高等代数第四章线性变换.docx
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高等代数第四章线性变换
第四章线性变换
习题精解
1.判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是:
1)在线性空间V中,A
其中
V是一固定的向量;
2)在线性空间V中,A
其中
V是一固定的向量;
3)在P3中,A(x1,x2,x3)
(x12,x2
x3,x32);
4)在P3中,A(x1,x2,x3)
(2x1
x2,x2
x3,x1);
5)在P[x]中,Af(x)
f(x1)
6)在P[x]中,Af(x)
f(x0),其中x0
P是一固定的数;
7)把复数域上看作复数域上的线性空间,
A
8)在Pnn中,AX=BXC
其中B,C
Pn
n是两个固定的矩阵.
解1)当
0时,是;当
0时,不是.
2)当
0时,是;当
0时,不是.
k
(
)
(2,0,0)
(k)(4,0,0)
3)
不是例如当
(1,0,0)
k
2时
A
A
.
A(k)
kA(
).
4)是.因取
(x1,x2,x3),
(y1,y2,y3),有
A(
)=A(x1
y1,x2
y2,x3
y3)
=(2x1
2y1
x2
y2,x2
y2
x3y3,x1
y1)
=(2x1
x2,x2
x3,x1)
(2y1
y2,y2y3,y1)
=A+A
A(k)
A(kx1,kx2,kx3)
(2kx1
kx2,kx2
kx3,kx1)
(2kx1kx2,kx2kx3,kx1)
=kA()
故A是P3上的线性变换.
5)是.因任取f(x)
P[x],g(x)
P[x],并令
u(x)f(x)g(x)则
A(f(x)
g(x))=Au(x)=u(x
1)=f(x1)
g(x
1)=Af(x)+A(g(x))
再令v(x)
kf(x)则A(kf(x))
A(v(x))
v(x1)
kf(x1)kA(f(x))
故A为P[x]上的线性变换.
6)
是.因任取f(x)
P[x],g(x)
P[x]则.
A
(f(x)
g(x))=f(x0)g(x0
)A(f(x))
A(g(x))
A
(kf(x))
kf(x0
)kA(f(x))
7)不是
.例如取
a=
则
A(ka)=-i,k(Aa)=i,A(ka)kA(a)
8)是.因任取二矩阵X,YPnn,则
A(XY)B(XY)CBXCBYCAX+AY
A(kX)=B(kX)k(BXC)kAX
故A是Pnn上的线性变换.
2.在几何空间中以B表示绕oy变换.证明:
取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,,轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的
4
4
4
2
2
2
2
A=B
=C
=E,AB
BA,A
B=B
A
并检验(AB)2=A2B2是否成立.
解
任取一向量a=(x,y,z),则有
1)
因为
Aa=(x,-z,y),
A
2
a=(x,-y,-z)
3
A
4
Aa=(x,z,-y),
a=(x,y,z)
Ba=(z,y,-x),
2
Ba=(-x,y,-z)
B3a=(-z,y,x),
B4a=(x,y,z)
Ca=(-y,x,z),
C2a=(-x,-y,z)
3
C
4
Ca=(y,-x,z),
a=(x,y,z)
所以
444
A=B=C=E
2)因为
AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y)
BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x)
所以
AB
BA
3)因为
A2B
2
(a)=A2
(-x,y,-z)=(-x,-y,z)
2
2
2
BA(a)=B(x,-y,-z)=(-x,-y,z)
所以
2
2
=B
2
A
2
AB
3)因为
(AB)2(a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x)
22
AB(a)=(-x,-y,z)
所以
222
(AB)AB
'
3.在P[x]中,Af(x)f(x),Bf(x)xf(x)
证任取f(x)P[x],则有
(AB-BA)f(x)=ABf(x)-BAf(x)=A(xf(x))-B(f'(x))=f(x)xf;(x)-xf'(x)=f(x)所以AB-BA=E
4.设A,B是线性变换,如果AB-BA=E,证明:
kkk1
AB-BA=kA(k>1)
证采用数学归纳法.
当k=2时
2
2
2
2
2A
AB-BA=(AB-ABA)+(ABA-BA
)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=
结论成立.
归纳假设k
m时结论成立即
A
m
m
m1
m1时,有
B-BA=mA.则当k
m1
m1
m1
m
m
m1
m
m
m
m
A
B-BA
=(A
B-A
BA)+(ABA-BA
)=A
(AB-BA)+(A
B-BA)A=A
E+mA
m1
A=(m
m
1)A
即km1时结论成立.故对一切k1结论成立.5.证明:
可逆变换是双射.
证设A是可逆变换,它的逆变换为A1
.
若ab,则必有AaAb,不然设Aa=Ab,两边左乘A
1
有a=b,这与条件矛盾.
其次,对任一向量b,必有a使Aa=b,事实上,令A
1
b=a即可.
因此,A是一个双射.
6.设1,2,
n是线性空间V的一组基,A是V上的线性变换。
证明:
A是可逆变换当且
仅当A1,A
2,
A
n线性无关.
证因
A(1,2,
n)=(A
1,A
2,
A
n)=(1,2,,n)A
故A可逆的充要条件是矩阵
A可逆,而矩阵A可逆的充要条件是A1,A2,
An线性无关.
故A可逆的充要条件是
A
1,A
2,
An线性无关.
7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:
1)
第1
题4)中变换A在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵;
2)
[o;
1,2]是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂
直投影,B是平面上的向量对
2的垂直投影,求A,B,AB在基1,2下的矩阵;
3)
在空间P[x]n中,设变换A为f(x)
f(x
1)f(x)
试求A在基
i=x(x1)
(x
i1)1
(I=1,2,
n-1)
i!
下的矩阵A;
4)
六个函数
1=eaxcosbx,
2=eaxsinbx
3=xeaxcosbx,4=xeaxsinbx
1=
1x2eaxcosbx,1=
1
eax
x2sinbx
2
2
的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间
求微分变换D在基i(i=1,2,
6)下的
矩阵;
1
0
1
5)
已知P
3中线性变换A在基
1=(-1,1,1),
2=(1,0,-1),3=(0,1,1)下的矩阵是1
1
0
1
2
1
A在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵;
6)在P3中,A定义如下:
A
A
A
其中
1
2
3
(5,0,3)
(0,1,6)
(5,1,9)
1
(1,0,2)
2(0,1,1)
3(3,1,0)
求在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵;
7)同上,求A在1,2,3下的矩阵.
解1)A1=(2,0,1)=21+3
A
2=(-1,1,0)=-
1+
2
A
3=(0,1,0)=
2
2
1
0
故在基
1,
2,
3下的矩阵为0
1
1
1
0
0
1
1
2)取
1=(1,0),2=(0,1)则A1=2
1+2
2,
A
2=
1
1+
1
2
2
2
1
1
故A在基
1,
2下的矩阵为A=
2
2
1
1
2
2
1=0,B
2=2所以B在基
0
0
2=A
又因为B
1,
2下的矩阵为B=
,另外,(AB)
0
1
1
1
(B2)=A2=
1+
2
2
2
0
1
所以AB在基
2
1,
2下的矩阵为AB=
,
0
1
2
3)因为
0
1,1
x,2
x(x
1),
n1
x(x
1)
[x
(n2)]
2!
(n
1)!
,所以A
0
1
1
0
A
1
(x
1)
x
0
A
n1
(x1)x[x(n3)]
x(x1)[x(n2)]
(n
1)!
(n
1)!
=
x(x
1)
[x
(n
3)]
(x1)[x(n2)]}
(n
1)!
{
=n2
01
01
,所以A在基0,1,,n1下的矩阵为A=,
1
0
4)因为D1=a1-b2,
D2=b1-a2,6
D3=1+a3-b4,
D4=2+b3+a4,
D5=3+a5-b6,
D6=4+b5+a6
,所以D在给定基下的矩阵为D=
5)因为(1,2,3)=(1,2,3)
a
b
1
0
0
0
b
a
0
1
0
0
0
0
a
b
1
0
0
0
b
a
0
0,
1
0
0
0
0
a
b
0
0
0
0
b
a
110
101,所以
111
1
1
1
(1,
2,3)=(
1,
2,
3)
0
1
1
=(1,2,
3)X,
1
0
1
故A在基
1,
2,
3下的矩阵为
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
2
B=X
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1=
2
2
0.
AX=
1
1
1
1
2
1
1
0
1
3
0
2
1
0
3
6)因为(
1,
2,
3
)=(
1,
2,3)
0
1
1,
210
1
0
3
所以A(1,
2,3)=A(1,2,3)
0
1
1,
2
1
0
5
0
5
但已知A(
1,2,3)=(1,2,3)
0
1
1故
3
6
9
5
0
5
1
0
3
A(1,2,3)=(
1,2,3)0
1
1
0
1
1
1
3
6
9
2
1
0
1
3
3
5
0
5
7
7
7
=(
1,
2,3)
0
1
1
2
6
1
7
7
7
3
6
9
2
1
1
7
7
7
5
20
20
7
7
7
=(
1,
2,3)
4
5
2
7
7
7
27
18
24
7
7
7
1
0
3
7)因为(1,2
,3)=(1,
2,3)
0
1
1
1
2
1
0
所以A(1,2,3)=(1,2,3)
235
=(1,2,3)101。
110
1
0
3
5
0
5
0
1
1
1
0
1
1
2
1
0
3
6
9
8.在P22
中定义线性变换A1
a
b
a
b
(X)=
d
X,A2
(X)=X
A2(X)=
c
c
d
a
b
a
b
c
d
X
c
d
求A1,A2,A3在基E11,E12,E21,E22下的矩阵。
解因
A1E11=aE11+cE12,A1E12=aE12+cE22,
A1E21=bE11+dE21,A1E22=bE21+dE22,
故A1在基E11,E12,E21,E22下的矩阵为
A1=
又因
a0b0
0a0b
c0d0
0c0d
A2E11=aE11+bE12,A2E12=cE11+dE12,
A2E21=aE21+bE22,A2E22=cE21+dE22,
故A2在基E11,E12,E21,E22下的矩阵为
A2=
又因
ac00
bd00
00ac
00bd
2
A3E11=aE11+abE12+acE21+bcE22
A3E12=acE11+adE12+c2E21+cdE22
A3E21=abE11+b2E12+adE21+bdE22
A3E22=bcE11+bdE12+cdE21+d2E22
故A3在基E11,E12,E21,E22下的矩阵为
a2
ac
ab
bc
A3
ab
ad
b2
bd
ac
c2
ad
cd
bc
cd
bd
d2
9.设三维线性空间
V上的线性变换
A在基
1,2,3下的矩阵为
a11a12a13
A=a21a22a23
a31a32a33
1)求A在基3,2,1下的矩阵;
2)求A在基1,k2,3下的矩阵,其中且;
3)求A在基12,2,3下的矩阵.
解
1)因
A3=a333+a232
a131
A2=a323
a222
a121
A1=a313
a212
a111
故A在基3,
2,1下的矩阵为
a33
a32
a31
B3
a23
a22
a21
a13
a12
a11
2)因
A1
=a111+a21(k
2)
a313
k
A(k
2)=ka121
+a22(k
2)+ka323
A3=a131+a23
(k
2)+a333
k
故A在1,k2,3下的矩阵为
a11
ka12
a13
a21
a22
a23
B2
k
k
a31
ka32
a33
3)因
A(12)=(a11a12)(13)+(a21a22a11a12)2+(a31a32)3
A
2=a12(1
2)+(a22
a12)
2
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