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离散型随机变量的分布列
2.1.2 离散型随机变量的分布列
(二)
[学习目标] 1.进一步理解离散型随机变量的分布列的求法、作用.2.理解两点分布和超几何分布.
知识点一 两点分布
若随机变量X的分布列为
X
0
1
P
1-p
p
则称该分布列为两点分布列.若随机变量X的分布列为两点分布列,则称X服从两点分布,称p=P(X=1)为成功概率.
思考 只取两个不同值的随机变量一定服从两点分布吗?
举例说明.
答案 只取两个不同值的随机变量并不一定服从两点分布.例如:
随机变量X的分布列如下:
X
2
5
P
0.3
0.7
则X不服从两点分布,因为X的取值不是0或1.
知识点二 超几何分布
一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,则称分布列
X
0
1
…
m
P
…
为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列,则称随机变量X服从超几何分布.
题型一 两点分布
例1 袋中有红球10个,白球5个,从中摸出2个球,如果只关心摸出两个红球的情形,问如何定义随机变量X,才能使X满足两点分布,并求分布列.
解 从含有10个红球,5个白球的袋中摸出2个球,其结果是随机的,可能是一红一白、两红、两白三种情况,为此我们定义随机变量如下:
X=
则X显然服从两点分布,且P(X=1)==,
∴P(X=0)=1-=,
∴X的分布列为
X
0
1
P
反思与感悟 两点分布中只有两个对应的结果,因此在解答此类问题时,应先分析变量是否满足两点分布的条件,然后借助概率的知识,给予解决.
跟踪训练1 袋中装有3个红球,2个绿球,从中摸出1个球,记X=求随机变量X的分布列.
解 由X=知随机变量X服从两点分布.
根据题意,得随机变量X的分布列为
X
1
0
P
题型二 超几何分布
例2 某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;
(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X的分布列.
解
(1)由题意知,参加集训的男生、女生各有6人.
代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为=.
因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-=.
(2)根据题意,知X的所有可能取值为1,2,3.
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==.
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
反思与感悟 解决超几何分布问题的两个关键点
(1)超几何分布是概率分布的一种形式,一定要注意公式中字母的范围及其意义,解决问题时可以直接利用公式求解,但不能机械地记忆.
(2)超几何分布中,只要知道M,N,n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X=k),从而求出X的分布列.
跟踪训练2 从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动.
(1)求所选3人中恰有一名男生的概率;
(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列.
解
(1)所选3人中恰有一名男生的概率P==.
(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,P(ξ=3)==.
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
题型三 分布列的综合应用
例3 从装有2个红球,2个白球和1个黑球的袋中逐一取球,已知每个球被抽取的可能性相同.若抽取后不放回,设抽完红球所需的次数为ξ,求ξ的分布列.
解 方法一 随机变量ξ的所有可能取值为2,3,4,5.
若把2个红球、2个白球都看成不一样的元素,则试验就相当于依次取出5个不同的球,其包含的基本事件的个数为A.
“ξ=2”表示“第一、二次取出的都是红球,后三次无要求”,则P(ξ=2)==;
“ξ=3”表示“前两次取出的球中有一个是红球,第三次取出的是红球,后两次无要求”则P(ξ=3)==;
“ξ=4”表示“前三次取出的球中有一个是红球,第四次取出的是红球,第五次无要求”,则P(ξ=4)==;
“ξ=5”表示“前四次取出的球中有一个是红球,第五次取出的是红球”,则P(ξ=5)==.
所以分布ξ的分布列为
ξ
2
3
4
5
P
方法二 随机变量ξ的所有可能取值为2,3,4,5.
若把2个红球、2个白球分别看成相同的小球,则试验就相当于把5个小球放在5个位置上,其包含的基本事件个数为CC.
“ξ=2”表示“共取球两次,取出的都是红球”,则P(ξ=2)==;
“ξ=3”表示“共取球三次,第三次取出最后一个红球”,则P(ξ=3)==;
“ξ=4”表示“共取球四次,第四次取出最后一个红球”,则P(ξ=4)==;
“ξ=5”表示“共取球五次,第五次取出最后一个红球”,则P(ξ=5)==.
所以ξ的分布列为
ξ
2
3
4
5
P
反思与感悟 在求离散型随机变量的分布列时,明确随机变量所取的每个值表示的意义是关键.
跟踪训练3 某人有5把钥匙,其中只有一把能打开办公室的门,一次他醉酒后拿钥匙去开门.由于看不清是哪把钥匙,他只好逐一去试.若不能开门,则把钥匙扔到一边,记打开门时试开门的次数为ξ,试求ξ的分布列,并求他至多试开3次的概率.
解 ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5,
且P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==,P(ξ=4)==,
P(ξ=5)==.
因此ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P
由分布列知P(ξ≤3)=P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=++=.
忽视奖金为0的情况致误
例4 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:
在一次摸奖中,摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球,根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下:
奖级
摸出红、蓝球个数
获奖金额
一等奖
3红1蓝
200元
二等奖
3红0蓝
50元
三等奖
2红1蓝
10元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.
(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率;
(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列.
错解 设Ai(i=0,1,2,3)表示摸到i个红球,Bj(j=0,1)表示摸到j个蓝球.
(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)==.
(2)X的所有可能值为10,50,200,且:
P(X=200)=·=,
P(X=50)=·=,
P(X=10)=·==,
综上知X的分布列为
X
10
50
500
P
错因分析 随机变量的所有可能取值不全,未理解题目的意思,导致错误.
正解 设Ai(i=0,1,2,3)表示摸到i个红球,Bj(j=0,1)表示摸到j个蓝球.
(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)==.
(2)X的所有可能值为0,10,50,200,且:
P(X=200)=·=,
P(X=50)=·=,
P(X=10)=·==,
P(X=0)=1---=.
综上可知X的分布列为
X
0
10
50
200
P
点评 要理解题意,判断随机变量的所有可能值,在列出分布列后,注意利用分布列的两条性质来检验一下.
1.今有电子元件50个,其中一级品45个,二级品5个,从中任取3个,出现二级品的概率为( )
A.B.
C.1-D.
答案 C
解析 出现二级品的情况较多,可以考虑不出现二级品概率为,故答案为1-.
2.设袋中有80个红球、20个白球,若从袋中任取10个球,则其中恰有6个红球的概率为( )
A.B.
C.D.
答案 D
解析 取出的红球个数服从参数为N=100,M=80,n=10的超几何分布.由超几何分布的概率公式,知从中取出的10个球中恰有6个红球的概率为.
3.一个箱内有9张票,其号数分别为1,2,3,…,9,从中任取2张,其号数至少有一个为奇数的概率是( )
A.B.
C.D.
答案 D
解析 号数至少有一个奇数有两种情况,而其对立事件则全为偶数,其概率为=,
故答案为1-=.
4.某人投篮的命中率是不命中概率的3倍,以随机变量X表示1次投篮的命中次数,则P(X=1)=________.
答案
解析 设不命中的概率为p,
则命中的概率为3p,p+3p=1,p=.
P(X=1)是1次投篮中命中的概率,
即投篮命中率P(X=1)=.
5.10名同学中有a名女生,若从中抽取2个人作为学生代表,恰抽取1名女生的概率为,则a=________.
答案 2或8
解析 根据题意,得=,解得a=2或a=8.
1.两点分布:
两点分布是很简单的一种概率分布,两点分布的试验结果只有两种可能,要注意成功概率的值指的是哪一个量.
2.超几何分布:
超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数,只要知道N,M和n就可以根据公式:
P(X=k)=求出X取不同值k时的概率.学习时,不能机械地去记忆公式,而要结合条件以及组合知识理解M,N,n,k的含义.
一、选择题
1.从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张,则至少有3张是A的概率为( )
A.B.
C.1-D.
答案 D
解析 设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数,则P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=+.
2.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量ξ描述一次试验的成功次数,则P(ξ=0)等于( )
A.0B.C.D.
答案 B
解析 设P(ξ=1)=p,则P(ξ=0)=1-p.依题意知,p=2(1-p),解得p=.故p(ξ=0)=1-p=.
3.在100张奖券中,有4张能中奖,从中任取2张,则2张都能中奖的概率是( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 记X为2张中的中奖数,则P(X=2)==.
4.一个盒子里装有大小相同的10个黑球,12个红球,4个白球,从中任取2个,其中白球的个数记为X,则下列概率等于的是( )
A.P(0 C.P(X=1)D.P(X=2) 答案 B 解析 本题相当于至多取出1个白球的概率,即取到1个白球或没有取到白球的概率. 5.若在甲袋内装有8个白球,4个红球,在乙袋内装有6个白球,6个红球,今从两袋里各任意取出1个球,设取出的白球个数为X,则下列概率中等于的是( ) A.P(X≤1)B.P(X≤2) C.P(X=1)D.P(X=2) 答案 C 解析 P(X=1)=. 6.在5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,那么以为概率的事件是( ) A.都不是一等品B.恰有一件一等品 C.至少有一件一等品D.至多有一件一等品 答案 D 解析 P(都不是一等品)==, P(恰有一件一等品)===, P(至少有一件一等品)=1-=, P(至多有一件一等品)=1-=. 7.从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取,设X表示直至抽到中奖彩票时的次数,则P(X=3)等于( ) A.B.C.D. 答案 D 解析 “X=3”表示前2次未抽到中奖彩票,第3次抽到中奖彩票,故P(X=3)===,选D. 二、填空题 8.已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P m 则m的值为________. 答案 解析 m=P(X=10)=1-[P(X=1)+P(X=2)+…+P(X=9)]=1-=1-=9=. 9.某一随机变量ξ的概率分布列如表,且m+2n=1.2,则m-的值为________. ξ 0 1 2 3 P 0.1 m n 0.1 答案 0.2 解析 由离散型随机变量分布列的性质可得m+n+0.2=1,又m+2n=1.2,可得m-=0.2. 10.若随机变量X只取x1与x2两个值,并且X取x1的概率是它取x2的概率的3倍,则P(X=x2)=________. 答案 解析 已知P(X=x1)=3P(X=x2),而P(X=x1)+P(X=x2)=1,故P(X=x2)=. 11.有同一型号的电视机100台,其中一级品97台,二级品3台,从中任取4台,则二级品不多于1台的概率为______________(用式子表示). 答案 解析 二级品不多于1台,即一级品有3台或者4台. 三、解答题 12.袋中有3个白球、3个红球和5个黑球,从袋中随机取3个球.规定取得一个红球得1分,取得一个白球扣1分,取得一个黑球不得也不扣分,求得分数ξ的分布列. 解 ξ=3,2,1,0,-1,-2,-3. ξ=3表明取出的3个球全是红球,P(ξ=3)==. ξ=2表明取出的3个球中,两个红球,一个黑球, P(ξ=2)==. ξ=1表明取出的3个球中,一个红球,两个黑球;或者两个红球,一个白球,P(ξ=1)==. ξ=0表明取出的3个球中,三个都是黑球;或者一白、一红、一黑,P(ξ=0)==. ξ=-1表明取出的3个球中,一个白球、两个黑球;或者两个白球,一个红球,P(ξ=-1)==. ξ=-2表明取出的3个球中,两个白球,一个黑球, P(ξ=-2)==. ξ=-3,表明取出的3个球全是白球, P(ξ=-3)==. ∴ξ的分布列为 ξ -3 -2 -1 0 1 2 3 P 13.某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图,其中成绩分组区间是[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]. (1)求图中x的值; (2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ,求ξ的分布列. 解 (1)由(0.006×3+0.01+0.054+x)×10=1,解得x=0.018. (2)分数在[80,90),[90,100]的人数分别是50×0.018×10=9,50×0.006×10=3.所以ξ的可能取值为0,1,2,其服从参数为N=12,M=3,n=2的超几何分布,则 P(ξ=0)===, P(ξ=1)===, P(ξ=2)===. 所以随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P
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- 离散 随机变量 分布
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