高二数学最新教案人教版不等式期中复习讲义整理.docx
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高二数学最新教案人教版不等式期中复习讲义整理
不等式期中复习讲义
一、知识点
不等式的性质
①对称性:
a>b
b>a
②传递性:
a>b,b>c
a>c
③可加性:
a>b
a+c>b+c
④可积性:
a>b,c>0
ac>bc;
a>b,c<0
ac ⑤加法法则: a>b,c>d a+c>b+d ⑥乘法法则: a>b>0,c>d>0 ac>bd ⑦乘方法则: a>b>0, an>bn(n∈N) ⑧开方法则: a>b>0, 算术平均数与几何平均数定理: (1)如果a、b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时等号) (2)如果a、b∈R+,那么 (当且仅当a=b时等号) 推广: 4、设a∈R,b>0,则⑴a2/b≥2a-b;⑵a2/b≥a-b/4。 重要结论 1)如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2 ; (2)如果和x+y是定值S,那么当x=y时,和xy有最大值S2/4。 明不等式的常用方法 比较法: 比较法是最基本、最重要的方法。 当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式,则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小,则选择作商比较法;碰到绝对值或根式,我们还可以考虑作平方差。 综合法: 从已知或已证明过的不等式出发,根据不等式的性质推导出欲证的不等式。 综合法的放缩经常用到均值不等式。 分析法: 不等式两边的联系不够清楚,通过寻找不等式成立的充分条件,逐步将欲证的不等式转化,直到寻找到易证或已知成立的结论。 不等式的解法 (1)不等式的有关概念 同解不等式: 两个不等式如果解集相同,那么这两个不等式叫做同解不等式。 同解变形: 一个不等式变形为另一个不等式时,如果这两个不等式是同解不等式,那么这种变形叫做同解变形。 提问: 请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形 去分母、去括号、移项、合并同类项 (2)不等式ax+b>0的解法 ①当a>0时不等式的解集是{x|x>-b/a}; ②当a<0时不等式的解集是{x|x<-b/a}; ③当a=0时,b>0,其解集是R;b≤0,其解集是ф。 (3) 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系 (4)绝对值不等式 |x|<a(a>0)的解集是{x|-a<x<a},几何表示为: ºº -a 0 a |x|>a(a>0)的解集是{x|x<-a或x>a},几何表示为: ºº -a0a 小结: 解绝对值不等式的关键是—去绝对值符号(整体思想,分类讨论)转化为不含绝对值的不等式,通常有下列三种解题思路: (1)定义法: 利用绝对值的意义,通过分类讨论的方法去掉绝对值符号; (2)公式法: |f(x)|>a f(x)>a或f(x)<-a;|f(x)| -a |f(x)|>a(a>0) f2(x)>a2;|f(x)|0) f2(x) 分式不等式的解法 一元高次不等式的解法 列表法解不等式的步骤 ①整理 把不等式化为f(x)>0(或<0)的形式(首项系数化为正) ②求根 求出f(x)=0的根(称为界点) ③列表 按各根把实数分成的几部分,由小到大横向排列,相应的各因式纵向排列(由对应较小根的因式开始依次自上而下排列) ④解集 根据所列表格,写出满足题目要求的不等式的解集 序轴标根法 把不等式化为f(x)>0(或<0)的形式(首项系数化为正),然后分解因式,再把根按照从小到大的顺序在数轴上标出来,从右边入手画线,最后根据曲线写出不等式的解。 含有绝对值的不等式 定理: |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| •|a|-|b|≤|a+b| 中当b=0或|a|>|b|且ab<0等号成立 •|a+b|≤|a|+|b| 中当且仅当ab≥0等号成立 推论1: |a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3| 推广: |a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an| 推论2: |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b| 二、常见题型 (一)利用不等式性质,判断其它不等式是否成立 1、a、b∈R,则下列命题中的真命题是( )C A、若a>b,则|a|>|b|B、若a>b,则1/a<1/b C、若a>b,则a3>b3 D、若a>b,则a/b>1 2、已知a<0.-1 A、a>ab>ab2B、ab2>ab>a C、ab>a>ab2D、ab>ab2>a 3、当0 A、(1―a)1/b>(1―a)bB、(1+a)a>(1+b)b C、(1―a)b>(1―a)b/2D、(1―a)a>(1―b)b 4、若loga3>logb3>0,则a、b的关系是( )B A、0a>1 C、0 5、若a>b>0,则下列不等式①1/a<1/b;②a2>b2;③lg(a2+1)>lg(b2+1);④2a>2b中成立的是( )A A、①②③④ B、①②③ C、①② D、③④ (二)比较大小 1、若0<α<β<π/4,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b,则( )A A、a<b B、a>b C、ab<1 D、ab>2 2、a、b为不等的正数,n∈N,则(anb+abn)-(an-1+bn-1)的符号是( )C A、恒正 B、恒负 C、与a、b的大小有关 D、与n是奇数或偶数有关 3、设1<x<10,则lg2x,lgx2,lg(lgx)的大小关系是 .lgx2>lg2x>lg(lgx) 4、设a>0,a≠1,比较logat/2与loga(t+1)/2的大小。 分析: 要比较大小的式子较多,为避免盲目性,可先取特殊值估测各式大小关系,然后用比较法(作差)即可。 (三)利用不等式性质判断P是Q的充分条件和必要条件 1、设x、y∈R,判断下列各题中,命题甲与命题乙的充分必要关系 ⑴命题甲: x>0且y>0, 命题乙: x+y>0且xy>0充要条件 ⑵命题甲: x>2且y>2, 命题乙: x+y>4且xy>4 充分不必要条件 2、已知四个命题,其中a、b∈R ①a2 3、“a+b>2c”的一个充分条件是( )C A、a>c或b>cB、a>c或b<c C、a>c且b>c D、a>c且b<c (四)范围问题 1、设60<a<84,-28<b<33,求: a+b,a-b,a/b的范围。 2、若二次函数y=f(x)的图象过原点,且1≤f(―1)≤2,3≤f (1)≤3,求f(―2)的范围。 (五)均值不等式变形问题 1、当a、b∈R时,下列不等式不正确的是( )D A、a2+b2≥2|a|•|b|B、(a/2+b/2)2≥ab C、(a/2+b/2)2≤a2/2+b2/2D、log1/2(a2+b2)≥log1/2(2|a|•|b|) 2、x、y∈(0,+∞),则下列不等式中等号不成立的是( )A C、(x+y)(1/x+1/y)≥4D、(lgx/2+lgy/2)2≤lg2x/2+lg2y/2 3、已知a>0,b>0,a+b=1,则(1/a2―1)(1/b2―1)的最小值为( ) D A、6 B、7 C、8 D、9 4、已知a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,求证: 1/a+1/b+1/c≥9 5、已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证: (六)求函数最值 1、若x>4,函数 5、大、-6 2、设x、y∈R,x+y=5,则3x+3y的最小值是( )D A、10 B、 C、 D、 3、下列各式中最小值等于2的是( )D A、x/y+y/xB、 C、tanα+cotαD、2x+2-x 4、已知实数a、b、c、d满足a+b=7,c+d=5,求(a+c)2+(b+d)2的最小值。 5、已知x>0,y>0,2x+y=1,求1/x+1/y的最小值。 (七)实际问题 1、98(高考)如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为2cm的无盖长方体沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为am,高度为bm,已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比,现有制箱材料60m2,问当a、b各为多少米时,沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)。 解一: 设流出的水中杂质的质量分数为y, 由题意y=k/ab,其中k为比例系数(k>0) 据题设2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0)
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