届广东省六校高三下学期第三次联考数学试题.docx

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届广东省六校高三下学期第三次联考数学试题

绝密★启用前

广东省2021届六校第三次联考数学试题

学校：

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

题号

一

二

三

总分

得分

注意事项：

注意事项：

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上

一、单项选择题：

本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合

则

（）

A.

B.

C.

D.

2.已知复数

满足

，则复数

的模

（）

A.

B.

C.

D.

3.做志愿者参与社区服务是学生参加社会公益活动的主要途径.某个星期日有4名学生志

愿者随机平均分配到A、B两个社区进行垃圾分类宣传活动，则其中甲乙两人都被分配到

A社区的概率是（）

A.

B.

C.

D.

4.二项式

展开式中常数项是（）

A.B.C.D.

5.使得“

”成立的一个必要且不充分的条件是（）

A.B.C.

D.

6.已知

则

在

上的零点个数是（）

A.3B.4C.5D.6

7.随着国家对环保的重视，地方政府积极兴建生活垃圾无害化处理厂。

下表是近年

来广东省的数据表:

用线性回归方程模型

拟合垃圾处理厂数量y与年份代号t的关系，用公式计算

得,相关系数,

据此可估计2022年广东市辖区生活垃圾无

害化处理厂数量为（）（结果四舍五入）

A．118B.126C.129D.134

8.已知抛物线

的焦点为，过的直线与圆

交于

两点，则

的值是（）

A.

B.

C.

D.不确定的

二、多项选择题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知空间中异面直线

所成的角为

，若过空间中某点A的直线与

所成的角都

为

，则（）

A.满足直线有且只有1条B.满足的直线有且只有1条

C.满足的直线

有且只有1条D.

10.已知函数

，则（）

A.

是周期为

的周期函数

B.

的值域是

C.将

的图像向左平移

个单位长度后，可得一个奇函数的图像

D.

在

上单调递增

11.若

则（）

A.

B.

C.

D.

12.大衍数列来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理。

如图示，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和,其前10项依次是

此数列记为

其前

项的和记为

，则（）

A.

   B.

   C.

   D.

三、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数

在点

处的切线与两坐标轴围成的三角形面积是_____.

14.利用计算机绘制函数图象时可以得到很多美丽的图形，图象形似右

图所示的函数称为m型函数，写出一个定义域为

且值域

为

的m型函数是_____________.

15.《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年,书中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑

的四个直角三角形中，

是

和

的斜边，且所有直角三角形斜边长分别为

，它的所有顶点都在球

的球面上，则球

的体积为___________.

16.已知双曲线

的两焦点分别为

，过右焦点

的直线与双曲线

交于

两点，若

且

为等腰三角形，则双曲线

的离心率为______.

四、解答题：

本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

在①

②

③

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中正整数

存在，求

的值；若问题中的正整数

不存在，说明理由.

问题：

已知等差数列

的前

项和为

，各项为正的等比数列

的前

项和为

，

且_____________，是否存在正整数

使

成立?

注：

如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.（12分）

在

中,内角

的对边分别为

，

点

为

边上一点,

.

（1）求

;

（2）求

的面积.

19.（12分）

某企业办有甲乙两个工厂，为了解其工人的生产能力以及生产效益情况，现用分层抽样的方法，分别从甲乙两个工厂的工人中抽取100名、50名进行测评，并根据5项最重要的指标评分合计出每名工人的生产能力总分.由测评可知，工人月生产效益与生产能力密切相关，统计结果如下表：

生产能力总分（分）

[0,60）

[60,70）

[70,80）

[80,90）

[90,100]

月生产效益（元）

10000

15000

20000

25000

30000

工人的生产能力总分测评结果统计如下：

将生产能力总分落入相应组别的频率视为该工人对应生产能力的概率，假设每名工人生产能力相互独立.

（1）若某工人生产能力总分不少于80分，则评定其为生产能手.现从甲工厂随机选取一名

工人，估计此工人是生产能手的概率；

（2）随机从甲工厂中选取1名工人，用X表示其月生产效益，求X的分布列及数学期望；

（3）该企业拟以月生产效益均值为标准对甲乙两个工厂的工人进行考察，并对生产效益相

对较好的工厂工人进行奖励，对生产效益较差的工厂工人进行技能培训，请依据抽测结

果给出决策方案。

20.（12分）

如图，在四面体

中，

，二面角

是直二面角，

为

的中点,点

为线段

上一点，且

.

（1）求证：

平面

;

（2）求平面

与平面

所成锐二面角的平面角的余弦值.

21.（12分）

已知

（1）讨论

的单调性;

（2）若函数

在定义域上单调递增，求实数

的取值范围.

22.（12分）

已知

椭圆

经过点

且焦距为

.

（1）求椭圆

的方程；

（2）过椭圆

的右焦点的直线L与椭圆

交于

两点，

求

的最小值；

（3）右图是椭圆

旋转一定角度的图形，

请写出一种尺规作图方案以确定其对称中心的位置，

并在答卷的图中画出来,（不必说明理由）.

2021届六校第三次联考数学试题答案

考试时间：

120分钟满分150分

一、单项选择题

1.A2.B3.C4.D5.A6.D7.B8.A

二、多项选择题

9.ACD10.AC11.ACD12.ABD

三、填空题

13.

14.

等15.

16.

部分详解：

14.

或

或

....其中之一均可.

16.答：

有两种情况当AB＝AF1时，如左图，

当AB＝BF1时，如右图，

四、解答题

17.详解：

方案一：

选①

是等差数列，其前

项和为

，设其公差为

.

，

..................................................................................................4分

等比数列

的前

项和为

，设其公比为

，

............................................8分

所以存在正整数

使

..............................................10分

方案二：

选②

各项为正的等比数列

的前

项和为

，设其公比为

.

（舍去负的）

，

...............................................................................4分

是等差数列，前

项和为

，设其公差为

.

，

...................................................................................................8分

所以存在整数

使

..................................................10分

方案三：

选③

各项为正的等比数列

的前

项和为

，设其公比为

.

（舍去负的）

，

.....................................................................................4分

是等差数列，前

项和为

，设其公差为

.

，

..........................................................................8分

是单调递增的，且

.

所以存在唯一的正整数

使

.......................................................10分

18.详解:

（1）已知

，

用正弦定理

得:

...................................................2分

（2）在

中用余弦定理得

..................8分

又

19.详解：

（1）根据所给甲工厂频率分布直方图可知，

生产能力总分80—90的频率为0.02×10=0.2，

生产能力总分90—100的频率为0.015×10=0.15，

将测评生产能力总分落入各组频率视为概率，则从该工厂随机选取一名工人其生产能力总分超过80分概率是0.2+0.15=0.35，即他是生产能手的概率为0.35.......3分

（2）据甲厂频率分布直方图可知甲工厂工人在各组相应的频率如下表

生产能力总分（分）

[0,60）

[60,70）

[70,80）

[80,90）

[90,100]

频率

0.1

0.25

0.3

0.2

0.15

..................5分

随机从甲工厂中选取1名工人，用X表示其月生产效益，则X的分布列：

X（元）

10000

15000

20000

25000

30000

概率

0.1

0.25

0.3

0.2

0.15

..........6分

所以X的数学期望值

E（X）=10000×0.1+15000×0.25+20000×0.3+25000×0.2+30000×0.15=20250（元）

.........................................8分

（3）由

（2）知甲工厂工人月生产效益均值即数学期望E（X）=20250（元）

根据频率分布直方图知乙工厂工人生产能力总分频率分布表：

生产能力总分（分）

[0,60）

[60,70）

[70,80）

[80,90）

[90,100]

频率

0.04

0.2

0.4

0.24

0.12

由此可得乙