《31 函数的概念及其表示》课堂教学教案教学设计统编人教A版.docx
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《31函数的概念及其表示》课堂教学教案教学设计统编人教A版
3.1.2函数的表示法
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修一》(人教 A 版)第三章《函数的概念与性
质》,本节课是第 2 课时,本节课主要学习函数的三种表示方法及其简单应用,进一步加深对函数
概念的理解。
课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法:
解析法,图象法,列表法.函数的
不同表示方法能丰富对函数的认识,帮助理解抽象的函数概念.特别是在信息技术环境下,可以使
函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现,使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重
要的数学思想方法.因此,在研究函数时,要充分发挥图象的直观作用.
课程目标
A.在实际情景中,会根据不同的需要选择
学科素养
1.数学抽象:
函数解析法及能由条件求函数的解析式;
恰当的方法(解析式法、图象法、列表法) 2.逻辑推理:
求函数的解析式;
表示函数;
3.数学运算:
由函数解析式求值和函数解析式得计算;
B.了解简单的分段函数,并能简单地应用;
4.直观想象:
由函数的图象表示函数;
5.数学模型:
由实际问题构造合理的函数模型。
1.教学重点:
函数的三种表示方法,分段函数的概念;
2.教学难点:
根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,分段函数的表示及其图象。
多媒体
1
教学过程教学设计意图
核心素养目标
2
一、复习回顾,温故知新
1.初中学过哪几种表示函数的方法?
【答案】表示函数的方法,常用的有解析法、列表法和图象法三种.
⑴解析法:
就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
如,s=60t2,A=r2,S=2,y=ax2+bx+c(a≠0),y=x+2 等等都是用解析式通过复习初中所学
表示函数关系的.3.1.1 的问题 1、2.
(2)图象法:
就是用图象表示两个变量之间的对应关系.如 3.1.1 的
问题 3.
(3)列表法:
就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系 .如
3.1.1 的问题 4.
二、探索新知
例1某种笔记本的单价是 5 元,买 x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记
本需要 y 元.试用函数的三种表示法表示函数 y=f(x).
函数的表示方法,
引入本节新课。
建
立知识间的联系,
提高学生概括、类
比推理的能力。
解 :
笔记本
这个函数
的 定
数 x
1
2
3
4
5
义域是数
集
钱数 y
5
10
15
20
25
通过例题让学
{1,2,3,4,5}.
用解析法可将函数 y=f(x)表示为 y=5x,x∈{1,2,3,4,5}。
用列表法可将 y=f(x)表示为
生进一步理解函数
的三种表示方法,并
分析三种表示方法
的不同,提高学生的
解决问题、分析问题
的能力。
3
用图象法可将 y=f(x)表示为
思考 1:
比较三种表示法,它们各自的特点是什么?
【答案】解析法:
①函数关系清楚、精确;
②容易从自变量的值求出其对应的函数值;③便于研究函数的性质.
解析法是中学研究函数的主要表达方法.
图象法:
能形象直观的表示出函数的变化趋势,是今后利用数形结合
思想解题的基础.
列表法:
不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值,当
自变量的值的个数较少时使用.
列表法在实际生产和生活中有广泛的应用。
思考 2:
所有的函数都能用解析法表示吗?
【答案】不是所有的函数都能用解析法表示.例如,某天 24 整点的整
点数与这一刻的气温的关系.
例 2.画出函数 y=|x| 的图象.
通过思考,总
结函数的三种表示
方法的特点,提高
学生分析问题、概
括能力。
解:
由绝对值的概念,我们有 y =| x |= ⎨ x, x ≥ 0
⎩ - x, x < 0
。
通过例题讲解,让学
4
所以,函数 y=|x| 的图象如图所
示。
生明白怎样把函数
的解析式中绝对值
号去掉,教给学生分
段函数的定义。
我们把这样的函数称为分段函数。
例 3.给定函数 f ( x) = x + 1, g ( x) = ( x + 1) 2,x ∈ R.
(1)在同一直角坐标系中画出函数 f ( x), g ( x) 的图象;
通过例题练习分段
( 2 ) ∀x ∈ R,用 M(x) 表 示 f ( x), g ( x) 中 的 较 大 者 , 记 为函数图象的画法及
M ( x) = max{ f ( x), g ( x)} , 试分别用图象法和解析法表示函数
M(x).
解:
(1) 在同一直角坐标系中画出函数 f ( x), g ( x) 的图象,如图。
其表示,提高学生
解决问题的能力。
(2)解:
由
(1)中函数图象中函数取值的情况,结合函数 M(x)的定
义,可得函数 M(x)的图象,如图
5
结合函数的图象,可得函数 M(x)的解析式为
⎧ ( x + 1)2 , x ≤ -1
⎪
⎩
例 4:
下表是某校高一
(1)班三名同学在高一学年度六次数学测
试的成绩及班级平均分表.
对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.
解:
从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩,但是不容易看
出每位同学的成绩的变化情况.可以将“成绩”与“测试序号”之间
的关系用函数图像表示出来,如图1,那么就能比较直观地看到成绩
变化的情况.
为了更容易的看出学生的学习情况,将离散的点用虚线连接,如
图 2。
通过例题进一
步比较列表法、图
象法,让学生进一
步理解这两种表示
方法的优缺点,提
高学生的观察、概
括能力。
6
在图 2 中看到,王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平,学习
情况比较稳定而且比较优秀.张诚同学的数学成绩不稳定,总是在班
级平均水平上下波动,而且幅度较大.赵磊同学的数学成绩低于平均
水平,但是他的成绩呈曲线上升的趋势,从而表明他的数学成绩在稳
步提高.
例 5依法纳税是每个公民应尽的义务,个人取得的所得应按照《中
华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税(简称个税)。
2019 年 1 月 1 日起,个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除
数确定,计算公式为
个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数①。
应纳税所得额的计算公式为:
应纳税所得额=综合所得收入额-基本
减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除
②。
其中,“基本减除费用”(免征额)为每年 60000 元。
税率与速算扣
除数见下表。
7
(1) 设全年应纳税所得额为 t,应缴纳个税税额为 y,求 y = f (t ) ,
并画出图象。
(2)小王全年综合所得收入额为 189600 元,假定缴纳的基本养老保
险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得
收入额的比例分别是 8%,2%,1%,9%,专项附加扣除是 52800 元,依
法确定其他扣除是 4560 元,那么他全年应缴纳多少综合所得个税?
解:
(1) 根据上表,可得函数 y = f (t ) 的解析式为
提高对性质的证
明,进一步理解与
掌握性质。
函数图象如图所示
(2)根据公式②,小王全年应缴纳所得额为
t=189600-60000-189600(8%+2%+1%+9%)-52800-4560
8
=0.8×189600-117360
=34320
将 t 的值代入③,得 y=0.03×34320=1029.6
所以,小王应缴纳的综合所得个税税额为 1029.6 元。
通过例题的讲解,
让学生进一步理解
分段函数的解析式
得写法、求法,分
段函数的图象的画
法以及分段函数的
求值,提高学生解
决与分析问题的能
力。
三、达标检测
1.下列表示函数 y=f(x),则 f(11)=()
9
x
y
0 2 5≤x<10 3 10≤x<15 15≤x≤20 4 5 通过练习巩固本节 A.2B.3C.4D.5 【解析】由表可知 f(11)=4. 【答案】C ⎧⎪x+2,x≥0 2.设 f(x)=⎨则 f[f(-1)]=() ⎪1,x<0, A.3B.1C.0D.-1 ⎧⎪x+2,x≥0 【解析】 ∵f(x)=⎨∴f[f(-1)]=f (1)=1+2=3.故选 ⎪1,x<0, A. 【答案】A 3.f(x)=|x-1|的图象是() 所学知识,通过学 生解决问题的能 力,感悟其中蕴含 的数学思想,增强 学生的应用意识。 ⎧⎪x-1,x≥1, 【解析】∵f(x)=|x-1|=⎨当 x=1 时,f (1)=0, ⎪1-x,x<1, 可排除 A、C.又 x=-1 时,f(-1)=2,排除 D. 【答案】B ⎧x2+1(x≤0) 4.已知函数 y=⎨使函数值为 5 的 x 的值是() ⎪-2x(x>0), 5 2 5 2 10 【解析】由题意,当 x≤0 时,f(x)=x2+1=5,得 x=±2,又 x≤0,所以 x=-2; 5 当 x>0 时,f(x)=-2x=5,得 x=-2,舍去.故选 A. 【答案】A ⎧⎪x+4,x≤0 5.已知函数 f(x)=⎨x2-2x,0 ⎪⎩-x+2,x>4. (1)求 f{f[f(5)]}的值; (2)画出函数的图象. 【解】 (1)∵5>4,∴f(5)=-5+2=-3. ∵-3<0,∴f[f(5)]=f(-3)=-3+4=1. ∵0<1<4,∴f{f[f(5)]}=f (1)=12-2×1=-1, 即 f{f[f(5)]}=-1. (2)图象如图所示. 四、小结 1. 理解函数的三种表示方法; 2.在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数; 3.注意分段函数的表示方法及其图象的画法; 五、作业 11 通过总结,让学生 进一步巩固本节所 学内容,提高概括能 力,提高学生的数学 运算能力和逻辑推 理能力。 习题 3.16,7,9 题 函数的表示法在初中时已经涉及,但是只是简单的了解。 本节课对着三种表示法进行进一步的 研究,这节课的难点在于针对不同的问题如何对这三种方法进行选择。 针对这个问题,通过几个例 子,让学生来比较,这样学生能很好地区分这三种表示方法。 12
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