高考数学的三角函数与解三角形多选题含答案.docx
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高考数学的三角函数与解三角形多选题含答案
2021年高考数学的三角函数与解三角形多选题含答案
一、三角函数与解三角形多选题
1.已知函数,,则()
A.在上单调递减B.是周期为的函数
C.有对称轴D.函数在上有3个零点
【答案】BD
【分析】
先判断出是周期为的函数,再在给定的范围上研究的单调性和零点,从而可判断BCD的正误,再利用反证法可判断C不正确.
【详解】
因为,
故是周期为的函数,故B正确.
当时,,
因为,而在为增函数,
故在为增函数,故A错误.
由可得或或,故D正确.
若的图象有对称轴,因为的周期为,故可设,
则对任意的恒成立,
所以即①,
也有即②,
也有即③,
由②③可得,
故,由①②可得,故或.
若,则,
而,
若,则
这与对任意的恒成立矛盾,
故D不成立.
故选:
BD.
【点睛】
方法点睛:
与三角函数相关的函数性质的研究,应该依据一定次序,比如先研究函数的奇偶性或周期性,再根据前者把函数的研究限制在一定的范围内进行讨论.
2.在中,下列说法正确的是()
A.若,则
B.存在满足
C.若,则为钝角三角形
D.若,则
【答案】ACD
【分析】
A项,根据大角对大边定理和正弦定理可判断;
B项,由和余弦函数在递减可判断;
C项,显然,分和两种情况讨论,结合余弦函数的单调性可判断;
D项,根据和正弦函数的单调性得出和,再由放缩法可判断.
【详解】
解:
对于A选项,若,则,则,即,故A选项正确;
对于B选项,由,则,且,在上递减,于是,即,故B选项错误﹔
对于C选项,由,得,在上递减,
此时:
若,则,则,于是;
若,则,则,
于是,故C选项正确;
对于D选项,由,则,则,在递增,于是,即,同理,
此时,
所以D选项正确.
故选:
ACD
【点睛】
关键点点睛:
正余弦函数的单调性,正弦定理的边角互化,大边对大角定理以及大角对大边定理,不等式的放缩等等,综合使用以上知识点是解决此类题的关键.
3.设函数g(x)=sinωx(ω>0)向左平移个单位长度得到函数f(x),已知f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点,则下列结论正确的是()
A.f(x)的图象关于直线对称
B.f(x)在(0,2π)上有且只有3个极大值点,f(x)在(0,2π)上有且只有2个极小值点
C.f(x)在上单调递增
D.ω的取值范围是[)
【答案】CD
【分析】
利用正弦函数的对称轴可知,不正确;由图可知在上还可能有3个极小值点,不正确;由解得的结果可知,正确;根据在上递增,且,可知正确.
【详解】
依题意得,,如图:
对于,令,,得,,所以的图象关于直线对称,故不正确;
对于,根据图象可知,,在有3个极大值点,在有2个或3个极小值点,故不正确,
对于,因为,,所以,解得,所以正确;
对于,因为,由图可知在上递增,因为,所以,所以在上单调递增,故正确;
故选:
CD.
【点睛】
本题考查了三角函数的相位变换,考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性,考查了极值点的概念,考查了函数的零点,考查了数形结合思想,属于中档题.
4.(多选题)已知,则下列式子成立的是()
A.B.C.D.
【答案】CD
【分析】
对原式进行切化弦,整理可得:
,结合因式分解代数式变形可得选项.
【详解】
∵,,
整理得,
∴,
即,
即,∴C、D正确.
故选:
CD
【点睛】
此题考查三角函数的化简变形,根据弦切关系因式分解,结合平方关系变形.
5.在中,a,b,c分别为,,的对边,下列叙述正确的是()
A.若,则为等腰三角形
B.若,则为等腰三角形
C.若,则为钝角三角形
D.若,则
【答案】ACD
【分析】
多项选择题,一个一个选项验证:
对于A:
利用正弦定理判断,在三角形中只能A=B,即可判断;
对于B:
∵由正弦定理得,可以判断∴为等腰三角形或直角三角形;
对于C:
利用三角函数化简得
,利用判断必有一个小于0,即可判断;
对于D:
利用正弦定理判断得求出角.
【详解】
对于A:
∵由正弦定理得:
,而,∴,
∵A+B+C=π,∴只能A=B,即为等腰三角形,故A正确;
对于B:
∵由正弦定理得:
,
∴若可化为,即,
∴或
∴为等腰三角形或直角三角形,故B错误;
对于C:
∵A+B+C=π,
∴,
∴
.
∵而
∴必有一个小于0,
∴为钝角三角形.
故C正确;
对于D:
∵,
∴由正弦定理得:
即
∴
∵∴.
故D正确.
故选:
ACD
【点睛】
在解三角形中,选择用正弦定理或余弦定理,可以从两方面思考:
(1)从题目给出的条件,边角关系来选择;
(2)从式子结构来选择.
6.已知函数,且对任意,恒成立,为奇函数,则下列说法正确的是()
A.函数的图象关于原点对称
B.函数的最小正周期为
C.函数的图象关于直线对称
D.函数的单调递增区间为
【答案】BD
【分析】
由恒成立可得,即,由为奇函数可得,即可求出,再根据正弦函数的性质分别判断即可.
【详解】
因为对任意,恒成立,所以,
即,得①.
,因为为奇函数,
所以②.
由①②可得,
即.又,所以,,
则,得,
所以,
由于,故的图象不关于原点对称,所以A不正确;
的最小正周期,所以B正确;
,所以C不正确;
令,,得,,
故函数的单调递增区间为,所以D正确.
故选:
BD.
【点睛】
关键点睛:
本题考查正弦型函数的性质,解题的关键是:
(1)根据“对任意,恒成立”得到“”;
(2)得到“”后,能根据“为奇函数”得到“”.
7.设、是函数的图象与直线的交点,若、两点距离的最小值为,是该函数图象上的一个点,则下列说法正确的是()
A.该函数图象的一个对称中心是
B.该函数图象的对称轴方程是,
C.在上单调递增
D.
【答案】ABD
【分析】
根据函数的基本性质求出函数的解析式,可判断D选项的正误,利用余弦型函数的对称性可判断AB选项的正误,利用余弦型函数的单调性可判断C选项的正误.
【详解】
因为、是函数的图象与直线的交点,
若、两点距离的最小值为,则函数的最小正周期为,,
所以,,
将点的坐标代入函数的解析式,可得,则.
,,则,,
,D选项正确;
对于A选项,,A选项正确;
对于B选项,由,解得,
所以,函数的图象的对称轴方程是,,B选项正确;
对于C选项,当时,,
所以,函数在区间上不单调,C选项错误.
故选:
ABD.
【点睛】
方法点睛:
求较为复杂的三角函数的单调区间时,首先化简成或形式,再求或的单调区间,只需把看作一个整体代入或的相应单调区间内即可,注意要先把化为正数.
8.已知函数的部分图象如图所示,则下列说法正确的是()
A.B.的最小正周期为
C.的图象关于直线对称D.的图象关于点对称
【答案】BCD
【分析】
利用图象,把代入求利用周期求出,从而,研究对称轴和对称中心.
【详解】
由图可知,所以,根据图象可知在的单调递增区间上,又,所以,A项错误;
因为,所以结合图像,由五点法得,解得,则的最小正周期,B项正确;
将代入,得,所以的图象关于直线对称,C项正确﹔
将代入可得,所以点是图象的一个对称中心,D项正确.
故选:
BCD.
【点睛】
求三角函数解析式的方法:
(1)求A通常用最大值或最小值;
(2)求ω通常用周期;
()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.
9.设函数,(其中,,),在上既无最大值,也无最小值,且,则下列结论错误的是()
A.若对任意,则
B.的图象关于点中心对称
C.函数的单调减区间为
D.函数的图象相邻两条对称轴之间的距离是
【答案】ABD
【分析】
根据条件先求函数的解析式,
对于A:
判断出为最小值,为最大值,即可;
对于B:
根据函数的对称性进行判断;
对于C:
求出角的范围,结合三角函数的单调性进行判断;
对于D:
根据函数的对称性即对称轴之间的关系进行判断.
【详解】
因为函数在上既无最大值,也无最小值,
所以是函数的一个单调区间,区间长度为,
即函数的周期,即,则
因为,所以为函数的一条对称轴;
则
由①②解得:
,即,函数的周期.
对于A:
若对任意恒成立,则为最小值,为最大值,所以,则必为的整数倍,故A错误,可选A;
对于B:
时,,故不是的对称中心,B错误,可选B;
对于C:
当时,,此时单调递减,C正确,不选C;
对于D:
函数的图象相邻两条对称轴之间的距离是,故D错误,可选D
故选:
ABD
【点睛】
(1)求三角函数解析式的方法:
①求A通常用最大值或最小值;②
(2)求ω通常用周期;③求φ通常利用函数上的点带入即可求解;
(2)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构,借助于或的性质解题.
10.在中,下列说法正确的是()
A.若,则
B.若,则
C.若,则为钝角三角形
D.存在满足
【答案】ABC
【分析】
根据大角对大边,以及正弦定理,判断选项A;利用余弦定理和正弦定理边角互化,判断选项B;结合诱导公式,以及三角函数的单调性判断CD.
【详解】
A.,,根据正弦定理,可知,故A正确;
B.,,即,由正弦定理边角互化可知,故B正确;
C.当时,,即,即,则为钝角三角形,若,,即成立,是钝角,当是,,所以综上可知:
若,则为钝角三角形,故C正确;
D.,,,
即,故D不正确.
故选:
ABC
【点睛】
关键点点睛:
本题考查判断三角形的形状,关键知识点是正弦定理和余弦定理,判断三角形形状,以及诱导公式和三角函数的单调性.
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