七年级数学上册 有理数的乘方教案 北师大版精品教案.docx
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七年级数学上册有理数的乘方教案北师大版精品教案
有理数的乘方教学设计
教学设计思想
本节内容是在学生学习了有理数的乘法运算后引入的,旨在简化相同因数的积的形式,同时也是为以后学习数的开方、二次根式等有关内容打基础的,故本节内容具有承前启后的重要作用。
引入课题时,教师给学生创设问题情境,鼓励学生积极参与,可以调动学生积极性。
讲解时把课堂时间还给学生,把思维空间让给学生,教师创设数学情景让学生去自主的学,不把有理数的乘方的“计算方法”硬塞给学生。
课时安排
2课时
第一课时
教学目标
知识与技能
1.在现实背景中感受有理数乘方的意义.
2.能进行有理数的乘方运算.
过程与方法
通过实际背景感受乘方的意义,探索乘方运算的方法,发展观察、分析、比较、归纳、概括的能力.
情感与价值观
积极参加数学学习活动,增强自主学习、合作学习意识.
教学重点
有理数乘方的意义.
教学难点
1.理解有理数乘方的意义上有困难.
2.合理进行乘方运算.
教学方法
讲练结合,合作探究
教具准备
细胞分裂示意图
投影片四张
第一张:
练习(记作§2.10.1A)
第二张:
例1(记作§2.10.1B)
第三张:
例2(记作§2.10.1C)
第四张:
法则(记作§2.10.1D)
教学过程
Ⅰ.创设情景问题,引入课题
[师]我们知道,每个生物体都是由细胞组成.动物由动物细胞组成,植物由植物细胞组成.活的细胞和生物体一样,也经过生长、衰老、死亡几个阶段.细胞本身的繁殖是以细胞分裂方式进行的.大家来观察一幅某种细胞分裂示意图:
(出示“细胞分裂示意图”)
这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个.
想一想:
经过5小时,这种细胞由1个能分裂成多少个?
[生]1个细胞30分钟后分裂成2个,1个时分裂成4个,1.5小时后分裂成8个,2小时后分裂成16个,……,5小时后,这种细胞由1个能分裂成1024个.
[师]对,1个细胞30分钟后分裂成2个,这是第一次分裂;1小时后分裂成4个,可以写成2×2,这是第二次分裂,1.5小时后分裂成8个,可写成2×2×2,这是第三次分裂,2小时后分裂成16个,也可写成2×2×2×2,这是第四次分裂,依次类推,想一想:
5小时要分裂多少次?
[生甲]5小时要分裂10次.
[生乙]老师,我知道了,经过一次细胞分裂,1个可分裂成2个,经过二次分裂,1个可分裂成2×2个,经过三次分裂,1个可分裂成2×2×2个,这样依次类推,经过十次这样的分裂,1个便可分裂成
即1024个.
[师]乙同学分析得很好,经过十次分裂后,1个细胞可以分裂成:
=1024个,但10个2相乘写起来挺麻烦的,为了简便,可将
,记为210,210表示有10个2相乘,我们把这种运算叫乘方.今天我们就来探讨有理数的乘方.
Ⅱ.讲授新课
[师]在小学中,我们把a×a记作a2,读作a的平方,或a的二次方.想一想:
a×a表示什么?
[生]表示边长为a的正方形面积.
[师]对,还把a×a×a记作a3,读作a的立方,或a的三次方.那a×a×a表示什么?
[生]表示棱长为a的正方体的体积.
[师]很好,刚才我们又把
记作210.
一般地,我们有:
n个相同的因数a相乘,记作an,即:
这种求n个相同因数a的积的运算叫做乘方(Power).乘方的结果叫做幂(Power).在an中,a叫做底数(BasenumBer).n叫做指数(exponent).an读作a的n次方.an看作是a的n次方的结果时,也可读作a的n次幂.
在这儿需要注意:
乘方是一种运算,幂是乘方运算的结果.
如:
在94中,底数是9,指数是4,94读作9的4次方,或9的4次幂.
下面我们做一练习来熟悉这些概念(出示投影片§2.10A),口答:
1.填空:
(1)(-1)12的底数是_____,指数是_____.
(2)(-3)11表示_____个_____相乘.
(3)(-
)5的指数是_____,底数是_____.
(4)7.54的指数是_____,底数是_____.
[生](-1)12的底数是-1,指数是12.
(-3)11表示11个-3相乘.
(-
)5的指数是5,底数是-
,
7.54的指数是4,底数是7.5.
[师]很好.那5的底数是什么?
指数是什么?
[生]5的底数是5,没有指数.
[师]对吗?
……
[师]在这里需要注意:
一个数可以看成这个数本身的一次方.如:
5就是51,指数1通常省略不写.大家也可以这样理解:
指数就是指相乘的因数的个数,指数是1,就是指只有一个因数.
an就是n个a相乘,所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算.
下面通过例题来熟悉有理数的乘方运算.(出示投影片§2.10B)
[例1]计算:
(1)53;
(2)(-3)4;(3)(-
)3
分析:
乘方就是几个相同因数的积的运算,所以可用有理数的乘法运算来进行乘方运算.
解:
(1)53=5×5×5=125.
(2)(-3)4=(-3)·(-3)·(-3)·(-3)=81.
(3)(-
)3=(-
)·(-
)·(-
)=-
注意:
(1)当底数是负数或分数时,书写时一定要先用小括号将底数括上,再在其右上角写指数.如:
(-3)4不能写成-34,(-
)3不能写成-
3.
(2)在不会引起误解的情况下,乘号也可以用“·”表示.例如:
(-3)×(-3)×(-3)×(-3)×(-3)
可写成:
(-3)·(-3)·(-3)·(-3)·(-3)
接下来,我们做一练习来熟悉有理数的乘方运算(出示投影片§2.10C)
1.计算:
(1)(-1)10;
(2)(-1)7;(3)83;
(4)(-5)3;(5)(-0.1)3;(6)(-
)4.
2.计算:
(1)102、103、104;
(2)(-10)2,(-10)3,(-10)4.
[生]解:
(-1)10=1;
(-1)7=-1;83=512;(-5)3=-125;
(-0.1)3=-0.001;(-
)4=
;
102=100;103=1000;104=10000;
(-10)2=100;(-10)3=-1000;
(-10)4=10000
[师]很好,大家都注意了底数是负数的乘方的表示.下面我们来观察刚才练习题的结果,你能发现什么规律?
可互相交流.
[生]正数的任何次幂都是正数;负数的偶次幂是正数,负数的奇次幂是负数.
[师]对.大家从计算结果中,归纳出乘方运算的符号法则:
(出示投影片§2.10D)
正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数.
很好.大家再想一想:
0的任何次幂等于多少?
1的任何次幂等于多少?
以10为底数的幂有何特点?
[生]由有理数的乘法可以得到:
0的任何非零次幂等于0,1的任何次幂等于1.
10的几次幂,在1的后面有几个0.
[师]这位同学总结得非常正确.下面,我们通过课堂练习进一步熟悉有理数乘方的概念及其运算.
Ⅲ.课堂练习
课本P73随堂练习
1.
(1)在74中,底数是_____,指数是_____.
(2)在(-
)5中,底数是_____,指数是_____.
答案:
(1)7,4;
(2)-
,5
2.计算:
(1)(-3)3;
(2)(-1.5)2;(3)(-
)2
解:
(1)(-3)3=(-3)·(-3)·(-3)=-27
(2)(-1.5)2=(-1.5)·(-1.5)=2.25
(3)(-
)2=(-
)·(-
)=
3.一个数的平方为16,这个数可能是几?
一个数的平方可能是零吗?
答案:
一个数的平方为16,这个数是4或-4.一个数的平方可能是零.0的平方是0.
4.看课本P72~73
5.试一试
设n为正整数,计算:
(1)(-1)2n.
(2)(-1)2n+1.
分析:
n为正整数时,2n表示偶数,2n+1表示是奇数.所以由乘方的符号法则,即可得出.
解:
(-1)2n=1(-1)2n+1=-1
Ⅳ.课时小结
本节课主要学习了有理数的乘方的意义.有关概念及其有理数乘方运算.通过本节的学习,要明确乘方和加、减、乘、除一样,是一种运算,是求n个相同因数的乘积的运算.乘方实质是一种特殊的乘法运算.幂与和、差、积、商一样,是乘方运算的结果.乘方运算与加减乘除的运算步骤一样,先确定符号,再计算绝对值.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P74习题2.131、2、3.
3.1米长的小棒,第一次截去一半,第二次截去剩下的一半,如此截下去,第七次后剩下的小棒有多长?
解:
第七次后剩下的小棒有:
(
)7=
×
×
×
×
×
×
=
(米)
(二)预习内容:
课本P75.准备一张白纸.
Ⅵ.活动与探究
1.如果|a+1|+(b-2)2=0,求(a+b)39+a34的值.
过程:
让学生通过讨论、探索知道:
任何一个数的绝对值是一个非负数;任何一个数的平方也是一个非负数;两个非负数的和等于0,则这两个数都为0.这样:
a、b即可解出.
结果:
因为|a+1|+(B-2)2=0
所以a+1=0,b-2=0
即a=-1,b=2
因此(a+b)39+a34=[(-1)+2]39+(-1)34=1+1=2.
2.用计算器补充完整下表:
31
32
33
34
35
36
37
38
3
9
27
81
从表中你发现3的方幂的个位数有何规律?
3225的个位数是什么数字?
为什么?
过程:
让学生用计算器填完表后,认真观察,找出规律,根据规律,确定3225的个位数字.
结果:
31
32
33
34
35
36
37
38
3
9
27
81
243
729
2187
6561
从表中发现3的方幂的个位数呈周期性变化,变化周期是4.
因为225=56×4+1,所以3225的个位数是3.
板书设计
§2.10.1有理数的乘方
(一)
一、乘方:
二、例1
例2
三、乘方的符号法则
四、课堂练习
五、课时小结
六、课后作业
第二课时
教学目标
知识与技能
1.准确进行有理数的乘方运算.
2.通过实例感受当底数大于1时,乘方的运算结果增长得很快.
过程与方法
感受有理数的乘方与实际问题之间的联系,发展把数学知识与实际问题联系的能力.
情感与价值观
1.通过折纸活动,激发学生学习的兴趣.
2.通过活动来提高动脑、动手的能力,体会数学与现实生活的联系.
教学重点
正确地进行有理数的乘方运算.
教学难点
有理数乘方的意义的进一步理解.
教学方法
讲练相结合,合作探究
教具准备
投影片二张
第一张:
练习(记作§2.10A)
第二张:
例题(记作§2.10B)
教学过程
Ⅰ.复习回顾,引入课题
[师]上节课我们探讨了有理数乘方的意义,谁来叙述什么是有理数的乘方?
[生]求n个相同因数的积的运算叫乘方.
[师]对,n个相同的因数a相乘,可记作an,即
注意:
这里的a可以是正数、负数,也可以是0.
在乘方运算中,我们还知道了底数、指数、幂的概念.能用示意图表示幂、底数、指数之间的关系吗?
[生]能.
[师]很好,底数就是指相同的因数.指数是指相同因数的个数.幂就是乘方的结果.
下面我们做一做练习进一步熟悉有理数乘方的意义及其有关概念(出示投影片§2.10A)
1.填空:
(1)310的意义是_____个3相乘.
(2)平方等于1的数是_____,绝对值等于1的数是_____.
(3)一个数的15次幂是负数,那么这个数的1999次幂是_____.
(4)(-2)6中指数是_____,底数是_____.
(5)平方等于
的数是_____,立方得
的数是_____.
2.计算:
(1)(-
)3;
(2)(-5)4.
答案:
1.
(1)10;
(2)±1±1;(3)负数(4)6-2;(5)±
2.
(1)-
(2)625
[师]大家做得很好,我们这节课继续学习有理数的乘方.
Ⅱ.讲授新课
[师]大家拿出准备好的白纸,我们来共同搞个折纸活动.
我们每人手里拿的白纸的厚度大约是0.1毫米,将它对折1次后,厚度应为多少?
注意:
要一边折,一边想.
[生]对折1次后,厚度应为2×0.1毫米.
[师]好,那对折2次后,厚度为多少毫米呢?
[生]对折2次后,厚度为0.4毫米.
[师]对,那对折3次呢?
[生]对折3次后,厚度为0.8毫米.
[师]想一想,对折10次后,厚度应为多少毫米呢?
[生]老师,我知道了.上节课谈到细胞分裂时,说1个细胞分裂成2个,经过分裂10次后,1个细胞就可分裂成1024个,那一张纸经过对折10次后,那厚度就应该是一张纸厚度的1024倍.即:
0.1×1024=102.4(毫米).
[师]这位同学能把新旧知识联系起来很好,大家要学习这种“温故而知新”的方法.以便于掌握更多知识.
对折10次后,可知其厚度,那对折20次后,厚度为多少毫米?
假如每层楼平均高度为3米,这张纸对折20次后有多少层楼高?
大家可以先估算,猜测一下结果.
[生甲]这张纸对折20次后,厚度大约有100多米,约有30多层楼高.
[生乙]不对,哪有那么高,大约只有20多层吧.
(同学们讨论得非常激烈)
[师]好了,到底谁估算得差不多呢?
我们来验证.一张纸对折20次后,厚度到底有多少毫米呢?
[生]一张纸对折20次后,厚度应该为:
(0.1×220)毫米.
[师]对,对折1次后,其厚度为0.1×2毫米,对折2次后,其厚度为0.1×22毫米…….对折20次后,其厚度为0.1×220毫米,那有多少米呢?
来计算一下.
[生]0.1×
=0.1×
=0.1×
×
=0.1×1024×1024=104857.6(毫米)=104.8576(米)
[师]对,1张薄薄的纸对折20次后竟有100多米高.它有多少层楼高呢?
讨论一下.
[生]大约有35层楼高?
[师]很好,当一张纸对折20次后,其厚度比30层楼还要高.由此可以看出:
乘方运算在现实生活中运用较广,因而我们要理解、掌握有理数乘方的意义及其运算.
下面我们看一例题(出示投影片§2.10B)
[例1]计算:
(1)-(-3)2;
(2)-(-2)3;(3)-(-
)3;(4)-
.
分析:
(1)-(-3)2表示(-3)2的相反数.即-(-3)2=-(-3)·(-3).
(2)-(-2)3表示(-2)3的相反数,即:
-(-2)3=-(-2)·(-2)·(-2)
(3)-(-
)3表示(-
)3的相反数,即:
-(-
)3=-(-
)·(-
)·(-
)
(4)-
表示32除以4的商的相反数.
解:
(1)-(-3)2=-(-3)·(-3)=-9
(2)-(-2)3=-(-2)·(-2)·(-2)=-(-8)=8
(3)-(-
)3=-(-
)·(-
)·(-
)=-(-
)=
(4)-
注意:
(1)-(-8)是表示-8的相反数.因为-8的相反数是8,所以-(-8)=8.
(2)-32、(-3)2、-(-3)2有区别:
-32表示32的相反数,底数是3;(-3)2的底数是-3;-(-3)2表示(-3)2的相反数,底数是-3;
(3)(-
)3与-
有区别.(-
)3的底数是-
,最后结果是幂.而-
的结果是商,且分子的底数是2.
(4)由
(2)、(3)可知:
在乘方运算中,当底数是负数或分数时,一定要把整个负数(连同符号)或分数用小括号括起来.
[师]好,下面我们通过练习来掌握有理数的乘方运算.
Ⅲ.课堂练习
1.计算:
(学生上黑板板演)
(1)-(
)2;
(2)-(-
)2;(3)-53;(4)-
.
解:
(1)-(
)2=-
(2)-(-
)2=-
(3)-53=-125
(4)-
2.试一试:
一个数的平方与它的绝对值相比较,能够确定它们之间的大小关系吗?
答案:
设这个数为x.
(1)当x=±1、0时,x2=|x|即:
当这个数为±1或0时,这个数的平方与这个数的绝对值相等.
(2)当x>1或x<-1时,x2>|x|.即:
这个数大于1或小于-1时,这个数的平方大于它的绝对值.
(3)当-1<x<0,0<x<1时,x2<|x|.即:
这个数在大于-1、小于1且不等于0时,这个数的平方小于它的绝对值.
3.读一读.
棋盘上的学问
古时候,在某个王国里有一位聪明的大臣,他发明了国际象棋,献给了国王,国王从此迷上了下棋.为了对聪明的大臣表示感谢,国王答应满足这个大臣的一个要求.大臣说:
“就在这个棋盘上放一些米粒吧,第1格放1粒米,第2格放2粒米,第3格放4粒米,然后是8粒、16粒、32粒,……,一直到第64格”.“你真傻!
就要这么一点米粒?
!
”国王哈哈大笑.大臣说:
“就怕您的国库里没有这么多米!
”
你认为国王的国库里有这么多米吗?
分析:
第1格放1粒米,第2格放2粒米,第3格放4粒米,即22粒,然后是23粒、24粒、25粒、……、264粒.这样,这个棋盘上总共能放1+2+22+23+24+25+…+264(粒),即(265-1)粒.
结果:
国王的国库里没有这么多米.
Ⅳ.课时小结
通过本节课的学习,又一次体会到当底数大于1,指数增大时,乘方运算的结果增长得速度很快.进一步加深了对乘方意义的理解.也能正确地进行有理数的乘方运算.
Ⅴ.课后作业
(一)看课本总结有理数的加、减、乘、除、乘方的法则及计算方法.
(二)课本P76习题2.141、2.
2.面积为1米2的长方形纸片,第一次裁去一半,第二次裁去剩下的一半,如此裁下去,第八次后剩下纸片的面积是多少?
解:
第八次后剩下纸片的面积为:
(
)8=
(米2)
(三)两人准备一副扑克牌.
Ⅵ.活动与探究
初一“数学晚会”上,有10名同学藏在10个大盾牌后面;男同学的盾牌前面写的是一个正数,女同学的盾牌前面写的是一个负数,这10个盾牌,如图.
请你说出盾牌后面男、女同学各有几人?
过程:
让学生讨论、活动.本题中,由于男生对应表示正数的盾牌、女生对应表示负数的盾牌.因此只要判断每个盾牌前面所写的是正数还是负数就足够了.
结果:
这10个盾牌前面所写的数中有4个负数,6人正数.所以盾牌后面有4个女同学,6个男同学.
2.计算:
0.1258×87
过程:
让学生先观察,不要急于动笔.找出简便方法后再计算.
结果:
0.1258×87=0.125×0.1257×87=0.125×(0.125×8)7=0.125×1=0.125
板书设计
§2.10.2有理数的乘方
(二)
一、乘方的意义
例1
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业
- 配套讲稿:
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