1、考研高等数学知识点归纳总结考研高等数学知识点归纳总结高等数学知识点总结导数公式:基本积分表:三角函数的有理式积分: 222212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +=+-=+=, ax x aa a ctgxx x tgxx x xctgx xtgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22=-=-=222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-=+=-=-=+=+=+=+=+-=+=+-=+=C a
2、 x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C ax x a dx Cx a x a a x a dx Ca x a x a a x dx C ax arctg a x a dx Cctgx x xdx Ctgx x xdx Cx ctgxdx Cx tgxdx +=-+-+=-+-=-+=+-=+=+=+-=arcsin ln 2
3、1ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222+-=-+-+-=-+=+-=-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 222222222222222222222020一些初等函数: 两个重要极限:三角函数公式: 诱导公式:和差角公式: 和差化积公式:2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2si
4、n sin 2cos2sin2sin sin -+=-+=+-+=-+=+ctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg =1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+=+=+-=+=-=-11ln21)1ln(1ln(:2:2:22)双曲正切双曲余弦双曲正弦.590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0=+=e xx x x x
5、x倍角公式:半角公式:cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+=+=-=+-=+=-=ctg tg正弦定理:R CcB b A a 2sin sin sin = 余弦定理:C ab b a c cos 2222-+=反三角函数性质:arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin 高阶导数公式莱布尼兹(Leibniz )公式:)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k
6、n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +-+-+=-=-值定理与导数应用:拉格朗日值定理。时,柯西值定理就是当柯西值定理:拉格朗日值定理:x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =-=-)(F )()()()()()()()()(曲率:.1;0.)1(lim M s M M :.,13202aK a K y y ds d s K M M sK tg y dx y ds s =+=+=的圆:半径为直线:点的曲率:弧长。:化量;点,切线斜率的倾角变点到从平均曲率:其弧微分公式: 23333133co
7、s 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg -=-=-=222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-=定积分的近似计算:-+-+-+-ban n n ban n ba n y y y y y y y y nab x f y y y y n a b x f y y y nab x f )(4)(2)(3)()(21)()()(1312420110110 抛物线法:梯形法:矩形法:定积分应用相关公式:-=bab a dt t f a b dx x
8、 f a b y k rmm k F Ap F sF W )(1)(1,2221均方根:函数的平均值:为引力系数引力:水压力:功:空间解析几何和向量代数:。代表平行六面体的体积为锐角时,向量的混合积:例:线速度:两向量之间的夹角:是一个数量轴的夹角。是向量在轴上的投影:点的距离:空间,cos )(.sin ,cos ,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(2222222212121*c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a
9、b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M Md zyx z y xzy xzyxz y xzy x z y x zz y y x x z z y y x x u u=+=+=+=+=-+-+-=(马鞍面)双叶双曲面:单叶双曲面:、双曲面:同号)(、抛物面:、椭球面:二次曲面:参数方程:其空间直线的方程:面的距离:平面外任意一点到该平、截距世方程:、一般方程:,其、点法式:平面的方程:113,22211;,1302),(,0)()()(1222222222222222222220000002220000000000=+-=-+=+=+=+=+
10、=-=-=-+=+=+=-+-+-cz b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x ptz z nty y m tx x p n m s t p z z n y y m x x C B A DCz By Ax d c zb y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A多元函数微分法及应用zy z x y x y x y x y x F F y zF F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy yvdx x v dv dy
11、 y u dx x u du y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz zu dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -=-=-=-=+=+=+=+=+=+=+=,隐函数+,隐函数隐函数的求导公式:时,当:多元复合函数的求导法全微分的近似计算:全微分:0),()()(0),(),(),(),(),()(),(),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),(
12、0),(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F vG uG v FuFv u G F J v u y x G v u y x F vu v u -=-=-=-=隐函数方程组:微分法在几何上的应用:),(),(),(30)(,()(,()(,(2),(),(),(1),(0),(,0),(0),(0)()()()()()(),()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x
13、 z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx yx x z x z z y z y -=-=-=-+-+-=-+-+-=-=-=、过此点的法线方程:、过此点的切平面方程、过此点的法向量:,则:上一点曲面则切向量若空间曲线方程为:处的法平面方程:在
14、点处的切线方程:在点空间曲线方向导数与梯度:上的投影。在是单位向量。方向上的,为,其:它与方向导数的关系是的梯度:在一点函数的转角。轴到方向为其的方向导数为:沿任一方向在一点函数l y x f l fl j i e e y x f lf j yf i x f y x f y x p y x f z l x y fx f l f l y x p y x f z ),(grad sin cos ),(grad ),(grad ),(),(sin cos ),(),(+=+=+=多元函数的极值及其求法:=-=不确定时值时,无极为极小值为极大值时,则:,令:设,00),(,0),(,00),(,),(
15、,),(0),(),(22000020000000000B AC B AC y x A y x A B AC C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x重积分及其应用:+-=+=+= + +=Dz Dy Dx z y x Dy Dx DDy Dx DD Da y x xd y x fa F a y x yd y x f F a y x xd y x f F F F F F a a M z xoy d y x x I y d y x y I x d y x d y x y MM y d y x d y x x MM x dxdy y z x
16、z A y x f z rdrd r r f dxdy y x f 23222232222322222D22)(),()(),()(),(,)0(),0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin ,cos (),(,其:的引力:轴上质点平面)对平面薄片(位于轴对于轴对于平面薄片的转动惯量:平面薄片的重心:的面积曲面柱面坐标和球面坐标:+=+=+=dvy x I dv z x I dv z y I dvx M dv z Mz dv y My dv x Mx dr r r F d d d drd r r F dxdydz z y x f d drd r dr d r rd dv
17、 r z r y r x z r r f z r F dz rdrd z r F dxdydz z y x f zz r y r x z y x r )()()(1,1,1sin ),(sin ),(),(sin sin cos sin sin cos sin ),sin ,cos (),(,),(),(,sin cos 22222220),(0222,转动惯量:,其重心:,球面坐标:其:柱面坐标:曲线积分:=+=)()()()()(),(),(),(,)()(),(22t y t x dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f L特殊情况:则:的参数方
18、程为:上连续,在设长的曲线积分):第一类曲线积分(对弧。,通常设的全微分,其:才是二元函数时,=在:二元函数的全微分求积注意方向相反!减去对此奇点的积分,应。注意奇点,如=,且内具有一阶连续偏导数在,、是一个单连通区域;、无关的条件:平面上曲线积分与路径的面积:时,得到,即:当格林公式:格林公式:的方向角。上积分起止点处切向量分别为和,其系:两类曲线积分之间的关,则:的参数方程为设标的曲线积分):第二类曲线积分(对坐0),(),(),(),()0,0(),(),(21212,)()()cos cos ()()(),()()(),(),(),()()(00),(),(00=+=+-=-=-=+=
19、-+=-+=+=+=y xdy y x Q dx y x P y x u y x u Qdy Pdx yP x Q yPx Q G y x Q y x P G ydxxdy dxdy A D y P x Q x Q y P QdyPdx dxdy y Px Q Qdy Pdx dxdy y P x Q L ds Q P Qdy Pdx dtt t t Q t t t P dy y x Q dx y x P t y t x L y x y x DLD LD L LLL曲面积分:+=+=+=dsR Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dzdx z x z y x Q dzdx z y x
20、Q dydzz y z y x P dydz z y x P dxdyy x z y x R dxdy z y x R dxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P dxdyy x z y x z y x z y x f ds z y x f zxyzxyxyD D D D y x )cos cos cos (),(,),(,),(),(),(,),(),(),(),(),(),(1),(,),(22系:两类曲面积分之间的关号。,取曲面的右侧时取正号;,取曲面的前侧时取正号;,取曲面的上侧时取正,其:对坐标的曲面积分:对面积的曲面积分:高斯公式:=+=+-+-+-
21、+-n n n nn n n n u r r u s u u u u u u u u u u u 绝对收敛与条件收敛:-+时收敛1时发散p 级数:收敛;级数:收敛;发散,而调和级数:为条件收敛级数。收敛,则称发散,而如果收敛级数;肯定收敛,且称为绝对收敛,则如果为任意实数;,其111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p nn n n幂级数:010)3(lim )3(1111111221032=+=+=+-+R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x
22、 x x n n nn n n n n 时,时,时,的系数,则是,其求收敛半径的方法:设称为收敛半径。,其时不定时发散时收敛,使在数轴上都收敛,则必存收敛,也不是在全,如果它不是仅在原点对于级数时,发散时,收敛于函数展开成幂级数:+=-+=+-+-+-=+nn n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !)0(!2)0()0()0()(00lim )(,)()!1()()(!)()(!2)()()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式:充要条件是:可以展开
23、成泰勒级数的余项:函数展开成泰勒级数: 一些函数展开成幂级数:)()!12()1(!5!3sin )11(!)1()1(!2)1(1)1(121532+-+-+-+-=-+-+-+=+-x n xx x x x x x n n m m m x m m m x x n n nm欧拉公式:-=+=+=-2sin 2cos sin cos ix ix ixix ix ee x e e x x i x e 或 三角级数:。上的积分=在任意两个不同项的乘积正交性:。,其,0,cos ,sin 2cos ,2sin ,cos ,sin ,1cos sin )sin cos (2)sin()(001010-=+=+= nx nx x x x x x t A b A a aA a nx b nx a a t n
