1、线段的垂直平分线的性质及其应用两套资料培优教学案精编线段的垂直平分线-知识讲解(一)【学习目标】1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理.3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形. 4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题【要点梳理】要点一、线段的垂直平分线1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线2.线段垂直平分线的做法求作线段AB的垂直平分线.作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧
2、相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求直线要点诠释：(1)作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到两弧的交点了(2)线段的垂直平分线的实质是一条直线.要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距
3、离相等的点，在这条线段的垂直平分线上要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合要点四、三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心外心. 要点诠释:1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合. 3.外心到三顶点的距离相等.要点五、尺规作图作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画
4、图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”.【典型例题】类型一、线段的垂直平分线定理 1、如图，ABC中ACBC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则BCD的周长是（ ） A9 B8 C7 D6【思路点拨】先根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，即AD+CD=BD+CD=AC，再根据BCD的周长=BC+BD+CD即可进行解答【总结升华】此题正是应用了线段垂直平分线的性质定理，也就是已知直线是线段垂直平分线，那么垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，从而把三角形的边进行转移，进而求得三
5、角形的周长举一反三：【变式1】如图，在ABC中，AB=AC，A=36，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）ABD平分ABC BBCD的周长等于AB+BCCAD=BD=BC D点D是线段AC的中点【变式2】（2015秋江阴市校级月考）如图，ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G求AEG的周长类型二、线段的垂直平分线的逆定理2、如图，已知AB=AC,ABD=ACD，求证：AD是线段BC的垂直平分线【总结升华】本题需要注意的是对于线段垂直平分线性质定理的逆定理的应用，部分学生可能错误地认为“因为到线段两端
6、距离相等的点在线段垂直平分线上，所以已知AB=AC就可以说明AD是线段BC的垂直平分线了”，但却忽略了“两点确定一条直线”，所以只有当AB=AC，DB=DC时，才能说明AD是线段BC的垂直平分线举一反三：【变式】如图，P是MON的平分线上的一点，PAOM,PBON,垂足分别为A、B求证：PO垂直平分AB类型三、线段的垂直平分线定理与逆定理的综合应用3、已知：如图，AB=AC，DB=DC，E是AD上一点 求证：BE=CE 【总结升华】本题综合运用了线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，通过本例要学会灵活运用这两个定理解决几何问题，性质定理可以用来证明线段相等，本题中要注意必须有和已知线段两端距离相
7、等的两个点才能确定垂直平分线这条直线4、如图所示，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，D为BC边上的中点，CEAD于点E，BFAC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF【思路点拨】先根据ASA判定ACDCBF得到BF=CD，然后又因为D为BC中点，根据中点定义得到CD=BD，等量代换得到BF=BD，再根据角度之间的数量关系求出ABC=ABF，即BA是FBD的平分线，从而利用等腰三角形三线合一的性质求证即可【总结升华】主要考查了三角形全等的判定和角平分线的定义以及线段的垂直平分线的性质等几何知识要注意的是：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等举一反三：【变式】如图，在AB
8、C中，AB=AC，A=120，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N. 求证：CM=2BM. 类型四、尺规作图5、（2016秋西市区校级期中）电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等请在图中作出发射塔P的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【思路点拨】根据题意，P点既在线段AB的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上故两线交点即为发射塔P的位置【总结升华】此题考查了线段的垂直平分线和角的平分线的性质，属基本作图题线段的垂直平分线巩固练习（基础）【巩固练习】一选择题1如图，在RtABC中，B=90
9、，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E已知BAE=10，则C的度数为（）A30 B40 C50 D602（2016春宿州校级期末）如图，在ABC中，DE是边AB的垂直平分线，BC=8cm，AC=5cm，则ADC的周长为（）A14cm B13cm C11cm D9cm3（2015达州）如图，ABC中，BD平分ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF若A=60，ABD=24，则ACF的度数为（）A48 B36 C30 D244如图，已知直角三角形ABC中，ACB=90，E为AB上一点，且CE=EB，EDCB于D，则下列结论中不一定成立的是（）AAE=BE BCE=AB
10、 CCEB=2A DAC=AB5如图，等腰ABC中，AB=AC，A=20线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则CBE等于（） A、80 B、70 C、60 D、506如图所示，BEAC于点D，且ADCD，BDED，若ABC54，则E（ ）A25 B27 C30 D45二填空题7（2015徐州校级模拟）如图，在ABC中，AB=6cm，AC=4cm，BC的垂直平分线分别角AB、BC于D、E，则ACD的周长为 cm8如图，ABC中，ABAC，AB的垂直平分线交AC于P点（1）若A35，则BPC_；（2）若AB5 cm，BC3 cm，则PBC的周长_9如图，在ABC中，BC边上的垂直
11、平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E若EDC的周长为24，ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为 10如图，在ABC中，C90，A30，CD2cm， AB的垂直平分线MN交AC于D，连结BD，则AC的长是_cm 11如图，在ABC中，C90，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E 若CBD : DBA 3:1，则A的度数为_ 12（2016秋乌拉特前旗期末）如图，ABC中，AB=AC，A=36，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：（1）BD平分ABC；（2）AD=BD=BC；（3）BDC的周长等于AB+BC；（4）D是AC中点其中正确的命题序号是 三
12、解答题： 13（2015秋武昌区期中）如图，在ABC中，ABC的周长为38cm，BAC=140，AB+AC=22cm，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，与AB、AC分别交于点D、G，求：（1）EAF的度数；（2）求AEF的周长14如图，在四边形ABCD中，ADBC，E为CD的中点，连接AE、BE，BEAE，延长AE交BC的延长线于点F求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD15为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置要求：写
13、出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹线段的垂直平分线-知识讲解(二)【学习目标】1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理.3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形. 4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题【要点梳理】要点一、线段的垂直平分线1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线2.线段垂直平分线的做法求作线段AB的垂直平分线.作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点
14、； （2）作直线CD，CD即为所求直线要点诠释：(1)作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到两弧的交点了(2)线段的垂直平分线的实质是一条直线.要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这
15、条线段的垂直平分线上要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合要点四、三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心外心. 要点诠释:1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合. 3.外心到三顶点的距离相等.要点五、尺规作图作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，
16、在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”.【典型例题】类型一、线段的垂直平分线定理 1.如图，在ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD若ADC的周长为10，AB=7，则ABC的周长为（） A、7 B、14 C、17 D、20【思路点拨】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，即可得AD=BD，又由 ADC的周长为10，求得AC+BC的长，则可求得 ABC的周长【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质与作法题目难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用举
17、一反三：【变式】阅读“作线段的垂直平分线”的作法，完成填空及证明已知：线段AB，要作线段AB的垂直平分线作法：（1）分别以A、B为圆心，大于 AB的同样长为半径作弧，两弧分别交于点C、D；（2）作直线CD直线CD即为所求作的线段AB的垂直平分线根据上述作法和图形，先填空，再证明已知：如图，连接AC、BC、AD、BD，AC=AD=_=_BD求证：CDAB，CD平分AB证明： 2.（2015秋和县期中）如图，在ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连结0B，OC，若ADE的周长为6cm，OBC的周长为16cm（1）求线段BC的长；（
18、2）连结OA，求线段OA的长；（3）若BAC=120，求DAE的度数【思路点拨】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，EA=EC，根据三角形的周长公式计算即可；（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可；（3）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算【总结升华】本题考查的是线段的垂直平分线的性质等几何知识线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等举一反三：【变式】如图，在ABC中，已知BC=7，AC=16，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，求BEC的周长要点二、线段的垂直平分线的逆定理3.（2016春鄄城县期中）如图，在ABC中，AD是高，在线段
19、DC上取一点E，使DE=BD，已知AB+BD=DC求证：E点在线段AC的垂直平分线上【思路点拨】根据线段的垂直平分线性质求出BD=DE，推出DE+EC=AE+DE，得出EC=AE，根据线段垂直平分线性质推出即可【总结升华】本题考查了线段的垂直平分线的应用，掌握线段垂直平分线的性质和判定定理是解题的关键类型三、线段的垂直平分线定理与逆定理的综合应用4.联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心举例：如图1，若PA=PB，则点P为ABC的准外心应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求APB的度数探究：已知
20、ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长【思路点拨】应用：连接PA、PB，根据准外心的定义，分PB=PC，PA=PC，PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系，然后判断出只有情况是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出APB=45，然后即可求出APB的度数；探究：先根据勾股定理求出AC的长度，根据准外心的定义，分PB=PC，PA=PC，PA=PB三种情况，根据三角形的性质计算即可得解【总结升华】考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，读懂题意，弄清楚准外心的定义是解题的关键，根据准外心的定义，要注意分三种情况进行讨论举一反
21、三：【变式】在ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若BAC=110，则EAG=_.要点四、尺规作图5.如图，每个格的单位长度是1，ABC的外心坐标是 (_).【思路点拨】可分别作BC与AB的垂直平分线，两条垂直平分线交于点G，则点G即为ABC的外心，继而可求得答案【总结升华】考察尺规作图的能力和三角形的外心的定义此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用举一反三：【变式】数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题李明准备与朋友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区A、B，同时又有相交的两
22、条公路，李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置！请用尺规作图确定超市P的位置（作图不写作法，但要求保留作图痕迹）线段的垂直平分线巩固练习（提高）【巩固练习】一选择题1.如图，在RtACB中，C=90，BE平分ABC，ED垂直平分AB于D若AC=9，则AE的值是（） A、6 B、4 C、6 D、42.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（） A、6 B、5 C、4 D、33.如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中A
23、P=2CP甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：（甲）作ACP、BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（） A、两人都正确 B、两人都错误 C、甲正确，乙错误 D、甲错误，乙正确4.如图，在RtABC中，C=90，B=30AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（） A、AE=BE B、AC=BE C、CE=DE D、CAE=B5.如图，AC=AD，BC=BD，则有（）A、AB垂直平分CD B、CD垂直平分AB
24、C、AB与CD互相垂直平分 D、CD平分ACB6.（2015秋陆丰市校级期中）如图，点P是ABC内的一点，若PB=PC，则（）A点P在ABC的平分线上 B点P在ACB的平分线上C点P在边AB的垂直平分线上 D点P在边BC的垂直平分线上二填空题7（2016长沙）如图，ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则BCE的周长为 8.如图，在ABC中，B=30，ED垂直平分BC，ED=3则CE长为_9.（2015西宁）如图，RtABC中，B=90，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为_10.如图，AB=AC，BAC=
25、120，AB的垂直平分线交BC于点D，那么ADC=_度11.如图:已知,在ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则ADE的周长等于_12.如图，ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则ABD的周长为_cm三解答题： 13.如图，在ABC中，ABC=45，CDAB，BEAC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，ABE=CBE（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；（2）求证：BG2-GE2=EA214.（2015秋扬州校级月考）如图，ACB=90，AC=BC，D为ABC外一点，且AD=BD，DEAC交CA的延长线于E点求证：DE=AE+BC15.（2016秋农安县期末）如图，在ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F（1）若CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若MFN=70，求MCN的度数
