山东省青岛市高三二模考试文科数学试题及答案.docx
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山东省青岛市高三二模考试文科数学试题及答案
2014山东省青岛市高三二模考试试题
数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上.
3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.
第Ⅰ卷(选择题共50分)
一、选择题:
本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合,则
A.B.C.D.
2.已知复数,其中为虚数单位,则的实部为
A.B.C.D.
3.数列为等差数列,为等比数列,,则
A.B.C.D.
4.函数()的图象如图所示,则的值为
A.B.C.D.
5.在平面直角坐标系中,为坐标原点,直线与圆相交于两点,.若点在圆上,则实数
A.B.C.D.
6.如图是一个算法的流程图.若输入的值为,则输出的值是
A.B.C.D.
7.某防疫站对学生进行身体健康调查,欲采用分层抽样的办法抽取样本.某中学共有学生名,抽取了一个容量为的样本,已知样本中女生比男生少人,则该校共有女生
A.人B.人C.人D.人
8.已知点与点在直线的两侧,且,则的取值范围是
A.B.C.D.
9.已知三棱锥中,,,,,,则关于该三棱锥的下列叙述正确的为
A.表面积B.表面积为
C.体积为D.体积为
10.已知定义在实数集上的偶函数满足,且当时,,则关于的方程在上根的个数是
A.B.C.D.
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.抛物线的焦点坐标为;
12.已知与之间具有很强的线性相关关系,现观测得到的四组观测值并制作了右边的对照表,由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为,其中的值没有写上.当等于时,预测的值为;
13.已知,和的夹角为,以为邻边作平行四边形,则该四边形的面积为;
14.如图,是可导函数,直线是曲线在处的切线,令,则;
15.对于下列命题:
①函数在区间内有零点的充分不必要条件是;②已知是空间四点,命题甲:
四点不共面,命题乙:
直线和不相交,则甲是乙成立的充分不必要条件;
③“”是“对任意的实数,恒成立”的充要条件;
④“”是“方程表示双曲线”的充分必要条件.
其中所有真命题的序号是.
三、解答题:
本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知函数,.
(Ⅰ)求函数的最小正周期和单调递增区间;
(Ⅱ)若函数图象上的两点的横坐标依次为,为坐标原点,求的外接圆的面积.
17.(本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)从区间内任取一个实数,设事件={函数在区间上有两个不同的零点},求事件发生的概率;
(Ⅱ)若连续掷两次骰子(骰子六个面上标注的点数分别为)得到的点数分别为和,记事件{在恒成立},求事件发生的概率.
18.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥中,底面为正方形,
平面,已知,为线段的中点.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求四棱锥的体积.
19.(本小题满分12分)
已知数列满足:
且.
(Ⅰ)令,判断是否为等差数列,并求出;
(Ⅱ)记的前项的和为,求.
20.(本小题满分13分)
已知函数,,其中,为自然对数的底数.
(Ⅰ)若在处的切线与直线垂直,求的值;
(Ⅱ)求在上的最小值;
(Ⅲ)试探究能否存在区间,使得和在区间上具有相同的单调性?
若能存在,说明区间的特点,并指出和在区间上的单调性;若不能存在,请说明理由.
21.(本小题满分14分)
已知动圆与圆相切,且与圆相内切,记圆心的轨迹为曲线;设为曲线上的一个不在轴上的动点,为坐标原点,过点作的平行线交曲线于两个不同的点.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)试探究和的比值能否为一个常数?
若能,求出这个常数;若不能,请说明理由;
(Ⅲ)记的面积为,求的最大值.
高三自评试题
数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题:
本大题共10小题.每小题5分,共50分.
BDDACCDDAB
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.12.13.14.15.①②④
三、解答题:
本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)
,……………………………………………2分
所以,函数的最小正周期为.………………………………………3分
由()得(),
函数的单调递增区间是()………………………………5分
(Ⅱ),
,
……………………………………………………………………7分
从而
,………………………………………………10分
设的外接圆的半径为,
由
的外接圆的面积………………………………………………12分
17.(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)函数在区间上有两个不同的零点,
,即有两个不同的正根和
………………………………………………………4分
…………………………………………………………………………6分
(Ⅱ)由已知:
,所以,即
,
在恒成立…………………………………8分
当时,适合;
当时,均适合;
当时,均适合;
满足的基本事件个数为.………………………………………………10分
而基本事件总数为,……………………………………………………………11分
.………………………………………………………………………12分
18.(本小题满分12分)
证明:
(Ⅰ)连结和交于,连结,…………………………………………1分
为正方形,为中点,为中点,
,……………………………………………………………………………4分
平面,平面
平面.……………………………………………5分
(Ⅱ)作于
平面,平面,,
为正方形,,平面,
平面,………………………………………………………………………7分
,,平面………………………………8分
平面,平面,,
,,…………………………………………10分
四棱锥的体积…………………………………………12分
19.(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)
即……………………………………………………………………………4分
,
是以为首项,以为公差的等差数列…………………………………5分
…………………………………………………………………6分
(Ⅱ)对于
当为偶数时,可得即,
是以为首项,以为公比的等比数列;………………………8分
当为奇数时,可得即,
是以为首项,以为公差的等差数列…………………………10分
……………………………12分
20.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ),,
在处的切线与直线垂直,
………………………………………………………………3分
(Ⅱ)的定义域为,且.
令,得.…………………………………………………………4分
若,即时,,在上为增函数,;………………………………………………………………………5分
若,即时,,在上为减函数,
;……………………………………………………………6分
若,即时,
由于时,;时,,
所以
综上可知………………………………………8分
(Ⅲ)的定义域为,且.
时,,在上单调递减.……………………………9分
令,得
①若时,,在上,单调递增,由于在上单调递减,所以不能存在区间,使得和在区间上具有相同的单调性;………………………………………………………………………………10分
②若时,,在上,单调递减;
在上,单调递增.由于在上单调递减,存在区间,使得和在区间上均为减函数.
综上,当时,不能存在区间,使得和在区间上具有相同的单调性;当时,存在区间,使得和在区间上均为减函数.…………………………………………………………………………………………13分
21.(本小题满分14分)
解:
(I)设圆心的坐标为,半径为
由于动圆与圆相切,且与圆相内切,所以动
圆与圆只能内切
………………………………………2分
圆心的轨迹为以为焦点的椭圆,其中,
故圆心的轨迹:
…………………………………………………………4分
(II)设,直线,则直线
由可得:
,
……………………………6分
由可得:
………………………………8分
和的比值为一个常数,这个常数为……………………………………9分
(III),的面积的面积
到直线的距离
…………………………11分
令,则
(当且仅当,即,亦即时取等号)
当时,取最大值……………………………………………………14分
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