南大复变函数与积分变换课件ppt版8.1傅立叶变换的概念.ppt
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南大复变函数与积分变换课件ppt版8.1傅立叶变换的概念.ppt
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第八章Fourier变换,Fourier变换是积分变换中常见的一种变换,它既能够,简化运算(如求解微分方程、化卷积为乘积等等),又具有,非常特殊的物理意义。
的地位,而且在各种工程技术中都有着广泛的应用。
展起来的。
在微积分课程中已经学习了Fourier级数的有关,内容,因此本节将先简单地回顾一下Fourier级数展开。
8.1Fourier变换的概念,因此,Fourier变换不仅在数学的许多分支中具有重要,Fourier变换是在周期函数的Fourier级数的基础上发,8.1Fourier变换的概念,一、周期函数的Fourier级数,二、非周期函数的Fourier变换,一、周期函数的Fourier级数,1.简谐波的基本概念,简谐波,为基本周期;,为频率。
一、周期函数的Fourier级数,2.正交函数系,函数系,2.正交函数系,特点,由组合叠加可以生成周期为T的复杂波。
(1)周期性,
(2)正交性,一、周期函数的Fourier级数,一、周期函数的Fourier级数,2.正交函数系,?
能否:
区间上满足如下条件(称为Dirichlet条件):
则在的连续点处有,3.Fourier级数的三角形式,一、周期函数的Fourier级数,在的间断处,上式左端为,称之为基频。
(Dirichlet定理),定理,3.Fourier级数的三角形式,其中,(A),一、周期函数的Fourier级数,4.Fourier级数的物理含义,令,则(A)式变为,一、周期函数的Fourier级数,这些简谐波的(角)频率分别为一个基频的倍数。
频率成份,其频率是以基频为间隔离散取值的。
”,这是周期信号的一个非常重要的特点。
4.Fourier级数的物理含义,一、周期函数的Fourier级数,这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性。
4.Fourier级数的物理含义,所占有的份额;,沿时间轴移动的大小。
一、周期函数的Fourier级数,5.Fourier级数的指数形式,代入(A)式并整理得,根据Euler公式,可得,一、周期函数的Fourier级数,5.Fourier级数的指数形式,推导,则有,令,其中,一、周期函数的Fourier级数,
(2)计算系数时,其中的积分可以在任意,一个长度为T的区间上进行。
(3)采用周期延拓技术,可以将结论应用到,仅仅定义在某个有限区间上的函数。
5.Fourier级数的指数形式,一、周期函数的Fourier级数,6.离散频谱与频谱图,得,即的模与辐角正好是振幅和相位。
称为频谱,记为,一、周期函数的Fourier级数,6.离散频谱与频谱图,一、周期函数的Fourier级数,
(1)当n=0时,,解,(3)的Fourier级数为,解,(4)振幅谱为,相位谱为,(5)频谱图如下图所示。
解,借助Fourier级数展开,使得人们能够完全了解一个,信号的频率特性,从而认清了一个信号的本质,这种对,信号的分析手段也称为频谱分析(或者谐波分析)。
但是,Fourier级数要求被展开的函数必须是周期函,数,而在工程实际问题中,大量遇到的是非周期函数,,那么,对一个非周期函数是否也能进行频谱分析呢?
二、非周期函数的傅立叶变换,二、非周期函数的傅立叶变换,
(1)非周期函数可以看成是一个周期为无穷大的“周期函数”。
1.简单分析,当T越来越大时,取值间隔越来越小;,当T趋于无穷时,取值间隔趋向于零,,因此,一个非周期函数将包含所有的频率成份。
其频谱是以为间隔离散取值的。
即频谱将连续取值。
(2)当时,频率特性发生了什么变化?
二、非周期函数的傅立叶变换,1.简单分析,(3)当时,级数求和发生了什么变化?
二、非周期函数的傅立叶变换,1.简单分析,分析,分析,则,按照积分定义,在一定条件下,(C)式可写为,记,(3)当时,级数求和发生了什么变化?
二、非周期函数的傅立叶变换,1.简单分析,二、非周期函数的傅立叶变换,2.Fourier积分公式,
(2)Fourier逆变换(简称傅氏逆变换),二、非周期函数的傅立叶变换,-1,3.Fourier变换的定义,注上述变换中的广义积分为柯西主值。
二、非周期函数的傅立叶变换,4.Fourier变换的物理意义,与Fourier级数的物理意义一样,Fourier变换同样,刻画了一个非周期函数的频谱特性,不同的是,非周期,函数的频谱是连续取值的。
一般为复值函数,故可表示为,反映的是中各频率分量的分布密度,它,
(2)振幅谱为,相位谱为,解,(3)求Fourier逆变换,即可得到的Fourier积分表达式。
解,-1,一般地,有,特别地,有,注,解,相位谱为,历史回顾Fourier级数,附:
历史回顾Fourier级数,附:
1829年,德国数学家Dirichlet终于对一类条件较“宽”的,函数给出了严格的证明。
时年24岁。
1830年5月16日,Fourier在巴黎去世。
历史回顾Fourier级数,附:
人物介绍狄利克雷,附:
附:
人物介绍傅立叶,附:
抽样信号,抽样信号在连续(时间)信号的离散化、离散(时间)信号的,精确恢复以及信号的滤波中发挥着重要的作用。
附:
低通滤波,它所对应的频谱函数称为理想低通滤波器。
当用理想低通滤波器与其它信号的频谱函数相乘时,,能使信号的低频成份完全通过(保留),高频成份完全压制。
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