数学第三课三元一次方程组.docx

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数学第三课三元一次方程组

三元一次方程组解法和利用方程组解决实际问题知识归纳

三元一次方程组的解法

（1）、三元一次方程的概念

三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。

（2）、三元一次方程组的概念

一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。

（3）、三元一次方程组的解法

（1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。

（2）三元一次方程组解题的基本步骤：

①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。

②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；

③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。

典例剖析：

例　解方程组

思路探索：

此方程组中没有一个未知数的系数的绝对值是1，所以考虑用加减消元法，选择消去系数较简单的未知数x，由①和②，①和③两次消元，得到关于y,z的二元一次方程组，最后求x。

解析：

①×3,得6x＋18y＋9z=18④

　　②×2,得6x＋30y＋14z=12⑤

　　⑤－④,得　12y＋5z=－6

①×2，得4x＋12y＋6z=12

－③,得21y＋2z=3

由⑥和

组成方程组

，　解这个方程组，得

　　把y=

z=－2代入①，得2x＋6×

＋3×（－2）=6,∴x=5

　　∴

规律总结：

解三元一次方程组，除了要考虑好选择哪种方法和决定消去哪一个未知数之外，关键的一步是由三“元”化为二“元”，特别注意两次消元过程中，方程组中每个方程至少要用到1次，并且

（1），

（2），（3）3个方程中先由哪两个方程消某一个未知数，再由哪两个方程（一个是用过的）仍然消这个未知数，防止第一次消去y，第二次消去z或x，仍然得到三元一次方程组，没有达到消“元”的目的。

课时训练试题：

解下列方程组

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

（三）实际问题与二元一次方程：

1.利用二元一次方程组解决问题的基本过程：

2.实际问题向数学问题的转化：

3.设未知数有两种设元方法——直接设元、间接设元.

当直接设元不易列出方程时，用间接设元.在列方程（组）的过程中，关键寻找出“等量关系”，根据等量关系，决定直接设元，还是间接设元

4.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：

设：

用两个字母表示问题中的两个未知数；

列：

列出方程组（`分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；

解：

解方程组，求出未知数的值；

验：

检验求得的值是否正确和符合实际情形；

答：

写出答案.

5.常见题型有以下几种情形：

（1）和、差、倍、分问题。

此问题中常用“多、少、大、小、几分之几”或“增加、减少、缩小”等等词语体现等量关系。

审题时要抓住关键词，确定标准量与比校量，并注意每个词的细微差别。

•例1.有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。

3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？

•分析：

等量关系一次运货的总吨数。

（2）行程问题（基本关系：

路程＝速度×时间。

）

　　相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：

各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为等量关系。

甲走的路程+乙走的路程=全路程

追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：

两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系。

1同时不同地：

甲的时间=乙的时间

甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程

2同地不同时；甲的时间=乙的时间-时间差

甲的路程=乙的路程

　　环形跑道上的相遇和追及问题：

同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。

船（飞机）航行问题：

相对运动的合速度关系是：

顺水（风）速度＝静水（无风）中速度＋水（风）流速度；

逆水（风）速度＝静水（无风）中速度－水（风）流速度。

车上（离）桥问题：

①车上桥指车头接触桥到车尾接触桥的一段过程，所走路程为一个车长。

②车离桥指车头离开桥到车尾离开桥的一段路程。

所走的路程为一个成长

③车过桥指车头接触桥到车尾离开桥的一段路程，所走路成为一个车长+桥长

④车在桥上指车尾接触桥到车头离开桥的一段路程，所行路成为桥长-车长

行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点。

例2、张强与李毅二人分别从相距20千米的两地出发，相向而行。

如果张强比李毅早出发30分钟，那么在李毅出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米。

求张强、李毅每小时各走多少千米？

•例3.甲，乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由两地相向而行，1小时20分钟相遇。

相遇后，拖拉机继续前行，汽车在相遇处停留1小时后掉转车头原速返回，且半小时后追上拖拉机。

这时，汽车，拖拉机各走了多少千米？

汽车是Y，拖拉机是X

4/3X+4/3Y=160

1.5X=0.5YY=30,X=10

•例4;甲乙两人分别从相距30千米的AB两地同时相向而行,经历3小时相距3千米,再经过2小时,甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍,求甲乙两人的速度.

•分析:

•等量关系:

1.两人相遇路程和=总路程

•2.所剩路程的倍数关系

（3）工程问题

工作总量＝工作时间×工作效率；

工作时间＝工作总量÷工作效率；

工作效率＝工作总量÷工作时间

甲的工作量＋乙的工作量＝甲乙合作的工作总量，

其基本数量关系：

工作总量＝工作效率×工作时间；合做的效率＝各单独做的效率的和。

当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”，分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。

例5.某城市为缓解缺水状况，实施了一项引水工程，就是把200千米以外的一条大河的水引到城市中来，把这个工程交给了甲乙两个施工队，工期50天完成，甲乙两队合作了30天后，乙队因另外有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多修了0.6千米，10天后乙队回来，为了保证工期，甲队速度不变，乙队每天也比原来多修0.4千米，结果如期完成。

问：

甲，乙两队原计划每天各修多少千米？

工作量=工作效率×工作时间（相对应的）

•分析：

•等量关系：

1.两施工队原来的速度和2.总工程量

•解：

设甲队原计划每天修x千米，乙队每天修y千米。

例6.（遵义07）某中学准备改造面积为

的旧操场，现有甲、乙两个工程队都想承建这项工程．经协商后得知，甲工程队单独改造这操场比乙工程队多用9天；乙工程队每天比甲工程队多改造

；甲工程队每天所需费用160元，乙工程队每天所需费用200元．

（1）求甲乙两个工程队每天各改造操场多少平方米？

（2）在改造操场的过程中，学校要委派一名管理人员进行质量监督，并由学校负担他每天25元的生活补助费，现有以下三种方案供选择．

第一种方案：

由甲单独改造；

第二种方案：

由乙单独改造；

第三种方案：

由甲、乙一起同时进行改造；

你认为哪一种方案既省时又省钱？

试比较说明．

例7、某工厂为生产一种零件，购买了一台昂贵的特殊的机床，有两名工人轮流生产，每天只能工作8小时。

如果一天中，甲工作5小时，乙工作3小时，则一天可生产67只零件；如果一天中甲工作3小时，乙工作5小时，则一天可生产69只零件，问：

甲乙两工人每小时各生产多少只零件？

（4）、经济问题

例8.某人用24000元买进甲,乙两种股票,在甲股票升值15%,乙股票下跌10%时卖出,共获利1350元,试问此人买的甲乙两股票各是多少元?

•分析:

利润=成本×利润率

总利润=各分利润之和

等量关系:

1.股票的成本2.获得利润

解:

设买进甲x元,买进乙y元.则甲股票获利为0.15x元,乙股票获利为-0.1y元.

x+y=24000

0.15x-0.1y=1350

（5）、分配问题

•例9.初一某班45名同学被平均分配到甲,乙,丙三处打扫环境卫生.甲处的同学最先完成打扫任务,班卫生委员根据实际情况及时把甲处的同学全部调到乙,丙两处支援,调动后乙处的人数恰好为丙处人数的1.5倍.问从甲处调到乙,丙各多少人?

•分析:

1.甲处人数=调出人数

•2.重新分配后的乙丙人数之比

•

中考题荟萃

1.（06年山东济南）某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐。

（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；

（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？

请说明理由。

2.（江西07）23．2008年北京奥运会的比赛门票开始接受公众预订．下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷准备用8000元预订10张下表中比赛项目的门票．

（1）若全部资金用来预订男篮门票和乒乓球门票，问他可以订男篮门票和乒乓球门票各多少张？

（2）若在现有资金8000元允许的范围内和总票数不变的前提下，他想预订下表中三种球类门票，其中男篮门票数与足球门票数相同，且乒乓球门票的费用不超过男篮门票的费用，求他能预订三种球类门票各多少张？

比赛项目

票价（元／场）

男篮

1000

足球

800

乒乓球

500

3.（湘潭07）星期天，七年级1、2两班部分同学相约去某公园玩碰碰车或划船．已知玩碰碰车的同学每人租用一辆车，划船的同学每4人合租一条船，两班各花了115元．活动人数如下表：

班级

玩碰碰车的同学

划船的同学

1

11人

16人

2

8人

20人

试求碰碰车每辆车租金多少元；游船每条船租金多少元．

4.（07海南省）“海之南”水果种植场今年收获的“妃子笑”和“无核Ⅰ号”两种荔枝共3200千克，全部售出后收入30400元。

已知“妃子笑”荔枝每千克售价8元，“无核Ⅰ号”荔枝每千克售价12元，问该种植场今年这两种荔枝各收获多少千克？

5．（07河南省）某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：

注：

（获利＝售价－进价）

（1）该商场购进A、B两种商品各多少件?

（2）商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元?

A

B

进价（元/件）

1200

1000

售价（元/件）

1380

1200