线性代数总结汇总+经典例题.docx
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线性代数总结汇总+经典例题.docx
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线性代数总结汇总+经典例题
(一)行列式概念和性质
线性代数知识点总结
1行列式
1、逆序数:
所有的逆序的总数
2、行列式定义:
不同行不同列元素乘积代数和
3、行列式性质:
(用于化简行列式)
(1))行列互换(转置),行列式的值不变
(2))两行(列)互换,行列式变号
(3))提公因式:
行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数k,等于用数k
乘此行列式
(4))拆列分配:
行列式中如果某一行(列)的元素都是两组数之和,那么这个行列式就等于两个行列式之和。
(5))一行(列)乘k加到另一行(列),行列式的值不变。
(6))两行成比例,行列式的值为0。
(二)重要行列式
4、上(下)三角(主对角线)行列式的值等于主对角线元素的乘积
5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘
6、Laplace展开式:
(A是m阶矩阵,B是n阶矩阵),则
7、n阶(n≥2)范德蒙德行列式
数学归纳法证明
★8、对角线的元素为a,其余元素为b的行列式的值:
(三)按行(列)展开
9、按行展开定理:
(1))任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值
(2))行列式中某一行(列)各个元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于0
(四)行列式公式
10、行列式七大公式:
(1)|kA|=kn|A|
(2)|AB|=|A|·|B|
(3)|AT|=|A|
(4)|A-1|=|A|-1
(5)|A*|=|A|n-1
(6))若A的特征值λ1、λ2、,,λn,则
(7))若A与B相似,则|A|=|B|
(五)克莱姆法则
11、克莱姆法则:
(1)非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯一解
(2))如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解,则它的系数行列式必为0
(3))若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解;如果方程组有非零解,那么必有D=0。
2矩阵
(一)矩阵的运算
1、矩阵乘法注意事项:
(1))矩阵乘法要求前列后行一致;
(2))矩阵乘法不满足交换律;(因式分解的公式对矩阵不适用,但若B=E,O,A-1,A*,f(A)时,可以用交换律)
(3))AB=O不能推出A=O或B=O。
2、转置的性质(5条)
(1)(A+B)T=AT+BT
(2)(kA)T=kAT
(3)(AB)T=BTAT
(4)|A|T=|A|
(5)(AT)T=A
(二)矩阵的逆
3、逆的定义:
AB=E或BA=E成立,称A可逆,B是A的逆矩阵,记为B=A-1
注:
A可逆的充要条件是|A|≠04、逆的性质:
(5条)
(1)(kA)-1=1/k·A-1(k≠0)
(2)(AB)-1=B-1·A-1
(3)|A-1|=|A|-1
(4)(AT)-1=(A-1)T
(5)(A-1)-1=A
5、逆的求法:
(1)A为抽象矩阵:
由定义或性质求解
(2)A为数字矩阵:
(A|E)→初等行变换→(E|A-1)
(三)矩阵的初等变换
6、初等行(列)变换定义:
(1))两行(列)互换;
(2))一行(列)乘非零常数c
(3))一行(列)乘k加到另一行(列)
7、初等矩阵:
单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。
8、初等变换与初等矩阵的性质:
(1))初等行(列)变换相当于左(右)乘相应的初等矩阵
(2))初等矩阵均为可逆矩阵,且Eij-1=Eij(i,j两行互换);
Ei-1(c)=Ei(1/c)(第i行(列)乘c)Eij-1(k)=Eij(-k)(第i行乘k加到j)
★(四)矩阵的秩
9、秩的定义:
非零子式的最高阶数
注:
(1)r(A)=0意味着所有元素为0,即A=O
(2)r(An×n)=n(满秩)←→|A|≠0←→A可逆;
r(A)<n←→|A|=0←→A不可逆;
(3)r(A)=r(r=1、2、,、n-1)←→r阶子式非零且所有r+1子式均为0。
10、秩的性质:
(7条)
(1)A为m×n阶矩阵,则r(A)≤min(m,n)
(2)r(A±B)≤r(A)±(B)
(3)r(AB)≤min{r(A),r(B)}
(4)r(kA)=r(A)(k≠0)
(5)r(A)=r(AC)(C是一个可逆矩阵)
(6)r(A)=r(AT)=r(ATA)=r(AAT)
(7)设A是m×n阶矩阵,B是n×s矩阵,AB=O,则r(A)+r(B)≤n
11、秩的求法:
(1)A为抽象矩阵:
由定义或性质求解;
(2)A为数字矩阵:
A→初等行变换→阶梯型(每行第一个非零元素下面的元素均为0),则r(A)=非零行的行数
(五)伴随矩阵
12、伴随矩阵的性质:
(8条)
(1)AA*=A*A=|A|E→★A*=|A|A-1
(2)(kA)*=kn-1A*
(3)(AB)*=B*A*
(4)|A*|=|A|n-1
(5)(AT)*=(A*)T
(6)(A-1)*=(A*)-1=A|A|-1
(7)(A*)*=|A|n-2·A
★(8)r(A*)=n(r(A)=n);r(A*)=1(r(A)=n-1);
r(A*)=0(r(A)<n-1)
(六)分块矩阵
13、分块矩阵的乘法:
要求前列后行分法相同。
3向量
(一)向量的概念及运算
1、向量的内积:
(α,β)=αTβ=βTα
2、长度定义:
||α||=
14、分块矩阵求逆:
3、正交定义:
(α,β)=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+,+anbn=0
4、正交矩阵的定义:
A为n阶矩阵,AAT=E←→A-1=AT←→ATA=E→|A|=±1
(二)线性组合和线性表示
5、线性表示的充要条件:
非零列向量β可由α1,α2,,,αs线性表示
(1)←→非齐次线性方程组(α1,α2,,,αs)(x1,x2,,,xs)T=β有解。
★
(2)←→r(α1,α2,,,αs)=r(α1,α2,,,αs,β)(系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,用于大题第一步的检验)
6、线性表示的充分条件:
(了解即可)
若α1,α2,,,αs线性无关,α1,α2,,,αs,β线性相关,则β可由α1,α2,,,αs线性表示。
7、线性表示的求法:
(大题第二步)
设α1,α2,,,αs线性无关,β可由其线性表示。
(α1,α2,,,αs|β)→初等行变换→(行最简形|系数)行最简形:
每行第一个非0的数为1,其余元素均为0
(三)线性相关和线性无关
8、线性相关注意事项:
(1))α线性相关←→α=0
(2))α1,α2线性相关←→α1,α2成比例
9、线性相关的充要条件:
向量组α1,α2,,,αs线性相关
(1)←→有个向量可由其余向量线性表示;
(2)←→齐次方程(α1,α2,,,αs)(x1,x2,,,xs)T=0有非零解;
★(3)←→r(α1,α2,,,αs)<s即秩小于个数特别地,n个n维列向量α1,α2,,,αn线性相关
(1)←→r(α1,α2,,,αn)<n
(2)←→|α1,α2,,,αn|=0
(3)←→(α1,α2,,,αn)不可逆
10、线性相关的充分条件:
(1))向量组含有零向量或成比例的向量必相关
(2))部分相关,则整体相关
(3))高维相关,则低维相关
(4))以少表多,多必相关
★推论:
n+1个n维向量一定线性相关
11、线性无关的充要条件
向量组α1,α2,,,αs线性无关
(1)←→任意向量均不能由其余向量线性表示;
(2)←→齐次方程(α1,α2,,,αs)(x1,x2,,,xs)T=0只有零解
(3)←→r(α1,α2,,,αs)=s
特别地,n个n维向量α1,α2,,,αn线性无关
←→r(α1,α2,,,αn)=n←→|α1,α2,,,αn|≠0←→矩阵可逆
12、线性无关的充分条件:
(1))整体无关,部分无关
(2))低维无关,高维无关
(3))正交的非零向量组线性无关
(4))不同特征值的特征向量无关
13、线性相关、线性无关判定
(1))定义法
★
(2)秩:
若小于阶数,线性相关;若等于阶数,线性无关
【专业知识补充】
(1)在矩阵左边乘列满秩矩阵(秩=列数),矩阵的秩不变;在矩阵右边乘行满秩矩阵,矩阵的秩不变。
(2))若n维列向量α1,α2,α3线性无关,β1,β2,β3可以由其线性表示,即(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)C,则r(β1,β2,β3)=r(C),从而线性无关。
←→r(β1,β2,β3)=3←→r(C)=3←→|C|≠0
(四)极大线性无关组与向量组的秩
14、极大线性无关组不唯一
15、向量组的秩:
极大无关组中向量的个数成为向量组的秩对比:
矩阵的秩:
非零子式的最高阶数
★注:
向量组α1,α2,,,αs的秩与矩阵A=(α1,α2,,,αs)的秩相等
★16、极大线性无关组的求法
(1))α1,α2,,,αs为抽象的:
定义法
(2))α1,α2,,,αs为数字的:
(α1,α2,,,αs)→初等行变换→阶梯型矩阵则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组
(五)向量空间
17、基(就是极大线性无关组)变换公式:
若α1,α2,,,αn与β1,β2,,,βn是n维向量空间V的两组基,则基变换公式为(β1,β2,,,βn)=(α1,α2,,,αn)Cn×n
其中,C是从基α1,α2,,,αn到β1,β2,,,βn的过渡矩阵。
C=(α1,α2,,,αn)-1(β1,β2,,,βn)
18、坐标变换公式:
向量γ在基α1,α2,,,αn与基β1,β2,,,βn的坐标分别为x=(x1,x2,,,xn)T,y=(y1,y2,,,yn)T,,即γ=x1α1+x2α2+,+xnαn=y1β1+y2β2+,
+ynβn,则坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x。
其中,C是从基α1,α2,,,αn到
β1,β2,,,βn的过渡矩阵。
C=(α1,α2,,,αn)-1(β1,β2,,,βn)
(六)Schmidt正交化
19、Schmidt正交化
设α1,α2,α3线性无关
(1)正交化令β1=α1
(2)单位化
4线性方程组
(一)方程组的表达形与解向量
1、解的形式:
(1)一般形式
(2)矩阵形式:
Ax=b;
(3)向量形式:
A=(α1,α2,,,αn)
2、解的定义:
若η=(c1,c2,,,cn)T满足方程组Ax=b,即Aη=b,称η是Ax=b的一个解(向量)
(二)解的判定与性质
3、齐次方程组:
(1))只有零解←→r(A)=n(n为A的列数或是未知数x的个数)
(2))有非零解←→r(A)<n4、非齐次方程组:
(1)无解←→r(A)<r(A|b)←→r(A)=r(A)-1
(2))唯一解←→r(A)=r(A|b)=n
(3))无穷多解←→r(A)=r(A|b)<n5、解的性质:
(1))若ξ1,ξ2是Ax=0的解,则k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解
(2))若ξ是Ax=0的解,η是Ax=b的解,则ξ+η是Ax=b的解
(3))若η1,η2是Ax=b的解,则η1-η2是Ax=0的解
【推广】
(1))设η1,η2,,,ηs是Ax=b的解,则k1η1+k2η2+,+ksηs为
Ax=b的解(当Σki=1)
Ax=0的解(当Σki=0)
(2))设η1,η2,,,ηs是Ax=b的s个线性无关的解,则η2-η1,η3-η1,,,ηs-η1为Ax=0的s-1个线性无关的解。
变式:
①η1-η2,η3-η2,,,ηs-η2
②η2-η1,η3-η2,,,ηs-ηs-1
(三)基础解系
6、基础解系定义:
(1))ξ1,ξ2,,,ξs是Ax=0的解
(2))ξ1,ξ2,,,ξs线性相关
(3))Ax=0的所有解均可由其线性表示
→基础解系即所有解的极大无关组注:
基础解系不唯一。
任意n-r(A)个线性无关的解均可作为基础解系。
★7、重要结论:
(证明也很重要)
设A施m×n阶矩阵,B是n×s阶矩阵,AB=O
(1)B的列向量均为方程Ax=0的解
(2)r(A)+r(B)≤n(第2章,秩)8、总结:
基础解系的求法
(1)A为抽象的:
由定义或性质凑n-r(A)个线性无关的解
(2)A为数字的:
A→初等行变换→阶梯型
自由未知量分别取1,0,0;0,1,0;0,0,1;代入解得非自由未知量得到基础解系
(四)解的结构(通解)
9、齐次线性方程组的通解(所有解)
设r(A)=r,ξ1,ξ2,,,ξn-r为Ax=0的基础解系,
则Ax=0的通解为k1η1+k2η2+,+kn-rηn-r(其中k1,k2,,,kn-r为任意常数)
10、非齐次线性方程组的通解
设r(A)=r,ξ1,ξ2,,,ξn-r为Ax=0的基础解系,η为Ax=b的特解,则Ax=b的通解为η+k1η1+k2η2+,+kn-rηn-r(其中k1,k2,,,kn-r为任意常数)
(五)公共解与同解
11、公共解定义:
如果α既是方程组Ax=0的解,又是方程组Bx=0的解,则称α为其公共解
12、非零公共解的充要条件:
方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解
←→有非零解←→
13、重要结论(需要掌握证明)
(1))设A是m×n阶矩阵,则齐次方程ATAx=0与Ax=0同解,r(ATA)=r(A)
(2))设A是m×n阶矩阵,r(A)=n,B是n×s阶矩阵,则齐次方程ABx=0与Bx=0同解,r(AB)=r(B)
5特征值与特征向量
(一)矩阵的特征值与特征向量
1、特征值、特征向量的定义:
设A为n阶矩阵,如果存在数λ及非零列向量α,使得Aα=λα,称α是矩阵A属于特征值λ的特征向量。
2、特征多项式、特征方程的定义:
|λE-A|称为矩阵A的特征多项式(λ的n次多项式)。
|λE-A|=0称为矩阵A的特征方程(λ的n次方程)。
注:
特征方程可以写为|A-λE|=0
3、重要结论:
(1)若α为齐次方程Ax=0的非零解,则Aα=0·α,即α为矩阵A特征值λ=0
的特征向量
(2)A的各行元素和为k,则(1,1,,,1)T为特征值为k的特征向量。
(3)上(下)三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。
△4、总结:
特征值与特征向量的求法
(1)A为抽象的:
由定义或性质凑
(2)A为数字的:
由特征方程法求解5、特征方程法:
(1))解特征方程|λE-A|=0,得矩阵A的n个特征值λ1,λ2,,,λn
注:
n次方程必须有n个根(可有多重根,写作λ1=λ2=,=λs=实数,不能省略)
(2))解齐次方程(λiE-A)=0,得属于特征值λi的线性无关的特征向量,即其基础解系(共n-r(λiE-A)个解)
6、性质:
(1)不同特征值的特征向量线性无关
(2)k重特征值最多k个线性无关的特征向量
1≤n-r(λiE-A)≤ki
(3))设A的特征值为λ1,λ2,,,λn,则|A|=Πλi,Σλi=Σaii
(4))当r(A)=1,即A=αβT,其中α,β均为n维非零列向量,则A的特征值为λ1=Σaii=αTβ=βTα,λ2=,=λn=0
(5)
A
A
PAP(相
-1
A
f(A)
T
-1
A*
似)
λ
λ
f(λ)
λ
-1
|A|λ
-1
λ
α
α
/
α
α
P-1α
)设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量,则
(二)相似矩阵
7、相似矩阵的定义:
设A、B均为n阶矩阵,如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP,称A与B相似,记作A~B
8、相似矩阵的性质
(1))若A与B相似,则f(A)与f(B)相似
(2))若A与B相似,B与C相似,则A与C相似
(3))相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹(即主对角线元素之和)
【推广】
(4))若A与B相似,则AB与BA相似,AT与BT相似,A-1与B-1相似,A*与B*
也相似
(三)矩阵的相似对角化
9、相似对角化定义:
如果A与对角矩阵相似,即存在可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ=,
称A可相似对角化。
注:
Aαi=λiαi(αi≠0,由于P可逆),故P的每一列均为矩阵A的特征值λi
的特征向量
10、相似对角化的充要条件
(1)A有n个线性无关的特征向量
(2)A的k重特征值有k个线性无关的特征向量
11、相似对角化的充分条件:
(1)A有n个不同的特征值(不同特征值的特征向量线性无关)
(2)A为实对称矩阵12、重要结论:
(1))若A可相似对角化,则r(A)为非零特征值的个数,n-r(A)为零特征值
的个数
(2))若A不可相似对角化,r(A)不一定为非零特征值的个数
(四)实对称矩阵
13、性质
(1))特征值全为实数
(2))不同特征值的特征向量正交
(3)A可相似对角化,即存在可逆矩阵P使得P-1AP=Λ
(4)A可正交相似对角化,即存在正交矩阵Q,使得Q-1AQ=QTAQΛ=
(一)二次型及其标准形
1、二次型:
(1))一般形式
(2))矩阵形式(常用)
2、标准形:
6二次型
如果二次型只含平方项,即f(x1,x2,,,xn)=dx2+d2x22+,+dnxn2
11
这样的二次型称为标准形(对角线)
3、二次型化为标准形的方法:
(1))配方法:
通过可逆线性变换x=Cy(C可逆),将二次型化为标准形。
其中,可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。
★
(2)正交变换法:
通过正交变换x=Qy,将二次型化为标准形λ1y12+λ2y2+,+λnyn2
2
其中,λ1,λ2,,,λn是A的n个特征值,Q为A的正交矩阵注:
正交矩阵Q不唯一,γi与λi对应即可。
(二)惯性定理及规范形
4、定义:
正惯性指数:
标准形中正平方项的个数称为正惯性指数,记为p;负惯性指数:
标准形中负平方项的个数称为负惯性指数,记为q;
规范形:
f=z12+,z
2-z2-,-z
2称为二次型的规范形。
5、惯性定理:
pp+1
p+q
二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形,其正负惯性指数不变。
注:
(1)由于正负惯性指数不变,所以规范形唯一。
(2))p=正特征值的个数,q=负特征值的个数,p+q=非零特征值的个数=r(A)
(三)合同矩阵
6、定义:
A、B均为n阶实对称矩阵,若存在可逆矩阵C,使得B=CTAC,称A与B合同
△7、总结:
n阶实对称矩阵A、B的关系
(1))A、B相似(B=P-1AP)←→相同的特征值
(2))A、B合同(B=CTAC)←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数
(3))A、B等价(B=PAQ)←→r(A)=r(B)注:
实对称矩阵相似必合同,合同必等价
(四)正定二次型与正定矩阵
8、正定的定义
二次型xTAx,如果任意x≠0,恒有xTAx>0,则称二次型正定,并称实对称矩阵A是正定矩阵。
9、n元二次型xTAx正定充要条件:
(1)A的正惯性指数为n
(2)A与E合同,即存在可逆矩阵C,使得A=CTC或CTAC=E
(3)A的特征值均大于0
(4)A的顺序主子式均大于0(k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式)10、n元二次型xTAx正定必要条件:
(1)aii>0
(2)|A|>0
11、总结:
二次型xTAx正定判定(大题)
(1)A为数字:
顺序主子式均大于0
(2)A为抽象:
①证A为实对称矩阵:
AT=A;②再由定义或特征值判定12、重要结论:
(1))若A是正定矩阵,则kA(k>0),Ak,AT,A-1,A*正定
(2))若A、B均为正定矩阵,则A+B正定
线性代数行列式经典例题例1计算元素为aij=|i-j|的n阶行列式.
解方法1由题设知,
a11=0,a12
1,
a1n
n1,
,故
0
1
1
0
n
n
1
2
ri
ri1
Dn
0
1
1
1
n1
1
i
n,n1,
2
n1n2
0
1
1
1
n1
cj
cn
0
n
2
n1
1
j1,
n1
(
1)n12n
2(n1)
0
0
0
2
0
1
其中第一步用的是从最后一行起,逐行减前一行.第二步用的每列加第
n
0
1
1
0
n
n
1
2
ri
ri1
方法2
Dn
1
1
1
1
1
1
i1,2,,n1
n1n2
0
n1n2
0
1
1
0
2
0
cjc10
2,,n
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