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一轮复习再回顾
专题一 选择、填空题对点练
集合与常用逻辑用语
[记概念公式]
1.集合的基本概念
(1)集合中元素的特性:
确定性、互异性、无序性.
(2)集合的表示方法:
列举法、描述法、图示法.
(3)子集、真子集、空集、集合相等的概念.
2.集合的基本运算
(1)交集:
A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
(2)并集:
A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
(3)补集:
∁UA={x|x∈U,且x∉A}.
3.运算性质及重要结论
(1)A∪A=A,A∪∅=A,A∪B=B∪A.
(2)A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=B∩A.
(3)A∩(∁UA)=∅,A∪(∁UA)=U.
(4)A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A.
4.全称命题与特称命题
(1)全称命题p:
∀x∈M,p(x),它的否定綈p:
∃x0∈M,綈p(x0).
(2)特称命题p:
∃x0∈M,p(x0),它的否定綈p:
∀x∈M,綈p(x).
5.四种命题
用p,q表示一个命题的条件和结论,綈p和綈q分别表示条件和结论的否定,那么原命题:
若p则q;逆命题:
若q则p;否命题:
若綈p则綈q;逆否命题:
若綈q则綈p.
[览规律技巧]
1.研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性,对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性.
2.解决集合的运算时,一般先运算括号内的部分.当集合是用列举法表示的数集时,可以通过列举集合的元素进行运算;当集合是用不等式形式表示时,可运用数轴求解.
3.判断命题真假的方法
(1)等价转化法:
当一个命题的真假不好判断时,可转化为判断它的逆否命题的真假.
(2)特值法:
当判定一个全称命题为假或一个特称(存在性)命题为真时,可代入特值进行验证.
注意:
判断有关不等式的充分条件和必要条件问题时,记住“小范围”⇒“大范围”.
[练经典考题]
一、选择题
1.设全集为R,集合A={x∈R|x2<4},B={x|-1 A.(-1,2)B.(-2,-1) C.(-2,-1]D.(-2,2) 解析: 选C 由x2<4,得-2 2.设全集U={1,2,3,4,5},集合A={2,3},集合B={1,3},则(∁UA)∩(∁UB)的子集有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个 解析: 选D ∁UA={1,4,5},∁UB={2,4,5},则(∁UA)∩(∁UB)={4,5},所以其子集有4个. 3.已知集合A={x|log2x<1},B={x|0 A.(0,1]B.[1,+∞) C.(0,2]D.[2,+∞) 解析: 选D A={x|log2x<1}={x|0 4.已知命题p: a,b,c成等比数列,命题q: b=,那么命题p是q的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析: 选D a,b,c成等比数列,则有b2=ac,b=±,所以p不是q的充分条件.当a=b=c=0时,有b=成立,但此时a,b,c不成等比数列,所以p不是q的必要条件.所以p是q的既不充分也不必要条件. 5.命题“存在x0∈R,x+x0+1≤0”的否定是( ) A.不存在x0∈R,x+x0+1≤0 B.存在x0∈R,x+x0+1>0 C.对任意的x∈R,x3+x+1>0 D.对任意的x∈R,x3+x+1≤0 解析: 选C “存在x0∈R,x+x0+1≤0”的否定是“对任意的x∈R,x3+x+1>0”. 6.设集合A={x|x=,k∈N},B={x|x≤5,x∈Q},则A∩B=( ) A.{1,2,5}B.{1,2,4,5} C.{1,4,5}D.{1,2,4} 解析: 选B 当k=0时,x=1;当k=1时,x=2;当k=5时,x=4;当k=8时,x=5.所以A∩B={1,2,4,5}. 7.已知集合M= ,N={y|y=3x2+1,x∈R},则M∩N=( ) A.∅B.{x|x≥1} C.{x|x>1}D.{x|x≥1或x<0} 解析: 选C 由≥0得∴x>1或x≤0,∴M={x|x>1或x≤0},又∵N={y|y≥1},∴M∩N={x|x>1}. 8.命题“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的否命题是( ) A.若a,b都是偶数,则a+b不是偶数 B.若a,b不都是偶数,则a+b不是偶数 C.若a,b都不是偶数,则a+b不是偶数 D.若a,b不都是偶数,则a+b是偶数 解析: 选B 因为“都是”的否定是“不都是”,所以“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的否命题是“若a,b不都是偶数,则a+b不是偶数”. 9.已知命题p: 函数y=e|x-1|的图象关于直线x=1对称,命题q: 函数y=cos的图象关于点对称,则下列命题中的真命题为( ) A.p∧qB.p∧(綈q) C.(綈p)∧qD.(綈p)∨(綈q) 解析: 选A 易知函数y=e|x-1|的图象关于直线x=1对称是真命题;将x=代入y=cos中,得y=0,故函数y=cos的图象关于点对称是真命题.p和q都为真,所以p∧q为真命题. 10.已知命题p: 当a>1时,函数y=log(x2+2x+a)的定义域为R;命题q: “a=3”是“直线ax+2y=0与直线2x-3y=3垂直”的充要条件,则以下结论正确的是( ) A.p或q为真命题 B.p且q为假命题 C.p且綈q为真命题 D.綈p或q为假命题 解析: 选A 当a>1时,一元二次方程x2+2x+a=0的判别式Δ=4-4a<0,则x2+2x+a>0对任意x∈R恒成立,故函数y=log(x2+2x+a)的定义域为R.故命题p是真命题;直线ax+2y=0与直线2x-3y=3垂直等价于a×2+2×(-3)=0,解得a=3,故“a=3”是“直线ax+2y=0与直线2x-3y=3垂直”的充要条件,故命题q是真命题.所以p或q为真命题,p且q为真命题,p且綈q为假命题,綈p或q为真命题. 11.设集合A={x|x2+2x-3>0},集合B={x|x2-2ax-1≤0,a>0}.若A∩B中恰含有一个整数,则实数a的取值范围是( ) A.B. C.D.(1,+∞) 解析: 选B A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1或x<-3},因为函数y=f(x)=x2-2ax-1的图象的对称轴为x=a>0,f(0)=-1<0,根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数,则这个整数为2,所以有f (2)≤0且f(3)>0,即所以即≤a<. 12.下列命题中正确的是( ) A.命题“∀x∈R,x2-x≤0”的否定是“∃x0∈R,x-x0≥0” B.命题“若xy=0,则x=0”的否命题为“若xy=0,则x≠0” C.∃m∈R,使f(x)=(m-1)·xm2-4m+3是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减 D.命题“若cosx=cosy,则x=y”的逆否命题为真命题 解析: 选C A中命题的否定是“∃x0∈R,x-x0>0”,所以A错误;B中“若xy=0,则x=0”的否命题为“若xy≠0,则x≠0”,所以B错误;C中m=2时成立;D中“若cosx=cosy,则x=y+2kπ或x=-y+2kπ,k∈Z”,所以D错误. 二、填空题 13.已知集合A={x|y=},B={y|y=3x+1},则A∩B=________. 解析: A=(-∞,0]∪[3,+∞),B=(1,+∞),所以A∩B=[3,+∞). 答案: [3,+∞) 14.已知命题p: ∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q: ∃x0∈R,x+2ax0+2-a=0,若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是________. 解析: 由x2-a≥0,得a≤x2,x∈[1,2],所以a≤1.要使q成立,则有Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a2+a-2≥0,解得a≥1或a≤-2.因为命题“p且q”是真命题,则p,q同时为真,即即a≤-2或a=1. 答案: (-∞,-2]∪{1} 15.当两个集合中一个集合为另一集合的子集时称这两个集合构成“全食”,当两个集合有公共元素,但互不为对方子集时称这两个集合构成“偏食”.对于集合A=,B={x|ax2=1,a≥0},若A与B构成“全食”或构成“偏食”,则a的取值集合为________. 解析: 因为B={x|ax2=1,a≥0},所以若a=0,则B为空集,满足B⊆A,此时A与B构成“全食”.若a>0,则B={x|ax2=1,a≥0}=,由题意知=1或=,解得a=1或a=4.此时A与B构成“偏食”.故a的取值集合为{0,1,4}. 答案: {0,1,4} 16.若f(x)是R上的增函数,且f(-1)=-4,f (2)=2,设P={x|f(x+t)+1<3},Q={x|f(x)<-4},若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,则实数t的取值范围是________. 解析: P={x|f(x+t)+1<3}={x|f(x+t)<2}={x|f(x+t) (2)},Q={x|f(x)<-4}={x|f(x) 答案: (3,+∞) 函数的图象、性质及应用 [记概念公式] 1.指数与对数式的运算公式 am·an=am+n;(am)n=amn;loga(MN)=logaM+logaN;loga=logaM-logaN;logaMn=nlogaM;alogaN=N;logaN=(a>0且a≠1,b>0且b≠1,M>0,N>0). 2.函数的零点与方程根的关系 3.零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b)使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根. [览规律技巧] 1.函数单调性和奇偶性的重要结论 (1)当f(x),g(x)同为增(减)函数时,函数f(x)+g(x)为增(减)函数. (2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性,偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性. (3)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称,f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称. (4)偶函数的和、差、积、商是偶函数;奇函数的和、差是奇函数,积、商是偶函数;奇函数与偶函数的积、商是奇函数. 2.函数的周期性 (1)若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a),则f(x)为周期函数,2a是它的一个周期. (2)设f(x)是R上的偶函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,2a是它的一个周期. (3)设f(x)是R上的奇函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,4a是它的一个周期. 3.函数图象的对称性 (1)若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x),则f(x)的图象关于直线x=a对称. (2)若函数y=f(x)满足f(a+x)=-f(a-x),即f(x)=-f(2a-x),则f(x)的图象关于点(a,0)对称. (3)若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=对称. 4.利用指数函数与对数函数的性质比较大小 (1)底数相同,指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较;底数相同,真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较. (2)底数不同、指数也不同,或底数不同、真数也不同的两个数,可以引入中间量或结合图象进行比较. [练经典考题] 一、选择题 1.已知函数f(x)=则f[f (2)]=( ) A.B.C.2D.4 解析: 选A 因为f (2)=-,所以f[f (2)]=f(-)=4=. 2.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是( ) A.y=B.y=cosx C.y=3xD.y=ln|x| 解析: 选D 利用排除法求解.函数y=,y=3x都是非奇非偶函数,排除A和C;函数y=cosx,x∈(0,+∞)不单调,排除B;函数y=ln|x|是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,故选D. 3.设a,b∈R,若函数f(x)=(x∈R)是奇函数,则a+b=( ) A.-1B.0C.1D.2 解析: 选B 因为函数f(x)=(x∈R)是奇函数,所以f(0)==0,得a=-1,又因为f (1)+f(-1)=0,所以+=0,解得b=1,经检验,符合题意.故a+b=0. 4.已知定义域为R的函数f(x)的图象关于原点对称.当x>0时,f(x)=lnx,则f(-e)=( ) A.-eB.e C.1D.-1 解析: 选D 由于函数f(x)的图象关于原点对称,故f(x)为奇函数,故f(-e)=-f(e)= -lne=-1. 5.已知函数f(x)=4-x2,y=g(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,g(x)=log2x,则函数f(x)·g(x)的大致图象为( ) 解析: 选D 因为函数f(x)=4-x2为偶函数,y=g(x)是定义在R上的奇函数,所以函数f(x)·g(x)为奇函数,其图象关于原点对称,所以排除A,B.当x>2时,g(x)=log2x>0,f(x)=4-x2<0,所以此时f(x)·g(x)<0,排除C. 6.已知函数f(x)=lnx,则函数g(x)=f(x)-f′(x)的零点所在的区间是( ) A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4) 解析: 选B 因为f′(x)=,所以g(x)=f(x)-f′(x)=lnx-.因为g (1)=ln1-1=-1<0,g (2)=ln2->0,所以函数g(x)的零点所在的区间为(1,2). 7.函数f(x)=(x+1)lnx-1的零点有( ) A.0个B.1个C.2个D.3个 8.若当x∈R时,函数f(x)=a|x|始终满足0<|f(x)|≤1,则函数y=loga的图象大致为( ) 解析: 选B 因为当x∈R时,函数f(x)=a|x|始终满足0 9.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意x∈R都有f(x+4)=f(x)+f (2),则f(2014)=( ) A.0B.3C.4D.6 解析: 选A 依题意得f(-2+4)=f(-2)+f (2)=f (2),即2f (2)=f (2),f (2)=0,f(x+4)=f(x),故f(x)是以4为周期的周期函数,2014=4×503+2,因此f(2014)=f (2)=0. 10.奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),当x∈(0,1)时,f(x)=3x+,则f(log354)=( ) A.-2B.-C.D.2 解析: 选A ∵f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),∴f(x)是以4为周期的周期函数.又∵f(log354)=f=f=f=-f,易知0 11.设平行于y轴的直线分别与函数y1=log2x及y2=log2x+2的图象交于B,C两点,点A(m,n)位于函数y2的图象上.若△ABC为正三角形,则m·2n=( ) A.8B.12 C.12D.15 解析: 选B 由题意可得BC=2,则正三角形的边长为2,设直线BC: x=t,则t=m+,log2t=log2m+1,t=2m,则t=m+=2m,解得m=.又n=log2m+2,2n-2=m,2n=4m,所以m·2n=4m2=4×()2=12. 12.函数f(x)=cosπx与函数g(x)=|log2|x-1||的图象所有交点的横坐标之和为( ) A.2B.4C.6D.8 解析: 选B 将两个函数的图象同时向左平移1个单位,得到函数y=f(x+1)=cosπ(x+1)=cos(πx+π)=-cosπx,y=g(x+1)=|log2|x||的图象,则此时两个新函数均为偶函数.在同一坐标系下分别作出函数y=f(x+1)=-cosπx和y=g(x+1)=|log2|x||的图象如图,可知有四个交点,两两关于y轴对称,所以此时所有交点的横坐标之和为0,所以函数f(x)=cosπx与函数g(x)=|log2|x-1||的图象所有交点的横坐标之和为4. 二、填空题 13.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,则满足f(2x-1) 解析: 因为f(x)为偶函数,所以f(2x-1)=f(|2x-1|),所以f(2x-1) 答案: ∪ 14.已知函数f(x)=lnx+3x-8的零点x0∈[a,b],且b-a=1,a,b∈N*,则a+b=________. 解析: 由于函数f(x)=lnx+3x-8,故函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,又a,b∈N*,f (2)=ln2+6-8=ln2-2<0.f(3)=ln3+9-8=ln3+1>0,且b-a=1,∴x0∈[2,3],即a=2,b=3,∴a+b=5. 答案: 5 15.已知函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),有如下结论: ①∀x∈(-1,1),f(-x)=f(x);②∀x∈(-1,1),f(-x)=-f(x);③∀x∈(-1,1),f(x)为增函数;④若f(a)=ln2,则a=. 其中正确结论的序号是________.(写出所有正确结论的序号) 解析: f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)=ln,f(-x)+f(x)=ln+ln=ln1=0,∴f(-x)=-f(x),①错误,②正确;f(x)=ln=ln-1+,利用复合函数的单调性可知f(x)为增函数,③正确;∵f(a)=ln=ln2,∴=2,∴a=,④正确. 答案: ②③④ 16.已知f(x)为定义在R上的偶函数,当x≥0时,有f(x+1)=-f(x),且当x∈[0,1)时,f(x)=log2(x+1),给出下列命题: ①f(2013)+f(-2014)的值为0; ②函数f(x)在定义域上是周期为2的周期函数; ③直线y=x与函数f(x)的图象有1个交点; ④函数f(x)的值域为(-1,1). 其中正确的命题序号有________. 解析: 结合函数图象逐个判断.当x∈[1,2)时,x-1∈[0,1),f(x)=-f(x-1)=-log2x,且x≥0时,f(x)=f(x+2),又f(x)是R上的偶函数,作出函数f(x)的部分图象如图,由图可知,②错误,③④都正确;f(2013)=f (1)=-f(0)=0,f(2014)=f(0)=0,所以f(2013)+f(-2014)=0,①正确,故正确的命题序号是①③④. 答案: ①③④ 导数的运算及简单应用 [记概念公式] 1.求导公式 (1)(sinx)′=cosx; (2)(cosx)′=-sinx; (3)(lnx)′=;(logax)′=; (4)(ex)′=ex;(ax)′=axlna. 2.导数的四则运算法则 (1)[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x). (2)[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x). (3)′=(v(x)≠0). 3.导数与极值 函数f(x)在x0处的导数f′(x0)=0且f′(x)在x0附近“左正右负”⇔f(x)在x0处取极大值;函数f(x)在x0处的导数f′(x0)=0且f′(x)在x0附近“左负右正”⇔f(x)在x0处取极小值. [览规律技巧] “切点”的应用规律 (1)若题目中没有给出“切点”,就必须先设出切点. (2)切点的三种情况: 切点在切线上;切点在曲线上;切点处的导数值等于切线的斜率. [练经典考题] 一、选择题 1.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf′ (2)+lnx,则f′ (2)的值等于( ) A.2B.-2C.D.- 解析: 选D ∵f(x)=x2+3xf′ (2)+lnx,∴f′(x)=2x+3f′ (2)+,所以f′ (2)=2×2+3f′ (2)+,解得f′ (2)=-. 2.已知函数f(x)=2-2lnx,则曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线方程是( ) A.2x+y-2=0B.2x-y-2=0 C.x+y-2=0D.y=0 解析: 选B 函数f(x)=2-2lnx,f (1)=0,f′(x)=2-.曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线的斜率为f′ (1)=2.从而曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线方程为y-0=2(x-1),即2x-y-2=0. 3.若曲线f(x)=x3+x2+mx的所有切线中,只有一条与直线x+y-3=0垂直,则实数m的值等于( ) A.0B.2C.0或2D.3 解析: 选B f′(x)=x2+2x+m,直线x+y-3=0的斜率为-1,由题意知关于x的方程x2+2x+m=1,即(x+1)2=2-m有且仅有一解,所以m=2. 4.dx=( ) A.2ln3+4B.2ln3C.4D.ln3 解析: 选A dx=[2ln(x+1)+x2]=2ln3+4. 5.已知函数f(x)的导函数f′(x)=a(x+b)2+c的图象如图所示,则函数f(x)的图象可能是( ) 解析: 选D 由导函数图象可知,当x<0时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,排除A,B.当0 6.函数f(x)=(a>0)的单调递增区间是( ) A.(-∞,-1)B.(-1,1) C.(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析: 选B 函数f(x)的定义域为R,f′(x)==.由于a>0,要使f′(x)>0,只需(1-x)(1+x)>0,解得x∈(-1,1). 7.函数f(x)的图象如图所示,f′(x)是f(x)的导函数,则下列数值排列正确的是( ) A.0 (1) (2) (2)-f (1) B.0 (2) (2)-f (1) (1) C.0 (2) (1) (2)-f (1) D.0 (2)-f (1) (1) (2) 解析: 选B 由已知函数的图象可知函数f(x)是增函数,但增加的速度越来越慢,结合导数的几何意义可知f′ (1)>>f′ (2)>0. 8.已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)ex,若f(x)在[-1,1]上是单调减函数,则a的取值范围是( ) A.B. C.D. 解析: 选C f′(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex=[x2+(2-2a)x-2a]ex,由题意当x∈[-1,1]时,f′(x)≤0恒
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