几何中的最短距离doc.docx
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几何中的最短距离
初中儿何中往往要探究最短距离,如:
线段最短,三角形的周长最短等,与动点联系起来,学生感到很头疼,有必要对这类问题进行归纳总结。
%1.【基本知识】
定理:
连接A、B的所有线中,线段最短。
推论1:
三角形中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。
即:
a+b>c\a-b\ c为ci+b的最小值,c为|。 一。 |最大值。 推论2: 点到直线的距离是垂线段的长度,则垂线段最短。 %1.【基本图形结构】 1.泵站问题(张庄李庄一条河): 河边有两村庄A、B,共同出资要在河边建立一个供水站,向两村庄供水,以解决两村民的用水问题。 如图,PA、PB为管道,为了节约资金,使管道的总长最短,即PA+PB最短,问泵站P应建在河边的什么位置? . 这是基本的结构模型,在不同的地方有不同的叙述,如下: 饮马问题 早在古罗马时代,传说亚历山大城有.一位精通数学和物理的学者,名叫海伦.一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题: 将军每天从军营B出发,先到河边饮马,然后再去河岸同侧的A地开会,应该怎样走才能使路程最短? 问题是一样的,解决的方法如下: 作A关于河m的对称点A',连接AB与河n】的交点0,则0为所求的点。 如何证明? 连接A'P. A' 抓住基本图形的几个关键点,两个不动点,一条不动直线,不动点的对称点。 2.某地有两条河0M和ON,两诃的夹角内有一工厂P,计划在0M河边A处和ON河边B处各修建一个码头,再修建公路PA、PB、AB,连接三处方便运送物资,为了使公路总长最小,即PA+PB+AB之和最小,则AB应选在什么地方? 3.如图所示,匕MON内有两点P、Q,分别在OM、ON上作点A、B,使四边形PABQ的周长最小,则A、B应在OM、ON什么位置,并证明。 4. 如图,ZM0N外有一点A,在射线0M上找一点P,使P到射线ON的距离与PA的和最小。 如果点A在的内呢? %1.【典型题例】 (一)实践运用: 1.如图,甲、乙两个单位分别位于--条封闭式街道的两旁,现准备合作修建一座过街天桥.问: (1)桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短? (注: 桥必须与街道垂直). (2)桥建在何处才能使甲、乙到桥的距离相等? 2.如图,两个村庄A和B在河m的一侧,村庄A和B实现畅通工程,必经过一座桥CD,CD为定长&,请你为两村设计桥址,使由A村到B村的距离最小,即AC+CD+DB的和为最小。 3. 如图是一个台球桌,上面有一个白球A,红球B,和黑球C,三球在一条直线上,现在要用球杆击中白球,并让白球撞击桌边反弹后击中红球,且不能碰到黑球,请你设计一下白球的运动路线. C. (二)三角形 1.如图,在等边Z\ABC中,AB=6,AD1BC,E是AC上的一点,M是AD上的一点,且AE二2,求ME+MC的最小值。 2.如图,在锐角zXABC中,AB=4扼,NBAC二45“,ZBAC的平分线交BC于点I),M、N分别是AD和 AB的动点,则求BM+MN的最小值。 3.如图,AABC中,AB=2,ZBAC=30°,若在AC、AB上各取一点M、N,BM+MN的值最小,求最小值。 4.如图,AABC中,BC=4,AC=2j§,ZACB=60°,P为BC上一点,过点P作PD//AB,交AC于D。 连结AP,问点P在BC上何处口寸,ZAPD面积最大? (三)正方形矩形菱形 1.如图,已知正方形ABCD的边长是8,点E在BC边上,且CE=2,点P是对角线BD上的一个动点,求PE+PC的最小值. 2.如图所示,正方形ABCD的面积为12,AABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为() A.2^3B.2>/6C.3D.V6 3.在边长为2cm的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB、PQ, 则△PBQ周长的最小值为cm(结果不取近似值)。 4.如图,四边形ABCD是正方形,AB=10cm,E为边BC的中点,P为BD上的一个动点,求PC+PE的最小值; 5.如图,四边形ABCD是矩形,AB二10cm,BC二20cm,E为BC上的一个动点,P为BD上的一个动点,求PE+PC的最小值。 6.已知直角梯形刀时中,AD//BCABLBC,A42,BODg,点夕在必上移动,则当0+仞取最 小值时,仞中边4P上的高为() a.2而b、—Vnc、ATn〃、3 171717 7.如图,四边形ABCD是菱形,AB=10cm,ZABC=45°,E为BC边上的一个动点,P为BD上的一个动点,求PC+PE的最小值。 (四)圆 1.如图,己知。 0的直径MN=1,点A在圆上,旦ZAMN的度数为30°,点B是弧AN的中点,点P 2.如图,MN是半径为1的。 。 的直径,点A在。 。 上,ZAMC=30°,B为AN弧的中点,P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值是多少? 3.如图,既、69是半径为5的的两条弦,AB=8,CD=6,御是直径,ABLMN于点8',CDVMN干点F,P为EF上的任意一点,则用+也的最小值为. (五)坐标系中 1.如图,在直角坐标系中,x轴上的动点M(x,0)到两点P(5,5),Q(2,1)的距离分别为MP和 MQ,那么当MP+MQ取最小值时,在x轴上作出M点,并求点M的坐标以及MP+MQ的最小值. •P(5.5) 旭,0).\g\0) 2.如图,当四边形PABN的周长最小时,a二 3.已知,A(-1,O),B(3,0),C(O,-3),点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时,求M 的坐标。 (%1)一次函数 一次函数y=kx^b的图象与x、*轴分别交于点A(2,0),3(0,4). (1)求该函数的解析式; (2)。 为坐标原点,设以、48的中点分别为CD,P为OB上一动点,求/■T+/少的最小值,并求取得最小值时尸点坐标. (%1)二次函数 1.如图,抛物线y=^x2+bx-2与工轴交于两点,与y轴交于C点,且A(-1,O). (1)求抛物线的解析式及顶点。 的坐标;) (2)判断的形状,证明你的结论; (3)点M(〃? O)是x轴上的一个动点,当MC+MD的值最小时,求〃7的值. B 2.如图,在直角坐标系中,以点为圆心,以2右为半径 的。 A与X轴相交于点8,C,与y轴相交于点£),E. (1)若抛物线y=^+bx+c经过C,。 两点,求抛物线的解析式,并判断点B是否在该抛物线上; (2)在 (1)中的抛物线的对称轴上求一点P,使得△P8D的周长最小; 3.如图,已知抛物线过点D(0,%),且在x轴上截得一线段AB长为6,若顶点C的横坐标为4. 9 (1)求二次函数的解析式; ⑵在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标; 3.(昌平二模)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2cm,点、A、C分别在y轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点4、8和。 (4,-). 3 (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线的对称轴上找到点M,使得M到。 、B的距离之和最小,求出点M的坐标; 5.(2012山西)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A.B两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点. (1)求直线AC的解析式及B・D两点的坐标; (2)点P是x轴上一个动点,过P作直线1〃AC交抛物线于点Q,试探兖: 随着P点的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以点A.P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形? 若存在,请直接写出符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由. (3)请在直线AC上找一点M,使△BDM的周长最小,求出M点的坐标. 一动点,则EF+BF的最小值是多少? 延伸四: 如图所示,在边长为6的菱形ABCD中zZDAB=600,E为AB的中点,F是AC上 延伸五: 在直角坐标系XOY中x轴上的动点M(x,0) 到定点P(5,5),Q(2,1)的距离分别为MP和MQ,那么当MP+MQ取最小值时,点M的横坐标x=? 2)实践运用(3)拓展迁移 如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a^O)的对称轴为x=1,旦抛物线经过A(・1,0)、C(0,-3)两点,与x轴交于另一点B. %1求这条抛物线所对应的函数关系式; %1在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M,使左ACM周长最小,请求出此时点M的坐标与△ACM周长最小值.(结果保留根号) (4)图 三、中考题 如图,己知RtAABC,R是斜边AB的中点,过0作D.E,±AC于E〔,连结交CQ于0; 过0作D2E21AC于旦,连结B鸟交C0于。 3;过已作D3E3±AC于五3,…, 如此继续,可以依次得到点。 4,D’,…,D”分别记△BDxEv/\BD2E29/\BD3E3,/\BDnEn 的面积为S],S”S3,-SnMSn=S△湖(用含〃的代数式表示) .如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边0A在y轴的正半轴上,0C在x的正半轴上,0A=2,0C=3,过原点0作ZAOC的平分线交AB与点D,连接DC.过点D作DE_LDC交OA与点E. %1求过点E,D,C的抛物线的解析式. %1将NDEC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线段0C交于点G..如果DF与第 (1)题中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为朋,那么EF=2G0是否成立? 请说明理由. %1对于第 (2)题中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C,G构成的APCG是等腰三角形? 若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 四、链接中考 1、(荆门中考)一次函数y=kx+b的图像与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4)。 (1)求该函数的解析式; (2)0为坐标原点,设0A、AB的中点分别为C、D,P为0上一动点,求PC+PD的最小值,并求取得最小值时P点坐标。 2、((2011-济宁)去冬今春,济宁市遭遇了200年不遇的大旱,某乡镇为了解决抗旱问题,要在某河道建一座水泵站,分别向河的同一侧张村A和李村B送水.经实地勘查后,工程人员设计图纸时,以河道上的大桥0为坐标原点,以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系(如图).两村的坐标分别为A(2,3),B(12,7). (1)若从节约经费考虑,水泵站建在距离大桥哦多远的地方可使所用输水管道最短? (2)水泵站建在距离大桥哦多远的地方,可使它到张村、李村的距离相等? 3\在平面直角坐标系中,有A,B两个点,其中A(-6,3),B(-2,5)。 (1)若一只青蛙从A点跳 到x轴上一点P处,再从P点跳到B点,则青蛙所跳的路程最短时点P的坐标是()。 (2)若这只青蛙先从A点出发跳到B点,再从B点跳到y轴上的C点,继续从C点跳到x轴上的D点,最后从D点回到A点(青蛙每次所跳的距离不一定相等),当青蛙四步跳完的路程最短时,直线CD的解析式是()
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