部优《角的概念以及角度制》教学设计.docx
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部优《角的概念以及角度制》教学设计
《角的概念以及角度制》教学设计
一、教学内容分析
“角的概念以及角度制”这节课,是初中阶段“角”的第一节课,从图形的角度来看,角是由公共端点的两条射线构成的图形,也可以看作是一条射线绕端点旋转而成的图形.也就是说角是线组成的最简单图形,同时将几何研究的数量关系从长度转向了角度.
本课从两个方面对角进行定义:
静态定义,普遍存在于生活中,三角尺、岔路口、五角星等可以抽象出静态的角;动态定义,也在生活中出现,表针的旋转、机动车、轮船、飞机的转向、运动员的旋转等都需要动态角的定义,有了动态角,也就有了旋转方向,也就有了角的正负,从而扩大了角的研究范围,通过弧度制,最终建立了角与实数一一对应的关系.我们知道数轴上的点与实数集是一一对应的,从集合论的角度上看,弧度制下角的集合与实数集合是同构的.角在几何学和三角学中有着广泛的应用.
在本节课,需要学生明确角的定义,为了激发学生兴趣,更深刻地理解角的两种定义,教师要列举足够的实例来说明.
角的分类命名是学生小学就接触过的,需要进一步明确,初中从图形上研究的角更多的是静态角,研究角的图形范围是劣角,也就是小于180°的角,但是角的数量在正数范围,也就是说若干个角的和可以是180°,也可以超过180°.
角度制,在小学没有经过训练,虽然可以类比时间计算方法,但是相当一部分学生对于角的换算还不理解,教师要注意讲清楚60进制的意义,梳理将带有度分秒混杂单位的量转化为单一度的量和反之将含有单一度的量如何转化为度分秒的简单算法,进行简单的角度加减运算.乘的运算一般不超过两个量,除法应该给出可以整除的量,不要在此增加难度.关于钟表上的角的问题研究,也不建议增加难度,学生能够感受另外一种行程问題,只不过线速度变成了角速度面已,教会学生类比学习.
二、学生分析
学生在小学已经初步认识了周角、平角、直角、锐角、钝角,以及利用量角器测量角,通过“直线、射线、线段”单元的学习,初步感受几何概念的学习方法,本节课开始,角的学习应该帮助学生自主建构类比的学习方法,增强学生自主学习能力.
三、目标确定
1.理解角的两个定义.
2.掌握角的常用表示方法,能正确表示一个角.
3.会进行角度制的单位换算和简单计算.
4.会解钟表上时针与分针所成角度的简单问题.
四、重点难点
重点:
角的定义和角的表示,角度制计算.
难点:
准确表示角,角的度分秒准确转化.
五、评价设计
“角的概念以及角度制”学习评价量表
标准
等级
能准确叙述角的定义.
A
能准确表示角.
A
会进行角的度分秒换算和计算.
A
能解决时钟在某一时刻,求出时针与分针之间形成的角度的问题.
B
六、活动设计
教学环节
教学活动
设计意图
教师活动
学生活动
知识精讲——角的定义
提出问题:
今天,我们来学习角,大家想一想,类比直线、射线、线段的学习,我们从生活中抽象出角的几何概念.
那么生活中哪里有角的存在?
你如何抽象出来几何中角的定义呢?
师生归纳角的两种定义:
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边.
角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
问题1:
角的边为什么规定是射线呢?
问题2:
我们已经知道直线、射线、线段的表示方法,那么我们如何用符号语言表示角呢?
角的表示方法,通常有三种:
(1)通用表示法,用三个大写的英文字母,其中表示顶点的字母应写在另两个字母中间,如图1,记作∠AOB.
(2)单角表示法1,用顶点处的一个大写字母.这种方法只适用于顶点处只有一个角的情况,如图1,也可以记作∠O.
但是如果,从一点引出三条射线,如图2所示,这里就有三个角了.它们分别是∠AOB,∠BOC,∠AOC,就无法用∠O来表示其中的任何一个角了.但是为了简便,我们可以采取下面的表示方法.
(3)单角表示法2,用希腊字母或阿拉伯数字表示单个角,如图2,其中的小角可以表示为∠1,∠α.最大角必须用∠AOC来表示.
巩固练习:
1.判断对错并说明理由:
(1)由两条射线组成的图形叫做角;
(2)有一个交点的两条直线组成的图形叫做角;
(3)有公共端点的两条射线组成的图形叫做角;
(4)角的边越长,角就越大.
2.用恰当的表示方法,写出图中所有的角.
师生再次总结:
这三种表示方法,既有联系又有区别,其中通用表示法适用性最广泛,但相对繁琐;单角表示法1较为简捷,但只适用于顶点处只有两条射线的情况;单角表示法2则需在图形该角处标注弧线并写出数字或字母.这三种方法有时是可以转化的.
学生思考,并回答.
学生可以从几何抽象的角度思考,可能描述不太准确:
角的主要意义是表示角的两边张开的大小,也就是对两条直线相对位置的描述.
学生通过自学,阅读教材找到角的表示方法,并理解三种角的表示法之间的联系与区别.
学生通过练习加深角的概念以及三种角的表示法的理解.
抽象是从数学的角度看世界,同样是三角尺,艺术家赞叹的是它的美,工匠关注的是它的材料,物理学家研究的是它的质量,历史学家研究的是它的年代,数学家研究的是它具有的形状、大小、基本元素的位置关系.
所以,培养学生的数学抽象要用数学家角度看世界的思维.其次合理准确地用符号语言表达是继续研究数学的基础,命名也是数学知识系统中的一环.
知识精讲——角度制
板书.
角的分类:
用α表示这个角
锐角:
0°<α<90°.
直角:
α=90°.
钝角:
90°<α<180°.
平角:
α=180°,所以1平角=2直角.
周角:
α=360°,所以1周角=2平角=4直角.
说明:
如不特别说明,我们初中范围内的角的图形通常所指的都是大于0°而小于180°的角.
练习:
请用量角器分别画出15°,30°,45°,60°,75°,90°,105°,120°,135°,150°,165°的角.
请用一副三角板尝试拼出以上的角,并用你画好的角验证.
角度制
提问:
1.一小时等于多少分钟?
一分钟等于多少秒?
一小时等于多少秒?
2.1小时36分=______小时;
1.24小时=_____小时_____分____秒.
教师巡视指导,为不清楚的学生讲解.
度、分、秒是常用的度量单位,它们之间是60进制的.
即1°=60′,1′=60′′,1°=3600′′.
为什么角度制与时间的单位进制相同呢?
请大家思考,查询一下原因.
师生共同进行角度制的历史回顾,激发学生的兴趣.
练习1:
(1)将下列用度表示的角,化成用度、分、秒表示的角:
①13.6°=_______°_____′;
②34.37°=______°______′_____′′.
(2)将下列用度、分、秒表示的角,化成用度表示的角:
①25°30′=_____°;
②26°17′42′′=_____°.
答:
(1)①13.6°=13°+0.6°=13°+0.6°
60′=13°36′;
②34.37°=34+0.37°=34°+0.37°×60′
=34°+22.2′
=34°+22′+0.2′×60′′
=34°+22′+12′′
=34°22′12′′.
(2)①25°30′=25°+(
)°=25.5°.
②26°17′42′′
=26°+17′+(
)′
=26°+17′+0.7′
=26°+17.7′
=26°+(
)°
=26.295°.
你能总结一下,度、分、秒转化的思路吗?
练习2:
上午8点30分时,钟表面上时针与分针的夹角是多少?
分析:
我们知道,钟表表面被分成12大格60小格,表面一周是360°.时针每小时走1个大格,分针每小时走12大格;时针每小时转30°,分针每小时转360°;时针每分钟转0.5°,分针每分钟转6°,了解了上述知识,我们求解有关钟表问题,就不会感到困难了.
方法一:
8点30分时时针与分针之间有2.5个格,所以其夹角为2.5×30°=75°.
方法二:
时针的角速度是30°/h,分针的角速度是360°/h,我们也可以得到秒针的角速度360°/min.那么本题8点30分时分针恰好指向表盘上“6”的位置,时针从“8”的位置移动到“8”“9”之间用了30min,0.5h,30°/h×0.5h=15°,从而得到2×30°+15°=75°.
方法三:
为了便于计算,我们把时针和分针都以零时(12时)为角的始边,按顺时针旋转一定的角度,分针转的角度为分钟数×6°;时针转的角度为小时数×30°+分钟数×0.5°.求时针与分针的夹角,即求分针和时针所转的角度的差的绝对值.若结果大于180°,我们用360°去减结果,取小于180°的结果.
例如:
|8×30°+30×0.5°
30×6°|=75°.
方法二和方法三是通法.
学生动手操作,验证.
学生回答问题,复习60进制的换算.
学生思考或上网查询,激发兴趣.
学生巩固练习.
学生思考归纳总结.
学生类比行程问题练习.
学生虽然已经知道小时、分钟、秒的换算关系,也了解角度制下的度、分、秒关系,但是并不知道它们的进制为什么一致,从历史上找到它们统一的原因,能够激发学生的学习兴趣,也能将二者统一起来.类比学习,降低学习的难度.
利用速度去解释钟表问题,也是类比的学习,只不过线速度变成了角速度而已.但是学生虽然学习过数的运算,对于小数运算,尤其是除法运算并不准确,需要补充训练.
练习巩固
1.图中一共有多少个角?
用恰当的形式准确地写出图中所有角(可以重新标记角).
2.换算:
(1)16.24°=____°____′_____′′;
(2)39°36′=______°;
(3)
10.75°+50°40′30′′=___°____′____′′;
(4)16°2′×3
45°18′=_____°.
3.当时间为9时30分时,时针与分针所成的角度是多少?
4.当时间为8点20分时,时针与分针所成的角度是多少?
教师巡视,答疑.
学生练习.
经过适量的练习,才可以巩固所学并发现问题,在没有射中的靶子上再补一箭.
课堂小结
教师点评:
角的抽象过程再一次体现了几何关心的内容;智慧的先人在观测天文时候,又发明了60进制,将时间与角度完美统一.
学生归纳总结:
角的定义、分类、表示方法、角度制.
帮助学生养成每堂课总结的习惯,是本堂课知识落实的最后一个环节.
七、板书设计
角的定义:
角的分类.
1.静态;角度制.
2.动态.
角的表示方法:
例题.
1.
2.
3.
区别与联系.
八、练习诊断
1.(A)把右图中的同一个角用两种不同的方法表示出来.
2.(A)如右图所示,点A,O,B在同一条直线上,写出图中所有小于平角的角.
3.(A)把一副三角尺按右图所示拼在一起:
(1)写出图中∠B,∠BAC,∠E,∠DCE,∠BAE的度数;
(2)用“<”将上述各角连接起来.
4.(A)
(1)用度、分、秒的形式表示下列各角:
①124.5°;②36.73°;③(
)°.
(2)用度的形式表示下列各角:
①31°54′;②51°28′30′′;③82°20′42′′.
5.(B)时间是9点20分,此时钟面上的时针与分针的夹角是多少?
6.(B)从一个端点引出2条射线,可以组成1个角;
如果引出3条射线,可以组成_______个角;
如果引出4条射线,可以组成_______个角;
……
如果引出100条射线,可以组成_______个角;
如果从一个端点引出
条射线,可以组成多少个角?
(用含有
的式子表示)
九、反思与改进
本节课内容不多,是进入角的起始课,但是对于角的表示方法学生还有待熟悉,会出现角的顶点写错位置现象.对于角度制换算,基础不好的学生仍然不能掌握,还需进一步巩固练习.
角的表示是后面学习、表达、解题的基础,要重视.钟表问题是本节课的一个难点,有些学生暂时还不能掌握,教师在授课中要多讲几个例题,帮助学生理解.
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