巧妙求和一.docx
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巧妙求和一.docx
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巧妙求和一
巧妙求和
一、知识要点
在这一章要用到两个非常重要的公式:
“通项公式”和“项数公式”。
通项公式:
第n项=首项+(项数-1)×公差
项数公式:
项数=(末项-首项)÷公差+1
【例题1】:
求1+2+3+4+……+99+100的和
1、计算①1+2+3+4+5+……+199+200②1+3+5+7+9+……+97+99
2、1000-1-2-3-4-……-403、7000-2-4-6-……-100
【例题2】有一个数列:
4,10,16,22.…,52.这个数列共有多少项?
练习2:
1.等差数列中,首项=1.末项=39,公差=2.2.有一个等差数列:
2.5,8,11.…,101.
这个等差数列共有多少项?
这个等差数列共有多少项?
3.已知等差数列11.16,21.26,…,1001.这个等差数列共有多少项?
【例题3】有一等差数列:
3.7,11.15,……,这个等差数列的第100项是多少?
练习3:
1.一等差数列,首项=3.公差=2.项数=10,它的末项是多少?
2.求1.4,7,10……这个等差数列的第30项。
3.求等差数列2.6,10,14……的第100项。
【例题4】有这样一个数列:
1.2.3.4,…,99,100。
请求出这个数列所有项的和。
练习4:
计算下面各题。
(1)1+2+3+…+49+50
(2)6+7+8+…+74+75(3)100+99+98+…+61+60
【例题5】求等差数列2,4,6,…,48,50的和。
练习5:
计算下面各题。
(1)2+6+10+14+18+22
(2)5+10+15+20+…+195+200(3)9+18+27+36+…+261+270
【例题6】计算(2+4+6+…+100)-(1+3+5+…+99)
练习6:
用简便方法计算下面各题。
(1)(2001+1999+1997+1995)-(2000+1998+1996+1994)
(2)(2+4+6+…+2000)-(1+3+5+…+1999)(3)(1+3+5+…+1999)-(2+4+6+…+1998)
【例题7】刘俊读一本长篇小说,他第一天读30页,从第二天起,他每天读的页数都前一天多3页,第11天读了60页,正好读完。
这本书共有多少页?
练习7:
1.刘师傅做一批零件,第一天做了30个,以的每天都比前一天多做2个,第15天做了48个,正好做完。
这批零件共有多少个?
2.胡茜读一本故事书,她第一天读了20页,从第二天起,每天读的页数都比前一天多5页。
最后一天读了50页恰好读完,这本书共有多少页?
2.丽丽学英语单词,第一天学会了6个,以后每天都比前一天多学1个,最后一天学会了16个。
丽丽在这些天中学会了多少个英语单词?
【例题8】30把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试几次?
练习8:
1.有80把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?
2.有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。
一共有几把锁的钥匙搞乱了?
3.有10只盒子,44只羽毛球。
能不能把44只羽毛球放到盒子中去,使各个盒子里的羽毛球只数不相等?
【例题9】某班有51个同学,毕业时每人都和其他的每个人握一次手。
那么共握了多少次手?
练习9:
1.学校进行乒乓球赛,每个选手都要和其他所有选手各赛一场。
如果有21人参加比赛,一共要进行多少场比赛?
3.在一次同学聚会中,一共到43位同学和4位老师,每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。
那么一共握了多少次手?
4.
3.假期里有一些同学相约每人互通两次电话,他们一共打了78次电话,问有多少位同学相约互通电话?
【例题10】:
100以内除以4而没有余数的数一共有几个?
它们的和是多少?
练习10:
1、300以内除以6没有余数的数共有()个,它们的和是()。
2、200以内除以5余2的所有数的和是()。
【例题11】:
求除以7而没有余数的所有三位数的和是多少?
练习11:
1、除以6而没有余数的所有三位数的和是()。
2、大于1500而小于2000的所有除以5没有余数的数的和是()。
【例题12】求1~99这99个连续自然数的所有数字之和。
练习12:
1.求1~199这199个连续自然数的所有数字之和。
2.求1~999这999个连续自然数的所有数字之和。
3.求1~3000这3000个连续自然数的所有数字之和。
.
【例题13】求1~209这209个连续自然数的全部数字之和。
练习13:
1.求1~308连续自然数的全部数字之和。
2.求1~2009连续自然数的全部数字之和。
3.求连续自然数2000~5000的全部数字之和。
随课练习
1)1+2+3+4+……+502+4+6+8+……+1201500-1-2-3-……-40
2)1+5+9+13+……+4418000-2-7-12-17-……-117
3)等差数列1、5、9、13……的第15项是()。
4)等差数列1、5、9、13、17……的第50项是(),第100项是()。
5)小芳做游戏,她在地上第一行摆小棒3根,第二行摆小棒8根,第三行摆小棒13根……依次类推,那么第20行要摆小棒()根,第30行她要摆小棒()根。
6)等差数列中,如a1=4,a2=6,a3=8,a4=10,……则a20=(),a100=()。
7)等差数列1、3、5、7……207、209各项的和是()。
8)所有三位数的和是()。
9)500以内所有除以7余2的数的和是()。
10)1至120以内除以4没有余数的所有数之和是()。
11)等差数列5、8、11……,62在第()项,前60项的和是()。
12)某剧院有25排座位,后一排比前一排多2个座位,最后一排有70个座位。
则这个剧院共有座位()个。
13)小文从1月1日开始写大字,第一天写4个,以后每天比前一天多写相同数量的大字,1月30日他写大字91个。
则小文每天比前一天多写()个大字。
14)已知数到5、9、13、17、21……①这个数列中第50项是();②397是这个数列的第()项;③这个数列的前100个数的和是()。
15)等差数列1、4、7、10、13……,共有80项,其中所有奇数项的数的和是()。
16)1000+999-998+997+996-995+……+106+105-104+103+102-101
17)(1994+1992+1990+……+4+2)-(1+3+5+7+……+1991+1993)
18)从300中第一次减去1,第二次减去2,第三次减去3……,这样连续减去()次以后还剩下129。
19)一个七层的书架上放了777本书,已知上边一层比下边一层少放7本书。
则最上面一层放了()本书。
20)1至100这个自然数中,所有不能被9整除的数的和是()。
21)在19和91之间插入5个数,使这7个数构成一个等差数列,则这7个数的和是()。
22)7、100个连续自然数的和是8250,去掉这100个数中的第奇数个数(第1个,第2个第3个……第99个),剩下的50个数相加的和是()。
23)前37个自然数的和加上1998,所得的结果等于另外37个连续自然数的和,这37个自然数中最小的是()
24)一只猴子每天都要吃桃子,如果它每天吃桃子的数量互不相同,那么100个桃子最多够这只猴子吃()天
25)李先生到某公司应聘,该公司前3个月是试用期,试用期间每月工资600元,试用期结束后的第一个月工资800元,以后每月工资比上一个月多50元,李先生第一年的收入是()元。
26)从1开始的29个自然数的和加上2001,所得的结果等于另外29个连续自然数的和,这29个自然数中,最小的是()。
27)用10张同样长的纸条粘接成一条长61厘米的纸条,如果多个接头处都重叠1厘米,那么每张纸条长()厘米。
28)从101到309包括这两个数的所有三位数,且只有十位上是0的数的和是()。
29)小华将50多个同样的玻璃球放入一排同样的盒子里,其中只有一个没有装,然后他就去玩了。
小刚从每个有玻璃球的盒子里,各拿了一个放在空盒子里,又把盒子重新排好。
小华回家仔细一看,没有发现有人动过这个盒子和玻璃球。
则共有()个盒子,()个玻璃球。
30)从1开始的几个连续自然数,如果去掉其中的一个,其余各数相加,然后再减去去掉的那个数,恰好等于100。
这个去掉的数是(),最大的一个数是()。
31)公路上每隔2千米有一个仓库,每个仓库存有10吨货物,现要把所有货物全部运送到距第10个仓库20千米的码头上,已知每吨货运1千米的运费是1元,则10个仓库的总运费是()元。
32)从20起往后数30个连续的偶数,则最后一个偶数是(),这20个偶数的和是()。
33)有一串数1、7、13、19、25……这列数的第1998个数是()
34)按1、4、7、10、13、……排列的一列数中,第51个数是()。
35)王雪读一本故事书,第一天读了8页,以后每天都比前一天多读3页,最后一天读了32页正好读完。
她一共读了()天。
36)1996+1995-1994-1993+1992+1991-1990-1989+……-2-1=()
37)1996-5-12-19-26-……-145-152=()
38)由小到大排列的8个整数,后一个数都比前一个数多5,这8个数相加的和正好是1996。
排到最后的那个数是()。
39)在等差数列6、13、20、27……中,从左向右数第()个数是1994。
40)1992-1989+1986-1983+……+12-9+8-3=()
41)计算:
15-5+25-10+35-15+45-20+55-25+65-30+75-35+85-40+95-45+105-50+115-55+125-60=()
42)1994+1993-1992-1991+1990+1989-1988-1987+…10+9-8-7+6+5-4-3+2+1=()
43)“重阳节”那天,延龄茶座来了25位老人品茶。
他们的年龄恰好是25个连续的自然数。
两年以后这25位老人的年龄和正好是2000岁。
则其中年龄最大的老人今年()岁。
44)一个剧院的剧场有20排座位,第一排有38个座位,往后每排比前一排多2个座位,这个剧院一共有多少个座位?
45)
(1)11+12+13……+998+999+1000
(2)2+6+3+12+4+18+5+24+6+30
46)求等差数列6,9,12,15,……中第99项是几?
47)求等差数列46,52,58……172共有多少项?
48)求等差数列245,238,231,224,……中,105是第几项?
49)求等差数列0,4,8,12,……中,第31项是几?
在这个数列中,2000是第几项?
50)从35开始往后面数18个奇数(单数),最后一个奇数是多少?
51)已知一个等差数列的第二项是8,第3项是13,这个等差数列的第10项是多少?
52)100+200+300+……2100
53)81+79+……+17+15+13
54)有20个同学参加聚会,见面的时候如果每人都和其他同学握手一次,那么参加聚会的同学一共要握手多少次?
55)请用被4除余数是1的所有两位数组成一个等差数列。
并求出这个等差数列的和。
56)在13和29之间插三个数,使这个五个数构成一个等差数列,那么插入的三个数分别是多少?
57)如果要在30和70之间插入若干个数,使他们组成一个公差是5的等差数列,那么一共要插入多少个数?
58)学校举行乒乓球赛,每个参赛选手要和其他选手进行一场比赛,一共进行了78场,计算出一共有多少个参赛选手?
59)一把钥匙和一把锁配着,现在有10把钥匙和10把锁混着了,最多要打多少次才能把钥匙和锁都配好?
60)40个连续奇数的和是1920,其中最大的一个是多少?
61)小明读一本600页的书,他每天比前一天多读1页。
16天读完,那么他最后一天读了多少页?
四年级奥数试卷
1.如果数A减去数B的3倍,差是51;数A加上数B的2倍,和是111,那么数A=________,数B=________。
2.有40个连续的自然数,其中最大的数是最小数的4倍,那么最大的数与最小的数之和是________。
3.牧羊人赶一群羊过10条河,每过一条河时都有一半的羊掉入河中,每次他都捞上3只,最后清查还剩6只。
这群羊在过河前共有________只。
4.一群猴子分桃,桃子共有56个,每只猴子可以分到同样多的桃子。
但在它们正要分桃时,又来了4只猴子,于是重新分配这些桃子,结果每只猴子分到的桃子数量相同,那么最后每只猴子分到________个桃子。
5.三只小猫去钓鱼,它们共钓上36条鱼,其中黑猫和花猫钓到的鱼的条数是白猫钓到的鱼的条数的5倍,花猫钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的2倍少9条。
黑猫钓上______条鱼。
6.从1,3,5,7中任取3个数字组成没有重复数字的三位数,这些三位数中能被3整除的有______个。
二、解答题:
(每小题10分,共40分。
)要求:
写出推算过程。
7.16、如图7所示,在三个圆圈中各填入一个自然数,使每条线段两端的两个数之和均为奇数。
请问这样的填法存在吗?
如不存在,请说明理由;如存在,请写出一种填法。
8.甲、乙两人分别从相距260千米的A、B两地同时沿笔直的公路乘车相向而行,各自前往B地、A地。
甲每小时行32千米。
乙每小时行48千米。
甲、乙各有一个对讲机,当他们之间的距离小于20千米时,两人可用对讲机联络。
问:
(1)两人出发后多久可以开始用对讲机联络?
(2)他们用对讲机联络后,经过多长时间相遇?
(3)他们可用对讲机联络多长时间?
9.星期天早晨,小明发现闹钟因电池能量耗尽停走了。
他换上新电池,估计了一下时间,将闹钟的指针拔到8:
00。
然后,小明离家前往天文馆。
小明到达天文馆时,看到天文馆的标准时钟显示的时间是9:
15。
一个半小时后,小明从天文馆以同样的速度返回家中。
看到闹钟显示的时间是11:
20,请问,这时小明应该把闹钟调到什么时候才是准确的?
10.19.2005年,小张有一次出差的几天有日期数加起来恰好是60。
问:
小张出差了几天?
是哪几天?
(注:
日期数指a月b日中的b,如4月16日的日期数是16)
数列求和级计算答案
一、知识点:
1、数列:
按一定顺序排成的一列数叫做数列。
数列中的每一个数都叫做项,第一项称为首项,最后一项称为末项。
数列中共有的项的个数叫做项数。
2、等差数列与公差:
一个数列,从第二项起,每一项与与它前一项的差都相等,这样的数列的叫做等差数列,其中相邻两项的差叫做公差。
3、常用公式
等差数列的总和=(首项+末项)*项数2
项数=(末项-首项)/公差+1
末项=首项+公差*(项数-1)
公差*(首项=末项-项数-1)
公差=(末项-首项)/(项数-1)
等差数列(奇数个数)的总和=中间项*项数
盈亏问题公式
(1)一次有余(盈),一次不够(亏),可用公式:
(盈+亏)÷(两次每人分配数的差)=人数。
例如,“小朋友分桃子,每人10个少9个,每人8个多7个。
问:
有多少个小朋友和多少个桃子?
”
解(7+9)÷(10-8)=16÷2
=8(个)………………人数
10×8-9=80-9=71(个)………………………桃子
或8×8+7=64+7=71(个)(答略)
(2)两次都有余(盈),可用公式:
(大盈-小盈)÷(两次每人分配数的差)=人数。
例如,“士兵背子弹作行军训练,每人背45发,多680发;若每人背50发,则还多200发。
问:
有士兵多少人?
有子弹多少发?
”
解(680-200)÷(50-45)=480÷5
=96(人)
45×96+680=5000(发)
或50×96+200=5000(发)(答略)
(3)两次都不够(亏),可用公式:
(大亏-小亏)÷(两次每人分配数的差)=人数。
例如,“将一批本子发给学生,每人发10本,差90本;若每人发8本,则仍差8本。
有多少学生和多少本本子?
”
解(90-8)÷(10-8)=82÷2
=41(人)
10×41-90=320(本)(答略)
(4)一次不够(亏),另一次刚好分完,可用公式:
亏÷(两次每人分配数的差)=人数。
(例略)
(5)一次有余(盈),另一次刚好分完,可用公式:
盈÷(两次每人分配数的差)=人数。
11.
小学生数学公式大全,第二部分:
定义定理(算术方面)
1、加法交换律:
两数相加交换加数的位置,和不变。
2、加法结合律:
三个数相加,先把前两个数相加,或先把后两个数相加,再同第三个数相加,和不变。
3、乘法交换律:
两数相乘,交换因数的位置,积不变。
4、乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,再和第三个数相乘,它们的积不变。
5、乘法分配律:
两个数的和同一个数相乘,可以把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积相加,结果不变。
如:
(2+4)×5=2×5+4×5。
6、除法的性质:
在除法里,被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数,商不变。
0除以任何不是0的数都得0。
7、等式:
等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。
等式的基本性质:
等式两边同时乘以(或除以)一个相同的数,等式仍然成立。
8、方程式:
含有未知数的等式叫方程式。
9、一元一次方程式:
含有一个未知数,并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。
学会一元一次方程式的例法及计算。
即例出代有χ的算式并计算。
10、分数:
把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几分的数,叫做分数。
11、分数的加减法则:
同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变。
异分母的分数相加减,先通分,然后再加减。
12、分数大小的比较:
同分母的分数相比较,分子大的大,分子小的小。
异分母的分数相比较,先通分然后再比较;若分子相同,分母大的反而小。
13、分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变。
14、分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作为分母。
15、分数除以整数(0除外),等于分数乘以这个整数的倒数。
16、真分数:
分子比分母小的分数叫做真分数。
17、假分数:
分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。
假分数大于或等于1。
18、带分数:
把假分数写成整数和真分数的形式,叫做带分数。
19、分数的基本性质:
分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数(0除外),分数的大小不变。
20、一个数除以分数,等于这个数乘以分数的倒数。
21、甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘以乙数的倒数。
数量关系式:
1,每份数×份数=总数总数÷每份数=份数总数÷份数=每份数
2,1倍数×倍数=几倍数几倍数÷1倍数=倍数几倍数÷倍数=1倍数
3,速度×时间=路程路程÷速度=时间路程÷时间=速度
4,单价×数量=总价总价÷单价=数量总价÷数量=单价
5,工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作效率=工作时间工作总量÷工作时间=工作效率
6,加数+加数=和和-一个加数=另一个加数
7,被减数-减数=差被减数-差=减数差+减数=被减数
8,因数×因数=积积÷一个因数=另一个因数
9,被除数÷除数=商被除数÷商=除数商×除数=被除数
******************************************************
和差问题的公式
(和+差)÷2=大数
(和-差)÷2=小数
和倍问题
和÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数
(或者和-小数=大数)
差倍问题
差÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数
(或小数+差=大数)
******************************************************
植树问题:
1非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:
株数=段数+1=全长÷株距-1
全长=株距×(株数-1)
株距=全长÷(株数-1)
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数=段数-1=全长÷株距-1
全长=株距×(株数+1)
株距=全长÷(株数+1)
2封闭线路上的植树问题的数量关系如下
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
******************************************************
盈亏问题
(盈+亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数
(大盈-小盈)÷两次分配量之差=参加分配的份数
(大亏-小亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数
******************************************************
相遇问题
相遇路程=速度和×相遇时间
相遇时间=相遇路程÷速度和
速度和=相遇路程÷相遇时间
******************************************************
追及问题
追及距离=速度差×追及时间
追及时间=追及距离÷速度差
速度差=追及距离÷追及时间
******************************************************
流水问题
顺流速度=静水速度+水流速度
逆流速度=静水速度-水流速度
静水速度=(顺流速度+逆流速度)÷2
水流速度=(顺流速度-逆流速度)÷2
******************************************************
浓度问题:
溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%=浓度
溶液的重量×浓度=溶质的重量
溶质的重量÷浓度=溶液的重量
******************************************************
利润与折扣问题:
利润=售出价-成本
利润率=利润÷成本×100%=(售出价÷成本-1)×100%
涨跌金额=本金×涨跌百分比
折扣=实际售价÷原售价×100%(折扣〈1)
利息=本金×利率×时间
税后利息=本金×利率×时间×(1-20%)
*****************************
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- 巧妙 求和