一元二次根的判别.docx
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一元二次根的判别
一、知识要点:
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。
Δ>0时,方程有两个不相等的实数根。
Δ=0时,方程有两个相等的实数根。
Δ<0时,方程没有实数根。
以上定理也可以逆向应用。
在应用判别式之前,要把方程化为一般形式,以便正确找出a、b、c的值。
注意:
(1)根的判别式是指Δ=b2-4ac,不是Δ=
,
(2)使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式。
2.根的判别式有以下应用:
①不解一元二次方程,判断根的情况。
②根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
注意:
①如果说方程有实数根,即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况,此时b2-4ac≥0,切勿丢掉等号。
②根的判别式b2-4ac的使用条件,是在一元二次方程中,而非别的方程中,因此,要注意隐含条件a≠0.
二、例题精讲:
例1.不解方程,判断下列方程的根的情况:
(1)2x2+3x-4=0
(2)3x2+2=2
x
(3)
x2+1=
x (4)ax2+bx=0(a≠0)
(5)ax2+c=0(a≠0)
分析;一元二次方程的根的情况是由Δ=b2-4ac的符号决定的,所以,在判断一元二次方程根的情况时,应想尽办法判断出“Δ”的符号,然后根据判别式定理判定根的情况。
尤其是当方程系数中含有字母时,一般利用配方法将“Δ”化成完全平方式或完全平方式加上(或减去)一个常数,再根据完全平方式的非负性判断“Δ”的符号,从而决定方程的根的情况,有时还需要对字母进行讨论。
解:
(1)2x2+3x-4=0
a=2,b=3,c=-4,
∵Δ=b2-4ac
=32-4×2×(-4)=41>0
∴方程有两个不相等的实数根。
(2)将方程化为一般形式
3x2-2
x+2=0
a=3,b=-2
c=2
∴Δ=b2-4ac=(-2
)2-4×3×2=0,
∴方程有两个相等的实数根。
(3)将方程化为一般形式
x2-
x+1=0
方程两边同乘以2(为了计算简便),得
x2-
x+2=0
a=
b=-
c=2
∵Δ=(-
)2-4×
×2
=2-8
<0
∴方程没有实数根。
(4)ax2+bx=0(a≠0)
∵a≠0,∴方程是一元二次方程,
此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程,将常数项视为零,
∵Δ=b2-4·a·0=b2,
∵无论b取任何实数,b2均为非负数,
∴Δ≥0,
故方程有两个实数根。
(5)ax2+c=0(a≠0)
∵a≠0,
∴此方程是缺少一次项的不完全的一元二次方程,一次项系数b=0
∵Δ=02-4ac
=-4ac
需要讨论a,c的符号,才能确定Δ的符号;
当c=0时,Δ=0,方程有两相等实根;
当a与c异号时,Δ>0,方程有两不等实根;
当a与c同号时,Δ<0,方程没有实数根。
注意:
运用根的判别式判定一元二次方程根的情况时,必须先把方程化为一般形式,正确地确定各项系数。
例2.求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。
分析:
先求出关于x的方程的根的判别式,然后只需说明判别式是一个负数,就证明了该方程没有实数根。
证明:
Δ=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4)
=4m2-4(m4+5m2+4)
=-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4)
=-4(m2+2)2
∵不论m取任何实数(m2+2)2>0,
∴-4(m2+2)2<0,即Δ<0.
∴关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。
小结:
由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤:
(1)计算Δ
(2)用配方法将Δ恒等变形
(3)判断Δ的符号
(4)结论
其中难点是Δ的恒等变形,一般情况下配方后变形后为形如:
a2,a2+2,(a2+2)2,-a2,-(a2+2)2的代数式,从而判定正负,非负等情况。
方程配方与代数式配方既有联系又有区别:
方程配方是对方程进行同解变形,代数式配方是恒等变形,因此方程变形中两边除以二次项系数,而在代数式变形中为提取二次项系数。
方程变形中等号两边同时加上一次项系数一半的平方,而在代数式变形中加上一次项系数一半的平方的同时,还需减去一次项系数一半的平方,以保证代数式恒等。
例3.已知关于x的方程kx2-4kx+k-5=0有两个相等的实数根,求k的值并解这个方程。
分析:
∵方程有两个实数根,∴有隐含条件二次项系数k≠0,
又∵方程有两个相等的实数根,由判别式定理的逆定理可知Δ=0
解:
Δ=(-4k)2-4·k(k-5)
=12k2+20k
∵方程有两个相等的实数根,
∴Δ=0,即12k2+20k=0
解得k1=0,k2=-
又∵k=0时,方程不是一元二次方程,不能有两个实根,
∴k=0不符合题意,应舍去。
∴k=-
,
把k=-
代入原方程,原方程即为x2-4x+4=0。
解得这个方程的两个根是x1=x2=2.
注意:
对于二次项系数含有待定字母的一元二次方程,当使用根的判别式时,必须考虑隐含条件a≠0。
例4.已知:
a、b、c为ΔABC的三边,当m>0时,关于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2
ax=0有两个相等的实数根,求证:
ΔABC为RtΔ。
证明:
整理原方程:
方程c(x2+m)+b(x2-m)-2
ax=0.
整理方程得:
cx2+cm+bx2-bm-2
ax=0
(c+b)x2-2
ax+cm-bm=0
根据题意:
∵方程有两个相等的实数根,
∴Δ=(-2
a)2-4(c+b)(cm-bm)=0
4ma2-4(c2m-bcm+bcm-b2m)=0
ma2-c2m+b2m=0
∴Δ=m(a2+b2-c2)=0
又∵m>0,
∴a2+b2-c2=0
∴a2+b2=c2
又∵a,b,c为ΔABC的三边,
∴ΔABC为RtΔ。
例5.若a,b,c为实数,关于x的方程2x2+2(a-c)x+(a-b)2+(b-c)2=0有两个相等的实数根,求证a+c=2b.
分析:
根据判别式定理的逆定理,由方程有两个相等实根,可知Δ=0,经整理化为关于方程中系数的等式,从而导出结论。
证明:
∵一元二次方程有两个相等实数根,
∴Δ=0,即[2(a-c)]2-4×2·[(a-b)2+(b-c)2]=0
(a-c)2-2(a2-2ab+b2+b2-2bc+c2)=0
a2+4b2+c2+2ac-4ab-4bc=0
(a+c)2-4b(a+c)+4b2=0
(a+c-2b)2=0
∴a+c-2b=0 即a+c=2b.
注意:
利用一元二次方程的根的判别式进行有关的证明,就是根据判别式大于0,小于0或等于0的情况,结合已有的其它知识来证明结论的,有时要应用乘法公式进行恒等变形。
例6.若关于x的方程m2x2+(2m+1)x+1=0有两个实数根,求m的取值范围。
分析:
已知方程有两个实数根,说明它是一元二次方程,即二次项系数m2≠0,又由判别式定理的逆定理可知Δ≥0,m的取值范围是受这两个条件限制的,解之即可。
解:
∵方程有两个实数根,
∴
即
解得m≥-
且m≠0,
∴当m≥-
且m≠0时,方程有两个实数根。
注意:
不要漏掉题中的隐含条件“二次项系数m≠0”。
例7.若关于x的方程(m2-1)x2-2(m+2)x+1=0有实数根,求m的取值范围。
分析:
此题易误认为所给方程是一元二次方程,而用Δ≥0,且m2-1≠0来解,事实上,题目中没有给出方程的次数,也没有指明方程的根的个数,因此应考虑方程为二次方程和一次方程两种情况。
解:
本题有两种情况:
(1)若方程是一元二次方程,并且有实根,则必有:
即m≥-
且m≠±1.
(2)若方程为一次方程,则
解得m=±1,
当m=1时,原方程为-6x+1=0,有实根x=
当m=-1时,原方程为-2x+1=0,也有实根x=
.
综合
(1),
(2),得m≥-
时,原方程有实数根。
注意:
对比以上两个例题,都是由方程的根的情况求m的取值范围,但解题思路却不太相同。
例6说“方程有两个实数根”,隐含着方程是一元二次方程的条件,例7说“方程有实数根”,却没有这样的隐含条件,所以例7要分二次方程和一次方程的两种情况讨论。
本题所用的是分类讨论思想。
利用分类讨论思想解答问题,要注意:
分类要按同一标准进行,同时分类要做到不重不漏,最后要综合几种情况得出结论。
例8.已知,关于x的方程x2-
x+k=0有两个不相等的实数根。
(1)求k的取值范围。
(2)化简:
|-k-2|+
解:
Δ=(-
)2-4·k=2k+4-4k=-2k+4
∵方程有两个不相等的实数根,即Δ>0,
∴-2k+4>0, ∴k<2,
又∵2k+4≥0, ∴k≥-2.
∴k的取值范围是-2≤k<2.
(2)|-k-2|+
(-2≤k≤2)
=|k+2|+
=|k+2|+|k-2|
=k+2+2-k=4.
小结:
一元二次方程根的判别式是判定二次方程解的情况依据,使用时常需要配方,是这一部分的重要知识,要掌握。
一元二次方程的根的判别式
中考考点:
1.理解一元二次方程的根的判别式的概念.
2.能用判别式判定根的情况。
考点讲解:
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式:
△=b2-4ac,
当△>0时
方程有两个不相等的实数根;
当△=0时
方程有两个相等的实数根;
当△<0时
方程没有实数根。
2.根的判别式应用极为广泛,主要有以下几方面:
(1)不解方程,判断根的情况,步骤是:
①化方程为一般形式,确定a,b,c的值;②计算b2-4ac,并确定它的符号;③用定理判断根的情况。
(2)给出根的情况,求方程中字母系数的取值范围。
解题步骤是:
①化方程为一般形式,确定a,b,c的值;②求判别式,它是含有未知数的代数式;③根据题目所要满足的条件列出方程或不等式;④解方程或不等式,确定字母取值范围。
当方程有两个实数根时,应结合二次项系数不等于零加以考虑,这一点往往容易忽视,应特别小心。
(3)利用根的判别式证明方程根的情况。
此类题比较综合,运用配方法和因式分解技巧,结合非负数的有关性质进行推导才能奏效。
考题评析
1.(甘肃省)在一元二次方程
中,若系数b和c可在1,2,3,4,5,6中取值,则其中有实数解的方程的个数是_____________。
考点:
一元二次方程根的判别
评析:
因为b、c可在1、2、3、4、5、6中取值保证方程有根。
所以Δ=b2-4ac≥0,而a=1,所以实质为b2-4c≥0,b从大到小取值,c也从大到小取值,可知b=6时,有6个方程,b=5时,有6个方程,可知b=4时,有4个方程,可知b=3时,有2个方程,可知b=2时,有1个方程,以此类推,可知共19个方程有实根。
答案:
19
2.(辽宁省)关于x的一元二次方程
有两个相等的实数根,则m=_________。
考点:
一元二次方程根的判别式
评析思路:
因为方程有两个相等实根,所以Δ=b2-4ac=0,将方程中的a、b、c代入构成关于m的方程,解这个方程可得m值。
答案:
9
3.(河北省)若关于x的一元二次方程
有两个实数根,则k的取值范围是_________。
考点:
一元二次方程根的判别式
评析思路:
因方程有两个实根,所以△≥0可求k的范围,同时注意一元二次方程的条件a≠0,所以在k的范围内不包括k=0。
答案:
k≥
且k≠0
4.(贵阳市)已知关于x的一元二次方程mx2-2(3m-1)x+9m-1=0有两个实数根,则实数m的取值范围是 .
考点:
一元二次方程根的判别式
评析:
利用判断式得到不等式,并解不等式即可,解法同上面第3题。
答案:
m
且m≠0
5.(长沙市)关于x的一元二次方程x2-4x+a=0有两个相等的实数根,则a= .
考点:
一元二次方程根的判别式。
评析:
利用判别式等于0,得到关于a的方程,解这个方程得。
答案:
4
6.(北京市海淀区)方程
的根的情况是( )
(A)有一个实数根 (B)有两个相等的实数根 (C)没有实数根 (D)有两个不相等的实数根
考点:
一元二次方程根的判断式。
评析:
首先掌握根的判断式△=b2-4ac的正负情况。
只要将方程中的a,b,c代入△求值,根据值的符号就能选出正确答案,有时此类问题也可直接解方程。
答案:
C
7.(安徽省)关于x的一元二次方程3x2-2x+k-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是:
( )
A、k<
B、k<
且k≠1 C、k≤
D、k>
考点:
一元二次方程根的判别
评析:
因为原方程有两个不等实根,所以△=4-4×3×(k-1)>0解得k<
故应选A。
8.(河北省)在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,若a与c异号,则方程[ ]
(A)有两个不相等的实数根 (B)有两个相等的实数根
(C)没有实数根 (D)根的情况无法确定
考点:
一元二次方程根的判别
评析:
因为方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,a与c异号,所以b2-4ac>0,故方程有两个不相等的实根,故选A。
真题实战
1.(青岛市)已知x2-2mx+1是完全平方式,则m的值为( )
A、1 B、-1 C、±1 D、0
答案:
C
2.(天门市)关于x的方程
有实数根,则k的非负整数值是( )
A.0,1,2 B.1,2 C.1,2,3 D.0,1,2,3
答案:
D
3.(常州市)一元二次方程x2+x+1=0的根的情况为( )
A、有两个相等的实数根。
B、没有实数根。
C、有两个不相等的实数根 D、有两个不相等的实数根,且两根积为1
答案:
B
4.已知:
关于x的一元二次方程x2+2x-k+1=0有两个实数根,试求实数k的取值范围。
[解]:
∵方程有两个实数根,
∴Δ≥0
又∵Δ=22-4×(-k+1)
=4+4k-4=4k
∴4k≥0,即k≥0。
∴实数k的取值范围是k≥0。
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