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逻辑学课后习题答案

第一章绪论（P6）

一、

1．逻辑学的研究对象是思维的形式结构及其规律，逻辑学是研究思维形式结构及其规律的科学。

2．思维形式结构是思维内容的存在方式、联系方式。

逻辑常项是思维形式结构中的不变部分，它决定思维的逻辑内容。

逻辑变项是思维形式结构中的可变部分，它容纳思维的具体内容。

如“所有S是P”这一全称肯定命题的思维形式结构，其中“所有……是……”是逻辑常项，表明该命题具有“全称肯定”的逻辑内容。

“S”、“P”是逻辑变项（词项变项），代入不同具体词项，表达不同的具体思维内容，并有真假。

又如“如果P，那么Q”这一充分条件假言命题的思维形式结构，其中“如果……那么……”是逻辑常项，表明该命题具有蕴涵式的逻辑内容，即前件真则后件真（“有之必然”），并非前件真而后件假（并非“有之而不然”）。

“P、Q”是逻辑变项（命题变项），代入不同的具体命题，表达不同的具体思维内容，并有真假。

3．对思维形式结构的代入，是指用具体的词项或命题替换思维形式结构中的逻辑变项，因而使思维形式结构成为有内容的具体思想，并具有真假值。

如用具体的词项“杨树”和“落叶乔木”，分别替换“所有S是P”这一全称肯定命题的思维形式结构中的逻辑变项“S”和“P”，因而使思维形式结构成为有内容的具体思想“所有杨树是落叶乔木”，并具有真值。

又如用具体的命题“过度砍伐森林”和“会破坏生态平衡”，分别替换“如果P，那么Q”这一充分条件假言命题的思维形式结构中的逻辑变项“P”和“Q”，因而使思维形式结构成为有内容的具体思想“如果过度砍伐森林，那么会破坏生态平衡”，并具有真值。

4．现代逻辑从形式上定义和说明逻辑规律。

如命题逻辑中的逻辑规律就是重言式（一真值形式在命题变项的任意一组赋值下都真），谓词逻辑中的逻辑。

规律就是普遍有效式（指一命题形式在任一解释下都得到一个真命题）①，传统逻辑主要从内容、作用上定义和说明逻辑规律。

逻辑规律有特殊和一般之分。

如定义、划分的规则，是特殊的逻辑规律，作用于定义、划分的特殊范围。

同一律、矛盾律、排中律和充足理由律，是一般的、基本的逻辑规律，概括正确思维形式结构的基本性质和联系，普遍作用于各类思维形式结构，支配各类思维形式结构的特殊规律（规则），对思维具有强制的规范和约束作用，保证思维的确定性、一贯性、明确性和论证性。

违反这些规律，会发生逻辑谬误。

5．逻辑矛盾，是指一类思维形式结构，在任意代入下都表达虚假的思想内容。

如“有S不是S”、“P并且非P”。

命题逻辑中的矛盾式，指一真值形式在命题变项的任意一组赋值下都假。

谓词逻辑中的矛盾式（不可满足式），指一命题形式在任一解释下都不能得到一个真命题。

模态逻辑中的矛盾式（不可满足式），指一模态公式在任意模型的任一可能世界上都假。

逻辑矛盾又叫自相矛盾。

狭义的逻辑矛盾指同时肯定一对互相矛盾的命题（如“这是牛，并且这不是牛”）。

广义的逻辑矛盾还包括同时肯定一对互相反对的命题（如“这是牛，并且这是马”），因为同时肯定一对互相反对的命题，相当于同时肯定两对互相矛盾的命题（如“这是牛，并且这不是牛”与“这是马，并且这不是马”）。

6．思维形式结构的规律，是正确的思维形式结构所具有的普遍、必然的性质和联系。

有特殊和一般之分。

特殊的思维形式结构的规律，指各类思维形式结构的特殊规则，如定义、划分的规则，只在各自的特殊范围内起作用。

一般的、基本的思维形式结构的规律，指同一律、矛盾律、排中律和充足理由律，概括正确思维形式结构的基本性质和联系，普遍地作用于各类思维形式结构，支配着各类思维形式结构的特殊规则，对思维具有普遍的规范和约束作用，保证思维的确定性、一贯性、明确性和论证性。

违反思维形式结构的规律，会发生逻辑谬误。

7．逻辑学研究的核心问题，是推理及其有效性的判定。

即回答什么样的推理是正确的，什么样的推理是错误的，如何判定。

有效的演绎推理的形式结构，同时也是逻辑规律。

逻辑学研究、运用逻辑规律，发现、排除逻辑矛盾，使推理的形式结构正确，即合乎逻辑。

8．语言、思维和逻辑这三者的关系，是研究对象与研究学科之间的关系。

逻辑学以思维为研究对象，而思维与语言是一个不可分割的统一体。

思维是人类认识以概念、判断、推理的理性方式反映世界的活动和过程，是无声无息、看不见听不到的抽象心理活动，注定要与语言这种有声有息、看得见听得到的物质存在相结合。

语言是思维的实现和载体，是思维的存在方式和物质外壳。

思维的成果用语言记载和巩固，用语言进行交流和交际。

逻辑学自然要以语言为中介，借助于语言的手段，研究思维及其形式结构。

9．语言的第一个构成要素是基本符号，即素材，如汉语的字库和标点符号。

第二个构成要素是语形规则，即语法，决定一符号串在该语言中是否合式（成立）的标准。

第三个构成要素是语义规则，即对合乎语法的语言进行解释，赋予意义。

10．自然语言是社会实践中约定俗成的、表达日常思维的语言。

它通常有歧义，同一语词、语句在不同语境下可以表达不同含义。

人工语言是为进行科学研究，通过定义方式创立的语言。

逻辑学运用的人工语言，称为符号语言。

符号语言区别于自然语言的重要特征是排除歧义。

形式语言是高度抽象和严格定义的符号语言。

用形式语言构造逻辑的形式系统。

二、

1．一切真知都是来源于实践的。

5．一切交通事故都是违章造成的。

都是全称肯定命题，具有共同的逻辑形式，其公式是：

所有S是P

2．一切鸟都是卵生的，一切蝙蝠都不是卵生的，所以—切蝙蝠都不是鸟。

7．一切偶数都能被2整除，一切奇数都不能被2整除，所以一切奇数都不是偶数。

都是直言三段论第二格的AEE式，具有共同的逻辑形式，其公式是：

所有P是M

所有S不是M

所以，所有S不是P

3．只有水量合适，水稻才能丰收。

8．只有充分发挥知识分子在社会主义建设中的积极作用，我国的四个现代化才能实现。

都是必要条件假言命题，具有共同的逻辑形式，其公式是：

只有P，才Q

6．如果被告已经死亡，就不再追究其刑事责任，现在被告已经死了，所以不再追究其刑事责任。

9．如果溶液是酸性的，就能使试纸变红，这瓶溶液是酸性的，所以它能使试纸变红。

都是充分条件假言推理肯定前件式，具有共同的逻辑形式，其公式是：

如果P，那么Q

P

所以，Q

三、

1．如果两个思想的表达具有相同的思维形式结构，则（C．它们具有相同的逻辑常项）。

2．“要么p，要么q”与“或者p，或者q”这两个命题形式，它们含有（C．不同的逻辑常项，相同的变项）。

3．下列命题具有相同逻辑形式的有（A．只要功夫深，铁杆磨成针。

D．如果你有空，请立即回信。

C．要是寒潮到来，气温就会下降。

D．理论一旦掌握群众，就会变成物质力量。

都是充分条件假言命题，其共同的逻辑形式是：

如果P，那么Q）。

4．指出下列命题中，哪些具有共同的逻辑形式（D．只有年满18岁，才有选举权。

L只有发烧，才患肺炎。

都是必要条件假言命题，其共同的逻辑形式是：

只有P，才Q）。

第二章概念（P20）

一、

1．错误。

正确的应为：

对象所具有的性质和对象间具有的关系，统称为对象的属性。

2．错误。

正确的应为：

对象的本质属性，是为该类对象共同具有并且仅仅为该类对象具有的属性。

3．正确。

4．错误。

空概念的外延是空类，并非没有外延。

5．错误。

同一个概念可以有不同的内涵，因而可以有不同的正确定义。

6．错误。

对正概念下定义不能使用否定句，但对负概念下定义可以使用否错误。

7．只有具有属种关系的概念外延之间，才存在内涵与外延的反变关系。

二、

1．不正确。

定义过宽。

2．不正确。

定义过宽。

3．不正确。

“勇敢”和“勇敢的战土”之间不存在属种关系。

4．不正确。

“喜马拉雅山”和“珠穆朗玛峰”之间不存在属种关系。

三、

1．C2.ABC3.A4.B5.B6.BC7.B8.B9.BC10.AC

四、

1．从内涵和外延两个方面。

2．从内涵方面。

3．分别从内涵和外延两个方面。

4．分别从内涵和外延两个方面。

5．分别从内涵和外延两个方面。

6．分别从内涵和外延两个方面。

五、

1．“美术作品”是普遍概念、正概念。

2．“《孔乙己》”是单独概念、正概念；“作品”是普遍概念、正概念。

3．“非司机”是普遍概念、负概念。

4．“中国女子排球队”是单独概念、正概念；“世界冠军”是普遍概念、正概念。

5．“中国工人阶级”是单独概念、正概念。

6．“国家检察机关”是普遍概念、正概念。

六、

1．集合意义

2．非集合意义

3．非集合意义

4．集合意义

5．

（1）集合意义

（2）非集合意义（3）非集合意义

6．非集合意义

7．集合意义

七、

1．属种关系

2．相关不相容：

对立关系

3．交叉关系

4．种属关系

5．不相关不相容关系

6．相关不相容：

矛盾关系

7．全同关系

8．相关不相容：

对立关系

八、

1．

CD

AB

2．

ABC

3、

B

AD

4、

DB

A

C

5．

DAB

C

九、

1．A

BC

D

2．

A

BE

CD

3．

AB

C

4．

D

AB

C

5．AC

B

6．

AB

C

7．AC

B

8．

D

A

CB

9．

ABCD

十、

1、限制为“教授”，概括为“劳动者”

2、限制为“七律”，概括为“文学形式”

3、限制为“公牛”，概括为“哺乳动物”

4、限制为“美国”，概括为“国家”

5．限制为“发动机”，概括为“工业产品”。

6．限制为“中国历史学”，概括为“科学”。

十一、

1．限制正确，概括错误。

因为“学生”不是“知识分子”的种概念，例如，小学生不是知识分子。

2．限制错误，概括正确。

因为“勇敢的人”是实体概念，“勇敢”是属性概念，二者不具有种属关系。

3．限制正确，概括错误。

因为并非违法行为都是犯罪行为，二者不具有种属关系。

4．限制错误，概括正确。

因为“军队”和“人民战士”不具有属种关系。

5．限制和概括均错误。

6．限制和概括均正确。

十二、

1．错误。

不具有属种关系。

2．“中国北方最大的城市”概括为“中国最大的城市”错误，因为中国北方最大的城市，并不一定是中国最大的城市，二者不具有种属关系。

其余正确。

3．错误。

单独概念不能限制。

4．“洪秀全”限制为“青年时代的洪秀全”错误，因为单独概念不能限制。

其余正确。

十三、

1．错误。

定义过宽。

2．错误。

定义过窄。

3．错误。

定义不能使用比喻。

4．正确。

5．错误。

循环定义。

十四、

1．错误。

定义过宽。

2．错误。

定义过窄。

3．错误。

定义过窄。

4．错误。

定义过宽。

十五、

1．错误。

定义过宽。

2．错误。

对正概念下定义不得使用否定句。

3．错误。

定义过宽。

十六、

1．是。

2．是。

3．不是

4．是。

十七、

1．不是划分，是分解。

2．是划分。

3．是划分。

4．不是划分，是分解。

十八、

1．不都正确，有“子项相容”的错误。

例如，“长篇小说”“现代小说”两个子项相容。

2．错误。

划分过宽，祖父母、兄弟、姐妹均不属于直系亲属。

3．错误。

子项相容。

4．正确。

十九、

1．答案是B。

感染艾滋病的人数，和死于艾滋病菌的人数是两个密切相关但并不相同的概念，不能把它们作为同一概念使用，题干的反驳正是指出了这一点。

2．答案是E。

由条件，有围棋爱好者爱好武术，并且所有的武术爱好者都不爱好健身操。

因此不可能所有的围棋爱好者都爱好健身操。

3．答案是A。

由条件，每个桥牌爱好者都爱好围棋，又每个围棋爱好者都爱好武术或者健身操，因此，每个桥牌爱好者都爱好武术或者健身操。

这与A项的断定矛盾。

4．答案是A。

I不可能是真实的。

因为由题干，上述观点，是瑞典科学家在1998年5月首次提出的，因此，芬兰科学家不可能在1997年4月已经提出过。

Ⅱ和Ⅲ都可能是真的。

因为题干只是断定，《科学日报》登载的消息是真实的，而没有断定消息中提到的瑞典科学家的观点是真实的。

第三章（P62）

一、

1、3、4、5、8正确；2、6、7、9错误

2、原因：

命题逻辑中的复合命题，不仅必须包含与自身不同的支命题，而且须满足，其支命题的真值可以唯一地确定自身的真值。

二、

p

q

p→q

?

p∨q

1

1

1→1=1

?

1∨1=1

1

0

1→0=0

?

1∨0=0

0

1

0→1=1

?

0∨1=1

0

0

0→0=1

?

0∨0=1

三、

先把规则符号化：

规则①：

?

P→?

S规则②：

只有?

D，才G规则③：

A←→C

规则④：

D←→?

R规则⑤：

只有?

R，才?

C规则⑥：

?

A∨?

P

规则⑦：

?

S→（?

T∧?

Q）规则⑧：

?

R∨?

F规则⑨：

G

注意：

对规则所断定的逻辑关系的准确分析，是进行正确推理的前提。

例如：

规则⑥断定：

“A和P两人中，只能上场一个”，只能分析表示为“?

A∨?

P”，而不能表示为“A∨P”。

“A∨P”的意思是“A和P中至少上场一个”，“?

A∨?

P”的意思是“A和P至多上场一个，即只能上场一个。

推理过程如下：

由规则②和规则⑨，得：

只有?

D，才G

G

所以，?

D

（1）

由

（1）式和规则④，得：

D←→?

R

?

D

所以，R

（2）

由

（2）式和规则⑤，得：

只有?

R，才?

C

R

所以，C（3）

由（3）式和规则③，得：

A←→C

C

所以，A（4）

由（4）式和规则⑥，得：

?

A∨?

P

A

所以，?

P（5）

由（5）式和规则①，得：

?

P→?

S

?

P

所以，?

S（6）

由（6）式和规则⑦，得：

?

S→（?

T∧?

Q）

?

S

所以，?

T∧?

Q（7）

由（7）式，得：

?

T∧?

Q

所以，?

T（8）

由（7）式，得：

?

T∧?

Q

所以，?

Q（9）

由

（2）式和规则⑧，得：

?

R∧?

F

R

所以，?

F（10）

综上所推，得：

A、C、R和G上场，由于排球赛有六个队员，所以B、E也上场；F、Q、S、T、P和D均不上场。

四、

1、A

题干的论证运用的推理可整理为：

张先生点的菜中或者有川菜，或者有粤菜。

张先生点的菜中有川菜。

所以，张先生点的菜中没有粤菜。

这是相容选言推理在某些方面肯定否定式，是无效推理。

要使题干在某些方面论证成立，必须加强这个推理的前提，使之成为有效推理。

选项A如果为真，显然就在于使得题干的推理由相容选言推理变为不相容选言推理。

不相容选言推理的肯定否定式是有效式，因而推理有效，论证成立。

2、E

E项是个充分条件假言命题，其前件断定了两个条件：

第一，气温在零摄氏度以上；第二，街上没人穿雨衣。

其后件断定，天没有下雨。

题干断定：

如果天下雨，并且气温在零摄氏度以上，则街上有人穿雨衣。

因此，加上E项的第二个条件：

街上没人穿雨衣，可推出，天没下雨，或者气温不在零摄氏度以上。

由此，加上E项的第一个条件：

气温在零摄氏度以上，可推出：

天没有下雨。

这说明，根据题干的断定，再加上以上两条件，可推出天没下雨，即如果题干的断定为真，E项则一定为真。

3、D

题干的断定可整理为：

（1）如果是名牌产品，则一定质量过硬；

（2）如果质量过硬，则一定有高技术含量；

（3）如果忽视技术投资，则产品就不会有高技术含量。

由（3）可得：

（4）如果产品都有高技术含量，则不会忽视技术投资。

由

（1）

（2）和（4），可推出I。

由

（1）和

（2），可推出II。

III不能由题干推出。

4、C

诸选项中，A、B和C项都能削弱题干中书商的看法，但是，A项是说科幻小说的评论几乎没有影响，B项是说科幻小说的评论在科幻小说的读者中几乎没有影响，C项是说科幻小说的评论对于它的读者有负影响，即起了科幻小说的负促销作用。

显然，C项比A和B项更能削弱题干。

D项不能削弱题干。

E项涉及的只是个例，即使能削弱题干，力度也不大。

5、A

因为如果有吸烟史的人在1995年超过世界总人口的65%，由题干，这个百分比已经接近于有吸烟史的肺癌患者的比例，又考虑到事实上患肺癌的主要是成年人，因此，吸烟史的肺癌患者的比例，绝不会高于有吸烟史的人占世界总人口的比例。

这说明吸烟并没有增加患肺癌的危险。

其余各项均不能削减题干的结论。

五、1B2B3AC4ABCD5AB6A7A8A9AC10ABCD

六、1必要条件2、充分条件3、不构成条件关系4、充要条件5、必要条件

七、

1、这个商店的商品或者价不廉，或者物不美。

2、昨晚小张和小李都没有值班。

3、人大胆，但地不高产。

4、经济不发达地区也有环境治理问题。

5、老张和老李都当代表，或者都不当代表。

6、衣食足但不能知荣辱，或者衣食不足但能知荣辱。

7、认识字母但学不好外语。

8、孩子每天不吃巧克力也长得好。

八、

1、令p表示“明天我去看电影”，q表示“明天我去看展览”，r表示“明天我去游泳”。

真值形式为：

（p∧q）∨（?

（p∨q）→r）

2、令p表示“明天天晴”，q表示“单位加班”，r表示“明天我们去游泳”，s表示“我们明天去划船”。

真值形式为：

（p∧?

q）→（r∨s）

3、令p表示“科学家的预见是正确的”，q表示“我们从现在起就重视环境保护”，r表示“人类终有一天无法在地球上生存”。

真值形式为：

p→（?

q→r）

4、令p表示“在场内吸烟”（主语省略），q表示“在场内随地吐痰”，r表示“在场内乱扔废弃物”，s表示“被处以罚款”。

真值形式为：

（p∨q∨r）→s

九、

p

q

（p→（q∧?

q））→?

p

（?

p→q）←→（p∧?

q）

（（p→q）∧?

p）→?

q

1

1

（1→（1∧?

1））→?

1=1

（?

1→1）←→（1∧?

1）=0

（（1→1）∧?

1）→?

1=1

1

0

（1→（0∧?

0））→?

1=1

（?

1→0）←→（1∧?

0）=1

（（1→0）∧?

1）→?

0=1

0

1

（0→（1∧?

1））→?

0=1

（?

0→1）←→（0∧?

1）=0

（（0→1）∧?

0）→?

1=0

0

0

（0→（0∧?

0））→?

0=1

（?

0→0）←→（0∧?

0）=1

（（0→0）∧?

0）→?

0=1

类型

重言式

非重言的可真式

非重言的可真式

十、

1、推理形式是（命题变项的设定略，下同）：

（（p∨q）∧p）→?

q，错误，相容选言推理的肯定否定式，无效。

2、推理形式是：

（（?

p→?

q）∧p）→q，错误，充分条件假言推理的否定前件式，无效。

3、推理形式是：

（（p→q）∧q）→p，错误，充分条件假言推理的肯定后件式，无效。

4、推理形式是：

（p→?

q）→（q→?

p），正确，对于一个充分条件假言命题，由否定其后件，可否定其前件。

十一、

1、

p

（p→?

p）→（p∧?

p）

（p←→?

p）→（p∧?

p）

1

1

1

0

0

1

推理无效

推理有效

2、

p

q

?

（?

p∧q）→（?

p→?

q）

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

1

推理有效

十二、

1、求（p→q）→（?

p∨q）的合取范示：

消去→:

?

（?

p∨q）∨（?

p∨q）

（1）

内移?

:

（?

?

p∧?

q）∨（?

p∨q））

（2）

消去?

?

：

（p∧?

q）∨（?

p∨q）（3）

（3）式按合取分配律展开，得：

（p∨?

p∨q）∧（?

q∨?

p∨q）（4）

（4）式即为合取范示，是重言式，因此，该式是重言式。

2、求（p∧?

q）←→（?

p∨q）析取范示：

消去←→:

（（p∧?

q）∧（?

p∨q））∨（?

（p∧?

q）∧?

（?

p∨q））

（1）

内移?

:

（（p∧?

q）∧（?

p∨q））∨（（?

p∨?

?

q）∧（?

?

p∧?

q））

（2）

消去?

?

：

（（p∧?

q）∧（?

p∨q））∨（（?

p∨q）∧（p∧?

q））（3）

化简：

（p∧?

q）∧（?

p∨q）（4）

（4）式按析取分配律展开，得：

（p∧?

q∧?

p）∨（p∧?

q∧q）（5）

（5）式即为析取范示，是矛盾式，因此，该式是矛盾式。

3、求?

q→（（p→q）→?

p）的合取范示：

消去→:

?

?

q∨（?

（?

p∨q）∨?

p）

（1）

内移?

:

?

?

q∨（（?

?

p∧?

q）∨?

p）

（2）

消去?

?

：

q∨（（p∧?

q）∨?

p）（3）

（3）式按合取分配律展开，得：

（q∨p∨?

p）∧（q∨?

q∨?

p）（4）

（4）式即为合取范示，是重言式，因此，该式是重言式。

4、求（?

q→（p→q））→?

p的合取范示：

消去→：

?

（?

?

q∨（?

p∨q））∨?

p

（1）

内移?

:

（?

?

?

q∧?

（?

p∨q））∨?

p

（2）

内移?

:

（（?

?

?

q∧（?

?

p∧?

q））∨?

p（3）

消去?

?

：

（?

q∧（p∧?

q））∨?

p（4）

化简：

（p∧?

q）∨?

p（5）

（5）式按合取分配律展开，得：

（p∨?

p）∧（?

q∨?

p）（6）

（6）式即为合取范示，因此，该式不是重言式。

（5）式按析取分配律展开，得：

（p∧?

q）∨?

p（7）

（7）式即为析取范求，不是矛盾式，因此，该式不是矛盾式。

因此，该式是非重言的可真式。

十三、

令：

p表示“上帝创世说的故事是真空的”，q表示“地球存在的头三天没有太阳”，r表示“‘一天’的概念是由太阳来定义的”。

则该推理的推理形式为：

（（p→q）∧r∧?

（r∧q））→?

p

求该式的合取范示：

消去←→：

?

（（?

p∨q）∧r∧?

（r∧q））∨?

p

（1）

内移?

：

（?

（?

p∨q）∨?

r∨?

?

（r∧q））∨?

p

（2）

（?

?

p∧?

q）∨?

r∨?

?

（r∧q））∨?

p（3）

消去?

?

：

（（p∧?

q）∨?

r∨（r∧q））∨?

p（4）

按合取分配律展开，得：

（p∨?

r∨r∨?

p）∧（p∨?

r∨q∨?

p）∧

（?

q∨?

r∨r∨?

p）∧（?

q∨?

r∨q∨?

p）（5）

（5）式即为合取范示，是重言式，因此，该推理有效。

十四、

1、令：

p表示“小张去春游”，q表示“小李去春游”，r表示“小王去春游”。

则该推理的推理形式为：

（?

（?

p∧?

q）→r）∧p）→r

构造自然推理如下：

（1）{1}pP

（2）{1}p∨qT

（1）

（3）{1}?

（?

p∧?

q）T

（2）

（4）{2}?

（?

p∧?

q）→rP

（5）{1.2}rT（3）（4）

推理有效。

2、令：

p表示“在有限长的线段L上存在无限多个点”，q表示“这些点有长度”，r表示“L无限长”，表示“L没有长度”。

则该推理的推理形式为：

（（p→（（q→r）∧（?

q→s）））∧（?

r∧?

s））→?

p

构造自然推理如下：

（1）{1}p→（（q→r）∧（?

q→s））P

（2）{2}?

r∧?

sP

（3）{3}p（引入）P

（4）{1.3}（q→r）∧（?

q→s）T

（1）（3）

（5）{1.3}q→rT（4）

（6）{1.3}?

q→sT（4）

（7）{2}?

rT

（2）

（8）{2}?

sT

（2）

（9）{1.2.3}?

qT（5）（7）

（10）{1.2.3}?

?

qT（6）（8）

（11）{1.2.3}qT（10）

（12）{1.2.3}q∧?

qT（11）（9）

（13）{1.2}?

p归谬（3）（12）

推理有效。