生数学建模竞赛1985年美国出现了一种叫MCM(Mathematical Contest in Modeling)的一年一度的大学生数学建模竞赛。考题由工业或政府部门工作的数学家提出，从中选择
15、没有固定范围的实际问题。比赛时间3天，要求在3天的持续时间内参赛队要以有清楚定义的格式写出解法论文。参赛队可以使用包括计算机、软件包、书、杂志等一切外部资源。我国大学生1989年开始参加美国大学生数学建模竞赛。我国高校1990年，上海举办上海市大学生数学模型竞赛；西安1992年4月举办西安市第一界大学生数学建模竞赛；1992年11月举行全国大学生数学建模竞赛；以后每年举办一次。我院从1994年开始参加全国大学生数学建模竞赛。 看谁答得快1、某甲早8时从山下旅店出发沿一路径上山，下午5时到达山顶并留宿。次日早8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？2、某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6时抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家。一日他提前下班搭早一班火车于5时半抵T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前来，在路上遇到他接回家时，发现比往常提前了10分钟，问他步行了多长时间？3、两兄妹分别在离家2千米和1千米且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4千米/小时和2千米/小时的速度步行回家，一小狗以6千米/小时的速度从哥哥处奔向妹妹，又从妹妹处奔向哥哥，如此往返直至回家中，问小狗奔波了多少路程？
