初中几何变换翻折.docx
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初中几何变换翻折
初中数学几何变换之
轴对称
一、知识梳理
1、轴对称基本要素:
对称轴。
2、基本性质:
(1)对应线段、对应角相等
(2)对应点所连线段被对称轴垂直平分
(3)对称轴上的点到对应点的距离相等
(4)对称轴两侧的几何图形全等
3、应用
翻折问题、最值问题等
二、常考题型
类型一:
轴对称性质
1、如图,在平行四边形ABCD中,AB
13,AD4,将平行四边形
ABCD沿AE翻
折后,点B恰好与点C重合,则折痕AE的长为__________.
第1题
第2题
第3
题
2、如图,矩形
中,
=8,
=6,为
上一点,将△
ABP
沿
翻折至△
,
ABBCP
AD
BP
EBPPE
与CD相交于点O,且OE=OD,则AP的长为__________.
3、如图,在△ABC中,AB=AC,BC=24,tanC=2,如果将△ABC沿直线l翻折后,点B落在边
AC的中点E处,直线l与边BC交于点D,那么BD的长为。
4、如图,菱形纸片ABCD中,∠A=600,将纸片折叠,点
D’经过B,EF为折痕,当D’FCD时,的值为
CF
A、D分别落在
。
A’、D’处,且
A’
FD
5、如图,在△
ABC中,∠C=90°,将△
ABC沿直线
MN翻折后,顶点
C恰好落在
AB边上的
点D处,已知
MN∥AB,MC=6,NC=23,则四边形
MABN的面积是
。
第4题
第5题
第6题
6、如图,已知边长为5的等边三角形ABC纸片,点
E在AC边上,点F在AB边上,沿着EF
折叠,使点A落在BC边上的点D的位置,且
,则CE的长是
。
7、如图1,在矩形纸片ABCD中,AB=8
3,AD=10,点E是CD的中点.将这张纸片依次
折叠两次:
第一次折叠纸片使点
A
与点
E
重合,如图
2,折痕为
,连接
、;第二次
MN
MENE
折叠纸片使点N与点E重合,如图3,点B落在B′处,折痕为HG,连接HE,则tan∠EHG
=.
图2图3
8、如图,在边长为6的正方形ABCD中,E是边CD的中点,将△ADE沿AE对折至△AFE,延
长交BC于点G,连接AG.
(1)求证:
△ABG≌△AFG;
(2)求BG的长.
类型二:
轴对称应用
1、菱形
ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示,顶点
B(2,0),∠DOB=60°,点
P是
对角线
OC上一个动点,
E(0,﹣1),当
EP+BP最短时,点
P的坐标为
.
2、如图,∠AOB=30°,点M、N分别是射线OA、OB上的动点,OP平分∠AOB,且OP=6,当
△PMN的周长取最小值时,四边形
PMON的面积为
.
3、如图
在锐角△
ABC中,AB=6,∠BAC=60°,∠BAC的平分线交
BC于点
D,点
M,N分别是
AD
和AB上的动点
则
BM+MN的最小值为
。
4、如图,在等边△
ABC中,AB=4,点
P是
BC边上的动点,点
P关于直线
AB,AC的对称点
分别为
M,N,则线段
MN长的取值范围是
.
类型三:
动点与轴对称
1、如图,在矩形
ABCD中,AB=2
3,点E是边BC的一个三等分点(
CE 、 、 上一动点,将图形以EF为折痕翻折后,当D、C的对应点D、C与B在一条直线上时,? EFG 的周长是 。 A F D G B E C D' C' 第1题 第2题 2、如图,在矩形 ABCD中,AB=5,AD=13,E、F分别是AB、AD边上的动点,将? ABE向下 翻折,点A落在 BC边上 、 、 。 A处,则 AB的最小值是 3、如图,正方形 ABCD的边长为 6,EF是正方形 ABCD的一条对称轴, G、H分别在 AB、CD 上,将图形沿 GH对折后,点 C落在 E处,求 tan ANE = 。 A E ED AD N H N M G B F C C B 第3题 第4题 4、如图,在Rt? ABC中AC=4,BC=3,D是AB边上一动点,点 E与点A关于直线CD对称, 当DE//BC时,AD= 。 、 5、如图,在Rt? ABC中,AB=4,BC=3,D是AB边上一动点,DE//BC,A、A关于DE对称, 、 。 当? AEC为直角三角形是AD= A DE A' BC 类型四: 综合应用 1、如图,在矩形ABCD中,E是AB边的中点,沿EC对折矩形ABCD,使B点落在点P处,折 痕为EC,连结AP并延长AP交CD于F点, (1)求证: 四边形AECF为平行四边形; (2)若△AEP是等边三角形,连结BP,求证: △APB≌△EPC; (3)若矩形ABCD的边AB=6,BC=4,求△CPF的面积. 2、如图 (1),在矩形ABCD中,把∠B、∠D分别翻折,使点B、D分别落在对角线BC上的点 E、F处,折痕分别为CM、AN. (1)求证: △AND≌△CBM. (2)请连接MF、NE,证明四边形MFNE是平行四边形,四边形MFNE是菱形吗? 请说明理由? (3)P、Q是矩形的边CD、AB上的两点,连结PQ、CQ、MN,如图 (2)所示,若PQ=CQ,PQ ∥MN。 且AB=4,BC=3,求PC的长度. 3、已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中,点A(11,0),点B(0, 6),点P为BC边上的动点(点P不与点B、C重合),经过点O、P折叠该纸片,得点B′ 和折痕OP.设BP=t. 0 (Ⅰ)如图①,当∠BOP=30时,求点P的坐标; (Ⅱ)如图②,经过点P再次折叠纸片,使点C落在直线PB′上,得点C′和折痕PQ,若 AQ=m,试用含有t的式子表示m; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当点C′恰好落在边OA上时,求点P的坐标(直接写出结果即可). 4、如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8.把△BCD沿对角线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于点G;E、F分别是C′D和BD上的点,线段EF交AD于点H,把△FDE沿EF折叠,使点D落在D′处,点D′恰好与点A重合. (1)求证: △ABG≌△C′DG; (2)求tan∠ABG的值; (3)求EF的长. 5、问题提出 (1)如图①,已知△ABC,请画出△ABC关于直线AC对称的三角形. 问题探究 (2)如图②,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,AE=4,AF=2,是否在边BC、CD上分别存在点 G、H,使得四边形EFGH的周长最小? 若存在,求出它周长的最小值;若不存在,请说明理 由. 问题解决 (3)如图③,有一矩形板材ABCD,AB=3米,AD=6米,现想从此板材中裁出一个面积尽可 能大的四边形EFGH部件,使∠EFG=90°,EF=FG=米,∠EHG=45°,经研究,只有当点 E、F、G分别在边AD、AB、BC上,且AF<BF,并满足点H在矩形ABCD内部或边上时,才有 可能裁出符合要求的部件,试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件? 若 能,求出裁得的四边形EFGH部件的面积;若不能,请说明理由. 三、课后作业 1、如图,等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点. 若AE=2,EM+CM的最小值为. 2、如图 1,在锐角三角形 ABC中,AB=4 ∠ BAC=45°,∠BAC的平分线交 BC于点 D,M,N分别是 AD和 AB上的动点,则 BM+MN的最小值 为 . 第1题第2题第3题 3、如图,已知点C(1,0),直线y=-x+7与两坐标轴分别交于A,B两点,D,E分别是 AB,OA上的动点,则△CDE周长的最小值是______. 4、如图1,将正方形纸片ABCD对折,使AB与CD重合,折痕为EF.如图2,展开后再折叠 一次,使点C与点E重合,折痕为GH,点B的对应点为点M,EM交AB于N,则tan∠ANE=_____. 5、如图,∠AOB=30°,点M、N分别在边OA、OB上,且OM=1,ON=3,点P、Q分别在边OB、OA上,则MP+PQ+QN的最小值是__________. 6、如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=3,在边AB上取一点D,作DE⊥AB 交BC于点E,先将△BDE沿DE折叠,使点B落在线段DA上,对应点记为B1;BD 的中点F的对应点记为F1.若△EFB∽△AF1E,则B1D= 7、如图,△AEF中,∠EAF=45°,AG⊥EF于点G,现将△AEG沿AE折叠得到△AEB,将△AFG沿AF折叠得到△AFD,延长BE和DF相交于点C. 探究一: 猜想: 四边形ABCD是何种特殊的四边形? 请证明自己的猜想. 探究二: 连接BD分别交AE、AF于点M、N,将△ABM绕点A逆时针旋转,使AB 222 与AD重合,得到△ADH,试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系,并说明理由. 探究三: 若EG=4,GF=6,BM=3,你能求出AG、MN的长吗? 8、数学课上,老师出了一道题,如图①,Rt△ABC中,∠C=90°,AC= 1 AB, 2 求证: ∠B=30°,请你完成证明过程. (2)如图②,四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片,E、F分别为AB、CD的中点,沿过点D的抓痕将纸片翻折,使点A落在EF上的点A′处,折痕交AE 于点G,请运用 (1)中的结论求∠ADG的度数和AG的长. (3)若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠,B、D两点恰好重合于一点O (如图④),当AB=6,求EF的长.
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- 关 键 词:
- 初中 几何 变换