部编版高考数学二轮复习专题突破练16532空间中的垂直与空间角理.docx

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部编版高考数学二轮复习专题突破练16532空间中的垂直与空间角理

专题突破练16　空间中的垂直与空间角

1.（2018湖南衡阳二模,理18）如图,EA⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,△ABC是等边三角形,AC=2AE,M是AB的中点.

（1）证明:

CM⊥DM;

（2）若直线DM与平面ABC所成角的余弦值为,求二面角B-CD-E的正弦值.

2.（2018北京卷,理16）如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,D,E,F,G分别为AA1,AC,A1C1,BB1的中点,AB=BC=,AC=AA1=2.

（1）求证:

AC⊥平面BEF;

（2）求二面角B-CD-C1的余弦值;

（3）证明:

直线FG与平面BCD相交.

3.（2018湖南衡阳八中一模,理19）在如图所示的五面体中,四边形ABCD为直角梯形,∠BAD=∠ADC=,平面ADE⊥平面ABCD,EF=2DC=4AB=4,△ADE是边长为2的正三角形.

（1）证明:

BE⊥平面ACF;

（2）求二面角A-BC-F的余弦值.

4.（2018宁夏银川一中一模,理19）如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=PA=2,E,F分别为PB,AD的中点.

（1）证明:

AC⊥EF;

（2）求直线EF与平面PCD所成角的正弦值.

5.（2018河北唐山三模,理19）如图,▱ABCD中,BC=2AB=4,∠ABC=60°,PA⊥AD,E,F分别为BC,PE的中点,AF⊥平面PED.

（1）求证:

PA⊥平面ABCD;

（2）求直线BF与平面AFD所成角的正弦值.

6.如图,△BCD是等边三角形,AB=AD,∠BAD=90°,将△BCD沿BD折叠到△BC'D的位置,使得AD⊥C'B.

（1）求证:

AD⊥AC';

（2）若M,N分别是BD,C'B的中点,求二面角N-AM-B的余弦值.

7.（2018山东潍坊一模,理18）如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1=4,AB=2,AC=2,∠BAC=45°,点M是棱AA1上不同于A,A1的动点.

（1）证明:

BC⊥B1M;

（2）若平面MB1C把此棱柱分成体积相等的两部分,求此时二面角M-B1C-A的余弦值.

参考答案

专题突破练16　空间中的

垂直与空间角

1.解

（1）因为△ABC是等边三角形,M是AB的中点,所以CM⊥MB.

∵DB⊥平面ABC,CM⊂平面ABC,

∴DB⊥CM.

∵DB∩MB=B,

∴CM⊥平面DMB.

∵DM⊂平面DMB,

∴CM⊥DM.

（2）解法1:

以点M为坐标原点,MC所在直线为x轴,MB所在直线为y轴,过M且与直线BD平行的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz.

因为DB⊥平面ABC,所以∠DMB为直线DM与平面ABC所成的角.

由题意得cos∠DMB=,

∴tan∠DMB==2,

即BD=2MB,从而BD=AC.

不妨设AC=2,又AC=2AE,

则CM=,AE=1.故B（0,1,0）,C（,0,0）,D（0,1,2）,E（0,-1,1）.

于是=（,-1,0）,=（0,0,2）,=（-,-1,1）,=（-,1,2）,

设平面BCD与平面CDE的法向量分别为m=（x1,y1,z1）,n=（x2,y2,z2）,

由

令x1=1,得y1=,

∴m=（1,,0）.

由

令x2=1,得y2=-,z2=

∴n=

∴cos==0.

故二面角B-CD-E的正弦值为1.

解法2:

∵DB⊥平面ABC,∴∠DMB为直线DM与平面ABC所成的角.

由题意得cos∠DMB=,

∴tan∠DMB==2,

即BD=2MB,从而BD=AC.

不妨设AC=2,又AC=2AE,则CM=,AE=1,AB=BC=BD=2.

由于EA⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,则EA∥BD.取BD的中点N,连接EN,则EN=AB=2.

在Rt△END中,ED=,在Rt△EAC中,EC=,在Rt△CBD中,CD==2,取CD的中点P,连接EP,BP,BE,则EP⊥CD,BP⊥CD.所以∠EPB为二面角B-CD-E的平面角.

在Rt△EPC中,EP=,在Rt△CBD中,BP=CD=,

在Rt△EAB中,EB=,∵EP2+BP2=5=EB2,∴∠EPB=90°.故二面角B-CD-E的正弦值为1.

2.

（1）证明在三棱柱ABC-A1B1C1中,

∵CC1⊥平面ABC,

∴四边形A1ACC1为矩形.

又E,F分别为AC,A1C1的中点,

∴AC⊥EF.

∵AB=BC,

∴AC⊥BE,

∴AC⊥平面BEF.

（2）解由

（1）知AC⊥EF,AC⊥BE,EF∥CC1.

∵CC1⊥平面ABC,

∴EF⊥平面ABC.

∵BE⊂平面ABC,

∴EF⊥BE.建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz.

由题意得B（0,2,0）,C（-1,0,0）,D（1,0,1）,F（0,0,2）,G（0,2,1）.

=（2,0,1）,=（1,2,0）.

设平面BCD的法向量为n=（a,b,c）,

则

令a=2,则b=-1,c=-4,

∴平面BCD的法向量n=（2,-1,-4）,

又平面CDC1的法向量为=（0,2,0）,∴cos==-

由图可得二面角B-CD-C1为钝角,

∴二面角B-CD-C1的余弦值为-

（3）证明平面BCD的法向量为n=（2,-1,-4）,∵G（0,2,1）,F（0,0,2）,

=（0,-2,1）,

∴n=-2,

∴n与不垂直,

∴FG与平面BCD不平行且不在平面BCD内,∴FG与平面BCD相交.

3.

（1）证明取AD的中点O,以O为原点,OA为x轴,过O作AB的平行线为y轴,OE为z轴,建立空间直角坐标系,

则B（1,1,0）,E（0,0,）,A（1,0,0）,C（-1,2,0）,F（0,4,）,

=（-1,-1,）,=（-1,4,）,=（-2,2,0）,

=1-4+3=0,=2-2=0,∴BE⊥AF,BE⊥AC.又AF∩AC=A,∴BE⊥平面ACF.

（2）解=（-2,1,0）,=（-1,3,）.

设平面BCF的法向量n=（x,y,z）,

则

取x=1,得n=

易知平面ABC的一个法向量m=（0,0,1）.设二面角A-BC-F的平面角为θ,则cosθ==-二面角A-BC-F的余弦值为-

4.解

（1）易知AB,AD,AP两两垂直.如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.

设AB=t,则相关各点的坐标为:

A（0,0,0）,B（t,0,0）,C（t,1,0）,D（0,2,0）,P（0,0,2）,E,F（0,1,0）,

从而=（t,1,0）,=（-t,2,0）.因为AC⊥BD,所以=-t2+2+0=0.

解得t=或t=-（舍去）.

于是=（,1,0）.因为=-1+1+0=0,

所以,

即AC⊥EF.

（2）由

（1）知,=（,1,-2）,=（0,2,-2）.

设n=（x,y,z）是平面PCD的一个法向量,则

令z=,则n=（1,）.

设直线EF与平面PCD所成的角为θ,则sinθ=|cos|=

=

即直线EF与平面PCD所成角的正弦值为

5.解

（1）连接AE,因为AF⊥平面PED,ED⊂平面PED,所以AF⊥ED,

在▱ABCD中,BC=2AB=4,∠ABC=60°,∴AE=2,ED=2,从而有AE2+ED2=AD2.∴AE⊥ED.

∵AF∩AE=A,

∴ED⊥平面PAE.

∵PA⊂平面PAE,

∴ED⊥PA.

∵PA⊥AD,AD∩ED=D,

∴PA⊥平面ABCD.

（2）以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

则A（0,0,0）,D（0,4,0）,B（,-1,0）,E（,1,0）.

∵AF⊥平面PED,∴AF⊥PE.

∵F为PE的中点,

∴PA=AE=2,

∴P（0,0,2）,F=（0,4,0）,

设平面AFD的法向量为n=（x,y,z）,

由

得

令z=1,得n=

设直线BF与平面AFD所成的角为θ,则sinθ=|cos<,n>|=即直线BF与平面AFD所成角的正弦值为

6.解

（1）证明:

∵∠BAD=90°,

∴AD⊥AB.

∵C'B⊥AD,且AB∩C'B=B,

∴AD⊥平面C'AB.

∵AC'⊂平面C'AB,

∴AD⊥AC'.

（2）∵△BCD是等边三角形,AB=AD,∠BAD=90°,

不妨设AB=1,则BC=CD=BD=

∵M,N分别为BD,CB的中点,

由此以A为原点,以AB,AD,AC'所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系A-xyz.

则有A（0,0,0）,B（1,0,0）,D（0,1,0）,C'（0,0,1）,M,N

0,

设平面AMN的法向量为m=（x,y,z）,

则

即

令x=1,则y=z=-1,

∴m=（1,-1,-1）.

又平面ABM的一个法向量是n=（0,0,1）,∴cos==-,∴二面角N-AM-B的余弦值为

7.

（1）证明在△ABC中,由余弦定理得,BC2=4+8-2×2×2cos45°=4,

∴BC=2,则有AB2+BC2=8=AC2,

∴∠ABC=90°,

∴BC⊥AB.

又∵BC⊥BB1,BB1∩AB=B,

∴BC⊥平面ABB1A1,

又B1M⊂平面ABB1A1,

∴BC⊥B1M.

（2）解由题设知,平面把此三棱柱分成两个体积相等的几何体为四棱锥C-ABB1M和四棱锥B1-A1MCC1.由

（1）知四棱锥C-ABB1M的高为BC=2,

2×2×4=8,V柱=4,

又BC==4,

=6=2,

∴AM=2.此时M为AA1中点.

以点B为坐标原点,的方向为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.

∴A（2,0,0）,C（0,2,0）,B1（0,0,4）,M（2,0,2）,

=（0,-2,4）,=（2,0,-2）,=（-2,2,0）,设n1=（x1,y1,z1）是平面CB1M的一个法向量,

即

令z1=1,可得n1=（1,2,1）,

设n2=（x2,y2,z2）是平面ACB1的一个法向量,

即

令z2=1,可得n2=（2,2,1）,

∴cos=所以二面角M-B1C-A的余弦值等于