重叠问题教学实录与评析.docx
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重叠问题教学实录与评析
《重叠问题》教学实录与评析
王年超执教(淄博市淄川区教研室)
李传英评析(淄博市教研室)
教材版本:
《义务教育课程标准实验教科书数学》人教版
教学内容:
三年级下册第九单元“数学广角”第108页例1。
教材分析:
“重叠问题”是教材专门安排来向学生介绍一种重要的数学思想方法的,即“集合”。
教材例1通过统计表的方式列出参加语文小组和数学小组的学生名单,而总人数并不是这两个小组的人数之和,从而引发学生的认知冲突。
这时,教材利用直观图(即韦恩图)把这两个课外小组的关系直观地表示出来,从而帮助学生找到解决问题的办法。
教材只是让学生通过生活中容易理解的题材去初步体会集合思想,为后继学习打下必要的基础,学生只要能够用自己的方法解决问题就可以了。
学情分析:
集合思想是数学中最基本的思想,集合理论可以说是数学的基础。
从学生一开始学习数学,其实就已经在运用集合的思想了。
例如,学生在学习数数时,就常常把1个人、2朵花、3枝铅笔等用一条封闭的曲线圈起来表示,在学习认识三角形等图形时,也常常把各种不同的三角形用一个圈圈起来表示。
又如,学生学习过的分类思想和方法实际上就是集合理论的基础。
但是,这些都只是单独的一个个集合图,而本节课所要用到的含有重复部分的集合图,学生并没有接触过。
基于此,我把知识的原点定位于两个独立的集合圈,没有采用教材例1统计表的呈现方式,从两个并列的集合圈引发学生的探究,更符合学生的学情。
教学目标:
1、让学生经历集合图的产生过程,理解集合图的意义,体会集合图的好处,学会利用集合的思想方法来思考问题。
2、使学生会借助直观图,利用集合的思想方法解决简单的实际问题,培养学生用不同的方法解决问题的意识。
3、利用生活事例让学生感受到数学与生活的密切联系,进一步树立学数学用数学的意识。
教学要点分析:
教学重点:
经历集合图的产生过程,理解集合图的意义,使学生会借助直观图,利用集合的思想方法解决简单的实际问题。
教学难点:
经历集合图的产生过程,理解集合图的意义。
教学过程:
一、设疑引入。
1、出示通知。
通 知
为迎接2008年北京奥运会的召开,学校定于5月21日、22日下午分别举行书法、绘画比赛。
要求:
每班选5名同学参加书法比赛,6名同学参加绘画比赛。
实验小学教导处
2008年4月21日
师:
同学们,前几天我到一所小学听课,发现学校给每个班发了一份通知,请同学们看一下:
(出示通知,一生读)
师:
根据学校的通知要求,每个班一共要选多少人参加这两项比赛?
生:
(齐)11人!
师:
怎么算的?
生:
5+6=11(人)。
师:
你们同意这种做法吗?
生:
同意。
师(稍顿):
真同意?
生:
同意!
2、查看原始数据,引出重复。
师:
果真是这样吗?
(在算式后打问号)请看我从三(1)班记录的参加比赛的学生名单(课件出示两组学生名单),左边这几个同学就是参加书法比赛的那5个人,右边这几个同学就是参加绘画比赛的那6个人。
书法比赛绘画比赛
师:
请仔细观察这份参赛的学生名单,你觉得我们刚才的答案怎么样?
生:
错了。
师:
怎么会错了呢?
再仔细看看,谁来说说?
生:
有重复的。
师:
你这里的“重复”是什么意思?
生1:
有的同学参加了两项比赛。
生2:
有的同学既参加了书法比赛又参加了绘画比赛。
师:
谁重复了?
有几个人重复了?
生:
杨明和李芳两个人重复了。
师:
因为有重复的,如果还是直接用5+6怎么样?
生:
不行了,那样的话杨明和李芳就算了2次了。
3、揭示课题。
师:
生活中像这样有重复现象的问题,在数学上我们把它叫做重叠问题(板书课题:
重叠问题)。
【评析:
北宋张载曾说:
“有不知,则有知;无不知,则无知。
”“于无疑处有疑,方是进矣。
”这启迪我们,激起学生内心的疑问是引发学生主动求知的动力源泉。
当教师问学生“每个班一共要选多少人参加这两项比赛?
”的问题时,学生异口同声地作出了回答,声音响亮、语气肯定。
“果真是这样吗?
”,随着教师轻轻的一句反问,加上“学生名单”的适时呈现,学生的头脑里跃出一个大大的问号——过去求总数就是直接把各部分的数量加起来的呀,怎么在这里行不通了呢?
新情况出现了,遇到新问题了,于是研究“重叠问题”变成了学生源自内心的学习需求。
】
二、探究新知。
1、激发探究欲望,明确探究要求。
师:
刚才,我们通过仔细地查看三
(1)班参赛的学生名单,发现有2个同学重复了,但是从这份名单中你能一下子就看出是哪2个人重复了吗?
(生流露出困难的神情)有难度是吧?
师:
看来我这样记录不够清楚,大家想想办法,怎样重新设计一下这份名单能让我们看得更清楚一些?
(课件出示要求:
既要能让人很清楚地看出参加书法比赛的是哪5个人,参加绘画比赛的是哪6个人,又要能让人很明显地看出两项比赛都参加的是哪两个人。
)
请同学们思考一下(约10秒钟后),大家现在有办法了吗?
先不急着说,请把你想到的方法在练习纸上表示出来,行吗?
你可以自己画,如果感觉有些困难也可以和你小组内的同学合作完成。
2、学生探究画法,师巡视,从中找出有代表性的作品准备交流。
3、展示交流。
师:
我发现咱们班同学的画法很有创意,我从中选了几份,咱们共同来分享一下。
我们不让画图的同学自己介绍,只把他们画的图让大家看,我觉得,不用自己介绍就能让别人看懂的方法那才是好方法。
【评析:
这个过程中,我们被教师的语言魅力所感染。
没有声嘶力竭的叫喊,没有故作惊人的造作,没有无病装病的呻吟,教师说得随意,学生听得轻松,教师问得精彩,学生答得从容。
如“刚才,我们通过仔细地查看三
(1)班参赛的学生名单,发现有2个同学重复了,但是从这份名单中你能一下子就看出是哪2个人重复了吗?
”“你可以自己画,如果感觉有些困难也可以和你小组内的同学合作完成。
”“我们不让画图的同学自己介绍,只把他们画的图让大家看,我觉得,不用自己介绍就能让别人看懂的方法那才是好方法。
”随处可见教师语言功底,如清风徐来,波澜不惊。
】
师(出示作品1如下图):
我们来看这位同学的方法,他这样画的意思谁看懂了?
书法比赛绘画比赛
李芳杨明李芳杨明
丁刚张伟王强周晓
陈东朱雨于丽
生:
他把李芳和杨明都放在前面了,我们就能看出是他们俩重复了。
师:
那你觉得这种画法比刚才我的画法怎么样?
生:
这样能更清楚地看出谁重复了。
师(出示作品2如下图):
我们再来看这位同学的方法,他这样表示你们觉得怎么样?
书法比赛绘画比赛
陈东杨明周晓于丽
丁刚张伟杨明王强
李芳朱雨李芳
生:
他把重复的同学圈出来了,比刚才的方法更清楚。
师(出示作品3如下图):
我们再来看这位同学的表示方法,大家觉得怎么样?
书法比赛 绘画比赛
丁刚张伟 王强周晓
陈东 朱雨于丽
两项比赛
杨明李芳
生1:
我觉得这种方法很好。
能一下子就看出重复参加两项比赛的同学是杨明和李芳。
生2:
而且重复的两个同学他只写了一次。
师:
他把参加两项比赛的同学单独放到一个圈里,更清楚了。
而且重复的两个同学他只写了一遍,比刚才两边都要写的方法更简便了。
可是参加书法比赛的是几个人?
生:
5个人。
师:
那为什么圈中只有3个人呀?
生:
下面那个圈内还有两个同学是两项比赛都参加的,所以他们也是参加书法小组的,加起来就是5个了。
师:
把参加书法比赛和参加绘画比赛的同学都分到了两个圈里,你觉得这样表示怎么样?
清楚吗?
生:
我觉得还是放在一个圈里比较清楚。
师:
大家觉得呢?
生齐:
放在一个圈里更清楚。
师:
那我们能不能把这种方法改进一下?
让参加书法比赛和参加绘画比赛的同学还在一个圈里呢?
(学生思考)
师请作品3的作者把参加书法比赛的那5个同学用一个圈圈出来,再把参加绘画比赛的那6个同学圈出来,此时出现了不规则的韦恩图“雏形”。
书法比赛绘画比赛
丁刚张伟王强周晓
陈东 朱雨于丽
杨明李芳
师:
你们觉得这样表示怎么样?
生1:
这样表示很清楚。
生2:
我觉得这种方法很好,能一下子就看出参加书法比赛和参加绘画比赛的各是哪些人,还能很清楚地看出两项比赛都参加的是哪两个人。
4、揭示韦恩图。
师:
同学们的表现这么精彩,让我不禁想起了一个人,他就是英国的逻辑学家韦恩,在100多年以前,他第一个想到了这样的图,因此这种图就叫韦恩图(板书:
韦恩图),也叫集合图。
我们同学真了不起,都和韦恩想到一块去了。
5、整理画法,完成板书。
师:
下面我们把同学们创造出来的韦恩图搬到黑板上来。
用一个圈来表示参加书法比赛的同学,再用一个圈来表示参加绘画比赛的同学(师边说边用红笔和蓝笔画了两个交叉的椭圆),还是两个圈,不同的是这两个圈不是分开的,而是有一部分重叠在一块的,利用两个圈重叠的这一部分我们恰好可以用来表示什么?
生:
既参加书法比赛又参加绘画比赛的。
师:
有几个人?
是谁?
生:
杨明和李芳
(师画两个小长方形表示人名)。
【评析:
教师没有板书学生的姓名,而是用小长方形代替,向学生渗透了符号思想,也为日后进一步优化韦恩图(直接用数字表示)起了重要的“桥梁”作用。
】
师:
我们只把参加两项比赛的同学写了一遍,但是参加书法比赛的圈里有了吗?
参加绘画比赛的圈里有了吗?
这可真是一举——(生答)两得!
师:
参加书法比赛的除了杨明和李芳还有几个人?
(生:
3个人。
)应该写在哪里?
生:
左边。
师:
(在左边月牙形里画3个小长方形)同是参加书法比赛的5个同学,这3个人与这2个人有什么不同?
生:
这3个同学是只参加书法比赛的。
这两个人不但参加了书法比赛,还参加了绘画比赛。
师:
那右边月牙形的这一部分表示什么?
生:
只参加绘画比赛的。
师:
有几个人?
生:
4个。
师:
(在右边月牙形里画4个小长方形)同学们请看,我们只用了简单的两个圈,就清楚地表示出了这么多的信息,韦恩图好不好?
韦恩的发明简单不简单?
原来发明创造就这么简单!
你们可以吗?
其实我们每个人都可以有自己的创造!
【评析:
寥寥数语让学生更进一步体会到简单之美!
创造之美!
数学之美!
使学生相信“我们每个人都可以有自己的创造!
”从而激发起学生强烈的创造意识!
】
6、深化对韦恩图的认识。
师:
对于韦恩图各部分表示的意思你都明白吗?
请同位两个同学互相说一说。
(学生同伴互说)
7、数形结合,解决问题。
师:
现在,你能不能根据韦恩图列算式来解决三(1)班一共有多少人参加了这两项比赛?
整理算法:
生1:
5+6-2=9(人)
生2:
3+2+4=9(人)
生3:
5-2+6=9(人)
生4:
6-2+5=9(人)
师:
现在我们能用这么多的方法算出三
(1)班参加比赛的一共是9个人,是谁帮了我们的大忙啊?
生:
韦恩图。
师:
韦恩图确实好吧?
想不想用韦恩图来解决几个生活中的问题?
【评析:
荷兰数学家弗赖登塔尔说过:
“学习数学的唯一正确方法是实行再创造,也就是由学生把本人要学习的东西自己去发现或创造出来,教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造工作,而不是把现成的知识灌输给学生。
”此话虽有“矫枉过正”之嫌(把“再创造”视为学习数学的唯一正确方法),但他所推崇的“再创造”学习法确实有独特的教育价值。
课堂上,教师先明确提出了要达成的学习目标——创造一种新的记录两组学生名单的方法,使其充分体现出重叠问题中信息的特殊性。
尽管学生无法在一节课内“创造”出与前辈数学家同样的韦恩图,但他们对“重叠问题”的理解会因为自己的“创造”而变得更加深刻、丰富、灵动。
在此基础上,通过教师的稍加点拨,“韦恩图”便浮出了水面!
其后学生对韦恩图所表示信息的到位分析和流畅表达,解决课始问题时展现出的多样方法,与经历再创造过程所蓄积的学习智慧是息息相关的。
】
三、综合应用。
1、动物的问题。
师出示一组动物图片:
这些动物有会游泳的,有会飞的?
如果让你选一种合适的集合圈,把这些动物的序号填在合适的位置,你会选哪一种?
①②③④
⑤⑥
AB
生:
选B,因为这些动物中有既会飞的也会游的。
师:
是什么动物?
生:
天鹅。
师:
你是分析了这些动物的特点之后决定选B的,如果没有重叠的情况选哪个合适?
生:
选A。
师:
左边这个圈表示会游泳的,右边这个圈表示会飞的,那中间的这一部分表示什么?
生:
既会飞又会游泳的。
师:
左边月牙形这部分表示什么?
右边月牙形这一部分表示什么?
生:
只会游泳的和只会飞的。
师生按照顺序共同把每种动物填在合适的位置。
师:
这里还有一种动物,我把它填在了这个位置(两圈外围),你知道这是一种怎样的动物吗?
生:
既不会游泳也不会飞的动物。
师:
这样的动物有哪些?
生1:
兔子
生2:
老虎
生3:
……
师:
太多了,我们不一一去说了。
原来韦恩图的外面也可以表示一种信息!
【评析:
借助现有的练习题中的图,增设一个巧妙的问题“这里还有一种动物,我把它填在了这个位置(两圈外围),你知道这是一种怎样的动物吗?
”便把集合图由“圈内”引向了“圈外”,毫不费力地将学生的视野拓展开来。
】
2、文具店的问题。
出示下题:
师:
看到这个问题,你首先注意的是什么?
你们在观察什么?
生:
看有没有重复的。
师:
你真棒,思考问题更全面了!
师:
可以怎么计算?
(生答略)
师:
有很多的方法,其中的一种可以这样做(课件出示):
5+5-3=7(种)
【评析:
教师出示众多方法中的一种,暗含了算法的优化。
】
3、拓展练习,回扣课始的问题。
师:
课上到这里,同学们还这么有精神,真棒!
下面我们再回过头来,看看那份学校的通知和我们已经解决的那个问题:
每班一共要选多少人参加这两项比赛?
我们一开始脱口而出的答案是5+6=11人,后来看到三
(1)的参赛名单,发现有2人重复了,实际只有9个人。
我们现在再来思考这个问题,三
(1)班是9人,其它班级呢?
每个班一定是9人吗?
生:
不一定。
师:
还可以是多少人?
生1:
8人
生2:
11人
生3:
6至11人。
师:
什么情况下是11人?
生:
没有重复的情况下。
师:
也就是说我们一开始的做法有没有考虑重复的情况?
(板书:
无重复)
师:
至少是多少人?
生:
6人。
师:
什么情况下是6人?
生:
有5人重复了,参加书法比赛的同学全部参加绘画比赛。
师(出示一大一小两个圈):
如果用这个小圈来表示参加书法比赛的同学,用这个大圈来表示参加绘画比赛的同学,我这样放表示的是哪种情况?
(分开的)
生:
没有重复的。
师:
这样呢?
(两圈有重叠部分)
生:
有重复的。
师:
这样呢?
(小圈放入大圈)
生:
参加书法比赛的同学全部参加了绘画比赛。
师:
同学们,这样一个我们本来觉得很简单的问题,经过我们深入地思考,原来还有这么多的学问。
【评析:
教师设计的应用练习从简单到复杂,从收敛到开放,从正向到逆向,既链接了丰富的课程资源,又实现了对数学思维的层层拓展。
前两道题的素材来源于课本习题,但教师对此都进行了“二度加工”,使学生不只掌握了知识,而且受到了思想方法的熏陶。
第三道题目是在课始问题基础上做出的横向(素材上)和纵向(思维上)的自然延伸,学生对“重叠问题”完成了结构化水平的自主建构。
如此广度与深度兼具的数学课堂,实属难得!
】
四、总结延伸。
师:
同学们,这节课我们解决了很多问题,关于韦恩图和重叠问题,你还有新的问题吗?
老师更喜欢那些在解决了问题之后还能提出新问题的同学!
(学生沉思,似乎对所学的知识已全然领悟了,这时老师抛出一个新的问题。
)
师:
老师这里有个问题,请看(课件出示下表),这是三年级一班参加课外小组的学生名单,为了研究的方便,我用他们的学号来表示。
从这份名单中你发现了什么?
三(1)班参加课外小组的学生名单
生:
我发现1号同学三个小组都参加了;2号同学参加了语文和数学小组;3号同学参加了语文和英语小组;7号同学参加了数学和英语小组。
师:
重叠现象更复杂了是吧?
怎么用韦恩图来表示这三个小组的重叠问题呢?
同学们课下可以继续研究,有兴趣吗?
好,这节课就上到这里,下课!
【评析:
苏霍姆林斯基说过:
“有经验的生物、物理、化学、数学教师,在讲课的时候,好像是微微打开一个通往一望无际的科学世界的窗口,而把某些东西有意地留下来不讲。
”王老师在本课终了阶段的“总结延伸”对此作出了很好的诠释。
学生带着问号进入课堂展开学习,又将带着问号走出课堂继续学习,这样的数学教学不只给学生的今天带来知识与方法,还为学生的明天撒播了智慧与希望的种子!
】
创新特色:
本节课的主要特点有三:
一是把“解决问题”作为整节课的教学线索。
“问题是数学的心脏”(哈尔莫斯语),正是因为遵循了“课伊始,问题出现,激起学习动机——课进行,问题发展,推动自主建构——课终了,问题又现,引发新的挑战”的教学思路,所以自始至终学生对数学学习都十分投入,充分展现了自己的学习热情与数学智慧。
二是把“数学化”活动作为整节课的重点环节。
与有的教师强调通过肢体活动激发学生的参与热情、引发学生的活动感悟不同,王老师更注重数学层面思维活动的质量,因而课堂之上洋溢着浓浓的“数学味”。
这对那些“花架子太多实效性不够”的数学课堂很有借鉴意义。
三是把发展学生的“信息素养”作为重要的教学任务。
本节课十分重视发展学生分析信息、整理信息、展示信息、表达信息能力,注意培养学生面对信息时所应具有的理性态度和科学习惯。
让人尤为称道的是,这一切都与发展学生的“数学素养”恰到好处地融合在了一起,从而使韦恩图的教育功能淋漓尽致地释放出来——这对于我们的学生而言,可谓弥足珍贵。
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