平行关系学生教案.docx
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平行关系学生教案.docx
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平行关系学生教案
1对1个性化辅导教案
教师姓名
傅老师
上课日期
学生姓名
年级
高一
学科
数学
课题
§5
平行关系
5.1 平行关系的判
课标解读
1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义,会判断线面、面面平行(重点).
2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理,并知道其地位和作用(难点).
直线和平面平行的判定定理
【问题导思】
教室的门通过门轴可以自由的开关,在开关的过程中,门上竖直的一边与门轴所在边什么关系?
与门轴所在墙面又是什么关系?
【提示】 门上竖直的一边与门轴所在边平行,与墙面也平行.
文字语言
图形语言
符号语言
若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与平面平行
a∥α
平面与平面平行的判定定理
【问题导思】
三角板的一边所在直线与桌面平行,这个三角板所在平面与桌面平行吗?
三角板的两条边所在直线分别与桌面平行,情况又如何呢?
【提示】 三角板的一条边所在直线与桌面平行时,三角板所在平面与桌面可能平行,也可能相交.三角板的两条边所在直线分别与桌面平行时,三角板所在平面与桌面平行.
文字语言
图形语言
符号语言
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则两平面平行
⇒α∥β
线面平行的判定
如图1-5-1,四边形ABCD,ADEF都是正方形,M∈BD,N∈AE,且BM=AN.
求证:
MN∥平面CED.
1.本题也可通过过M、N分别作AD的平行线构造平行四边形来寻找平行线证明.
2.线面平行的判定方法
(1)利用定义证线面无公共点.
(2)利用线面平行的判定定理,将线线平行转化为线面平行.
本例条件不变,求证:
BF∥平面CDE.
面面平行的判定
已知四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为平行四边形.点M、N、Q分别在PA、BD、PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.
求证:
平面MNQ∥平面PBC.
1.利用比例线段推出平行关系是解答本题的关键.
2.面面平行的判定方法
(1)利用定义,证面面无公共点.
(2)利用面面平行的判定定理转化为证明线面平行,即证明一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面.
如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点.
求证:
平面MNP∥平面A1BD.
平行关系的综合应用
如图1-5-4,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,
问:
当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?
1.本题中由条件P是DD1中点猜想到Q应是CC1的中点是解题的关键.
2.对于条件缺失的探索性问题,解答过程中要明确目的,结合题目本身的特点与相应的定理大胆地猜想,然后加以证明.特别要注意中点、顶点等特殊点.
如图1-5-5,正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为2,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点,点M是线段AC上的点,EC=2FB=2.则当点M在什么位置时,MB∥平面AEF?
试给出证明.
忽视判定定理中的条件致误
如图1-5-6,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M∈AD1,N∈BD,且D1M=DN,求证:
MN∥平面CC1D1D.
课堂小结
1.直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行,即要证直线与平面平行,先证直线与直线平行.即由立体向平面转化,由高维向低维转化.
2.证明面面平行时,要按“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的证明顺序进行.当题目中有多个平面平行时,要注意平行平面的传递性.两平面平行的判定定理的条件中直线相交很重要,而且在解题中常常被忽视.
1.能保证直线a与平面α平行的条件是( )
A.a
α,bα,a∥bB.bα,a∥b
C.bα,cα,a∥c,且a∥bD.bα,A∈a,B∈a,C∈b,D∈b,且AC=BD
2.直线l,m,平面α、β,lα,mα,l∥β,m∥β,则α与β的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.异面D.不确定
3.已知两条相交直线a,b,且a∥平面α,则b与α的位置关系是________.
4.四棱锥P—ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,CD⊥AD,F,E分别是PA,AD的中点,求证:
平面PCD∥平面FEB.
一、选择题
1.下列说法正确的是( )
A.平行于同一个平面的两条直线平行
B.同时与两异面直线平行的平面有无数多个
C.如果一条直线上有两点在一个平面外,则这条直线与这个平面平行
D.直线l不在平面α内,则l∥α
2.(2013·泰安高一检测)若M,N分别是△ABC边AB,AC的中点,MN与过直线BC的平面β的位置关系是( )
A.MN∥βB.MN与β相交或MNβ
C.MN∥β或MNβD.MN∥β或MN与β相交或MNβ
3.(2013·开封高一检测)如果AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段,则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是( )
A.平行 B.相交C.AC在此平面内D.平行或相交
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列四对截面中彼此平行的一对截面是( )
A.平面A1BC1和平面ACD1B.平面BDC1和平面B1D1C
C.平面B1D1D和平面BDA1D.平面ADC1和平面AD1C
5.如图1-5-8,在空间四边形ABCD中,E、F分别为边AB、AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又H、G分别为BC、CD的中点,则( )
A.BD∥平面EFGH,且四边形EFGH是矩形
B.EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形
C.HG∥平面ABD,且四边形EFGH是菱形
D.EH∥平面ADC,且四边形EFGH是梯形
二、填空题
图1-5-8图1-5-9
6.如图1-5-9所示,在空间四边形ABCD中,M∈AB,N∈AD,若
=
,则MN与平面BDC的位置关系是________.
7.已知a、b、c为三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合平面,下面三个命题:
①a∥c,b∥c⇒a∥b;②γ∥α,β∥α⇒γ∥β;③a∥γ,α∥γ⇒a∥α.
其中正确命题的序号是________.
8.(2013·佛山高一检测)在空间四边形PABC中,A1、B1、C1分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心,则平面ABC与平面A1B1C1的位置关系是________.
三、解答题
9.(2013·武汉高一检测)在三棱柱ABC—A′B′C′中,点E,D分别是B′C′与BC的中点.求证:
平面A′EB∥平面ADC′.
10.如图1-5-10,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面是梯形,AB∥CD,CD=2AB,P、Q分别是CC1、C1D1的中点,求证:
面AD1C∥面BPQ.
11.如图1-5-11,E,F,G,H分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC,CC1,C1D1,AA1的中点,求证:
(1)GE∥平面BB1D1D;
(2)平面BDF∥平面B1D1H.
如图,在四棱锥S—ABCD中,底面ABCD为正方形,E,F分别为AB,SC的中点,求证:
EF∥平面SAD.
利用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线,然后确定线线平行,证题时应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.
如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=BC,点D是AB的中点,求证:
AC1∥平面CDB1.
5.2 平行关系的性质
课标解读
1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理的含义.会用性质定理证明有关空间线面关系的问题(重点).
2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理(难点).
直线与平面平行的性质定理
【问题导思】
教室日光灯管所在直线与地面平行,那么这条直线与地面内所有直线都平行吗?
如何在地面做一条直线与灯管所在直线平行呢?
【提示】 不一定.可能平行也可能异面.过灯管所在直线作一平面与地面相交,交线与灯管所在直线平行.
文字语言
符号语言
图形语言
如果一条直线与一个平面平行,那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行
⇒a∥b
平面与平面平行的性质定理
【问题导思】
观察如图的长方体,我们可以知道:
直线a∥平面α,平面ADD1A1∥平面BCC1B1.
思考直线a与直线b的关系?
【提示】 平行.
文字语言
符号语言
图形语言
如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行
⇒a∥b
线面平行性质的应用
如图1-5-12所示,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证:
AP∥GH.
图1-5-12
1.直线与平面平行的性质定理作为线线平行的依据,可以用来证明线线平行.
2.运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行,证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.简记为“过直线,作平面,得交线,得平行”.
如图1-5-13所示,已知异面直线AB,CD都平行于平面α,且AB,CD在α的两侧,若AC,BD与α分别交于M,N两点,求证:
=
.
图1-5-13
面面平行性质的应用
已知:
平面α∥平面β∥平面γ,两条异面直线l、m分别与平面α、β、γ相交于点A、B、C和点D、E、F.
求证:
=
.
1.本题关键是利用面面平行的性质得出线线平行.
2.应用两个平面平行的性质一是可以证明直线与直线平行,二是可以解决线面平行的问题.注意使用性质定理证明线线平行时,一定是第三个平面与两个平行平面相交,其交线互相平行.
图1-5-14
如图1-5-14所示,设AB,CD为夹在两个平行平面α,β之间的线段,且直线AB,CD为异面直线,M,P分别为AB,CD的中点.求证:
直线MP∥平面β.
平行关系的综合应用
如图1-5-15,直线CD、AB分别平行于平面EFGH,E、F、G、H分别在AC、AD、BD、BC上,且CD=a,AB=b,CD⊥AB.
(1)求证:
四边形EFGH是矩形;
(2)点E在AC上的什么位置时,四边形EFGH的面积最大?
1.本题综合考查了线面平行的判定和性质,体现了线线平行、线面平行之间的相互转化.
2.空间平行关系的转化图:
本例中若截面四边形EFGH是平行四边形,求证:
AB∥平面EFGH,CD∥平面EFGH.
平行关系中的转化思想
图1-5-16
(12分)如图1-5-16所示,已知P是▱ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,平面PAD∩平面PBC=l.
(1)求证:
l∥BC;
(2)MN与平面PAD是否平行?
试证明你的结论.
【思维启迪】 线线平行、线面平行、面面平行之间可通过平行的判定和性质相互转化,从而达到证明的目的.
课堂小结
1.线线平行、线面平行、面面平行的转化关系
2.应用判定定理、性质定理证明时,一定要注意定理中的线、面满足的条件.
1.直线a∥平面α,α内有n条直线交于一点,那么这n条直线中与直线a平行的( )
A.至少有一条B.至多有一条C.有且只有一条D.没有
2.如图1-5-17,平面α∥平面β,过平面α、β外一点P引直线l1分别交平面α、平面β于A、B两点,PA=6,AB=2,引直线l2分别交平面α、平面β于C、D两点,已知BD=12,则AC的长等于( )
A.10 B.9C.8D.7
3.如图1-5-18所示,在空间四边形ABCD中,M∈AB,N是AD的中点,若MN∥平面BDC,则AM∶MB=________.
图1-5-17图1-5-18
4.如图1-5-19所示,α∩β=CD,α∩γ=EF,β∩γ=AB,AB∥α.求证:
CD∥EF.
一、选择题
1.若α∥β,aα,下列三个说法中正确的是( )
①a与β内所有直线平行;②a与β内的无数条直线平行;③a与β无公共点.
A.①② B.②③C.①D.①③
2.下列说法正确的个数为( )
①两平面平行,夹在两平面间的平行线段相等;②两平面平行,夹在两平面间的相等的线段平行;③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行,那么它和另一个平面也平行;④两平行直线被两平行平面截得的线段相等.
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图1-5-20所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱A1D1上的动点,则直线MD与平面BCC1B1的位置关系是( )
A.平行B.相交C.在平面内D.相交或平行
4.已知平面α∥β,P是α、β外一点,过点P的直线m与α、β分别交于点A、C,过点P的直线n与α、β分别交于点B、D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为( )
A.16B.24或
C.14D.20
5.若不在同一直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等,且A∉α,则( )
A.α∥平面ABCB.△ABC中至少有一边平行于α
C.△ABC中至多有两边平行于αD.△ABC中只可能有一边与α相交
图1-5-20图1-5-21
二、填空题
6.如图1-5-21,过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD的交线为l,则l与A1C1的位置关系是________.
7.(2013·宁德高一检测)空间四边形ABCD中,对角线AC=BD=4,E是AB中点,过E与AC、BD都平行的截面EFGH分别与BC、CD、DA交于F、G、H,则四边形EFGH的周长为________.
图1-5-22图1-5-23
8.如图1-5-23,平面α∥平面β,△ABC与△A′B′C′分别在α、β内,线段AA′、BB′、CC′都交于点O,点O在α、β之间,若S△ABC=
,OA∶OA′=3∶2,则△A′B′C′的面积为________.
三、解答题
9.如图1-5-24,棱柱ABC—A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD,求A1D∶DC1的值.
10.(2013·吉林高一检测)如图1-5-25,直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是梯形,AB∥CD,AD⊥DC,CD=2,DD1=AB=1,P,Q分别是CC1,C1D1的中点.
求证:
AC∥平面BPQ.
11.如图1-5-26,四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E是SA上一点,试探求点E的位置,使SC∥平面EBD,并证明.
如图,线段PQ分别交两个平行平面α、β于A、B两点,线段PD分别交α、β于C、D两点,线段QF分别交α、β于F、E两点,若PA=9,AB=12,BQ=12,△ACF的面积为72,求△BDE的面积.
直线和直线的平行问题常常转化为直线和平面或平面和平面的平行问题,而直线和平面的平行问题也可以转化为直线和直线或平面与平面的平行问题,故解决空间的平行问题必须熟记有关的判定定理和性质定理进行灵活的转化.
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是矩形,M,N分别是AB,PC的中点,求证:
MN∥平面PAD.
旭光教育师生1对1
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