《91UP行测考点精讲》之余数问题.docx
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《91UP行测考点精讲》之余数问题
余数问题
知识框架
公务员考试中余数问题一般只有两种类型,只要理解题目,掌握解题的基本方法,便能轻松搞定这类问题。
核心点拨
1、题型简介
公务员考试中常见的题型是给出相关的已知条件,计算出余数。
2、核心知识
被除数=除数×商+余数(都是正整数)
(1)一个被除数,多个除数
A、基本形式——中国剩余定理
原型:
《孙子算经》记载:
“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?
”
基本解法——层层推进法:
以上题为例,满足除以3余2的最小数为2;
在2的基础上每次加3,直到满足除以5余3,这个最小的数为8;
在8的基础上每次加3、5的最小公倍数15,直到满足除以7余2,这个最小的数为23。
所以满足条件的最小自然数为23,而3、5、7的最小公倍数为105,故满足条件的数可表示为105n+23(n=0,1,2,…)。
B、特殊形式——余同、和同、差同
特殊形式的口诀:
余同取余,和同加和,差同减差,最小公倍数为最小周期。
(2)多个被除数,一个除数
A、同余
两个整数a、b除以自然数m(m>1),所得余数相同,则称整数a、b对自然数m同余,记做
(cmodm)。
例如:
23除以5的余数是3,18除以5的余数也是3,则称23与18对于5同余。
同余的特殊性质:
在同余的情况下(a-b)必能被m整除,所得的商为两数商之差。
例如:
,那么
。
B、不同余
两个整数a、b除以自然数m(m>1),所得余数不相同,则称整数a、b对自然数m不同余。
同余和不同余的三个重要的性质——可加性,可减性,可乘性。
对于同一个除数m,两个数和的余数等于余数的和,两个数差的余数等于余数的差,两个数积的余数等于余数的积。
3、核心知识使用详解
(1)一个数被2(或5)除得到的余数,就是其末一位数字被2(或5)除得到的余数。
(2)一个数被4(或25)除得到的余数,就是其末两位数字被4(或25)除得到的余数。
(3)一个数被8(或125)除得到的余数,就是其末三位数字被8(或125)除得到的余数。
(4)一个数被3(或9)除得到的余数,就是其各位数字之和被3(或9)除得到的余数。
夯实基础
1、一个被除数,多个除数
例1:
(2008.山西)
一个盒子中有几百颗糖,如果平均分给7个人,则多3颗,平均分给8个人则多6颗,如果再加3颗,可以平均分给5个人,则该盒子中糖的数目可能有:
A.3种
B.4种
C.5种
D.6种
【答案】A
【解析】[题钥]
“有几百颗糖”意味着糖的数目是一个三位数;
“如果再加3颗,可以平均分给5个人”即糖的数量除以5余2。
[解析]
根据题意可知:
满足除以7余3最小自然数是3,
在3的基础上每次加7的倍数直到满足第二个条件:
这个数是38,
38能够除以7余3,同时除以8余6;
在38的基础上每次加上7和8的最小公倍数56直到满足第三个条件:
这个数是262,
262就是符合全部条件的最小自然数;
所有符合题意的数可以表示为262+280n。
其中280是5、7、8的最小公倍数,
易知n=0,1,2时,
这个数是一个三位数,
即符合题意的糖的数目有3种;
所以,选A。
例2:
(2010.浙江)
有一个自然数“z”,除以3的余数是2,除以4的余数是3,问“z”除以12的余数是多少?
A.1
B.5
C.9
D.11
【答案】D
【解析】[题钥]
根据“除以3的余数是2,除以4的余数是3”可知,3-2=4-3
即除数与余数之差相同。
[解析]
依题意:
3、4的最小公倍数是12;
根据“差同减差,最小公倍数做周期”,可得:
符合条件的自然数可以表示为12n-1(n=1,2,…);
该数被12除余数为-1+12=11,
所以,选D。
例3:
(2006.国考)
一个三位数除以9余7,除以5余2,除以4余3,这样的三位数共有:
A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
【答案】A
【解析】[题钥]
根据“三位数除以5余2,除以4余3”可知,5+2=4+3=7,即除数与余数之和相同。
[解析]
根据“和同加和,公倍数做周期”可知:
4、5的最小公倍数为20;
所有满足条件的数可表示为20n+7,也就是除以20余7;
同时,此三位数除以9余7,余数相同。
根据“余同取余,公倍数做周期”可知:
9、20的最小公倍数为180,
因此,所有满足条件的数可表示为180n+7;
且有100≤180n+7≤999,
即1≤n≤5,n取整数;
所以,选A。
2、多个被除数,一个除数
例4:
(2009.内蒙古)
a除以5余1,b除于5余4,如果3a>b,那么3a-b除以5余几?
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】D
【解析】[题钥]
因为除数同为5,考虑应用可乘性,可减性:
两个数积的余数等于余数的积,两个数差的余数等于余数的差。
[解析]
解法一:
根据同余的可减性和可乘性。
两个数积的余数等于余数的积:
故3a的余数为3×1=3,
两个数差的余数等于余数的差:
所以,3a-b除以5的余数为3×1-4=-1;
又3a-b>0,因为余数大于0而小于除数:
则有3a-b除以5的余数为-1+5=4(非负);
所以,选D。
解法二:
特殊值法
根据“a除以5余1,b除于5余4”:
可设a=6,b=9:
则3a-b=9,b除以5余4;
所以,选D。
例5:
(2005.天津)
有8只盒子,每只盒内放有同一种笔。
8只盒子所装笔的数量分别为17支、23支、33支、36支、38支、42支、49支、51支。
在这些笔中,圆珠笔的支数是钢笔支数的2倍,钢笔支数是铅笔支数的1/3,只有一只盒里放的是水彩笔,这盒水彩笔共有多少支?
A.38
B.49
C.51
D.36
【答案】B
【解析】[题钥]
铅笔数是钢笔的3倍,圆珠笔数是钢笔的2倍,因此这三种笔总数是钢笔数的6倍。
[解析]
笔的总支数=钢笔数的6倍+水彩笔数,
根据同余的概念和同余的可加性:
笔的总支数与水彩笔数关于6同余;
由于铅笔、钢笔、圆珠笔、水彩笔的总支数(17+23+33+36+38+42+49+51)除以6余1,故水彩笔的支数除以6余1:
上述四个选项中,只有49除以6余1,即水彩笔共有49支。
所以,选B。
进阶训练
1、一个被除数,多个除数
例6:
(2008.黑龙江)
有100元、10元、1元的纸币共4张,将它们都换成5角的硬币,刚好可以平分给7个人,则总币值的范围是:
A.(100~110)
B.(110~120)
C.(120~130)
D.(210~220)
【答案】B
【解析】[题钥]
“有100元、10元、1元的纸币共4张”意味着每种币值的纸币至少有一张;“刚好可以平分给7个人”即硬币的总数量应为7的倍数。
[解析]
三种币值的纸币各一张可换取5角硬币数量为:
(100+10+1)÷0.5=200+20+2=222个;
222除以7余数为5。
又硬币的总数量应为7的倍数,
即所得余数之和应为除数的倍数:
故第4张纸币可换成的5角硬币数除以7余2。
100元、10元、1元的纸币分别能兑换200、20、2个5角硬币:
200=7×28+4;
20=2×7+6;
2=0×7+2;
即200、20、2除以7的余数分别为4、6、2;
只有1元符合条件,
故总币值为100+10+1+1=112元。
所以,选B。
例7:
三位数的自然数P满足:
除以7余2,除以6余2,除以5也余2,则符合条件的自然数P有:
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
【答案】C
【解析】[题钥]
“除以7余2,除以6余2,除以5也余2”,这是余数问题中余同的情况,利用特殊形式口诀解决问题。
[解析]
依题意:
这个三位数除以7,6,5余数都是2,
满足“余同取余,最小公倍数做周期”:
故符合条件的自然数可以表示为P=210n+2;
n=1,2,3,4时P为三位数;
所以,选C。
2、多个被除数,一个除数
例8:
小张在计算有余数的除法时,把被除数113错写成131,结果商比原来多3,但余数恰巧相同,那么该题的余数是多少?
A.6
B.5
C.4
D.3
【答案】B
【解析】[题钥]
同余情况下,商比原来多3,即两数之差除以除数的商为3。
[解析]
设该除数为m,
由于113和131对于除数m同余,
根据同余的特殊性质可知:
131-113=18能被m整除;
由于113和131被m除的商相差3:
即18除以m的商为3;
故m=6;
113和131除以m(6)的余数为5。
所以,选B。
例9:
乘以
的积,除以7余数是:
A.3
B.4
C.5
D.0
【答案】C
【解析】[题钥]
被除数=除数的最小公倍数的倍数+余数
[解析]
根据能被7整除的数的特性可知:
666666能被7整除(末三位与末三位之前的数字之差为0),
6n个6组成的数(n=1,2,…)也能被7整除;
由于50÷6的商为8,余数为2:
-666…66600(48个6)=66;
,即
除以7余数为3。
同理:
除以7余数为4。
根据可乘性可得:
该值除以7的余数为3×4,
但是由于12大于7:
因此12除以7的余数,即为5。
所以,选C。
例10:
有四个不同的自然数,它们当中任意两个数的和都是2的倍数,任意三个数的和都是3的倍数。
为了使这四个数尽量小,这四个数和是:
A.20
B.30
C.40
D.50
【答案】C
【解析】[题钥]
“四个数中的任意两个数之和都是2的倍数”,即任意两数之和是偶数,故这四个数的奇偶性相同;
“四个数中的任意三个数的和都是3的倍数“,故这四个数被3除同余(余数同为0、1或者2)。
[解析]
如果四个数都是3的倍数:
那么这四个数最小是3、9、15、21;
如果四个数都是偶数为6、12、18、24,其和大于(3、9、15、21);
所以,其和为3+9+15+21=48;
同理,如果这四个数被3除余数均为1:
那么这四个数最小是1、7、13、19,
其和为40;
如果这四个数被3除余数均为2:
那么这四个数最小是2、8、14、20,
其和为44。
故这四个数的和最小为40。
所以,选C。
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