初中数学教材中的数学文化试题赏释.docx
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初中数学教材中的数学文化试题赏释
初中数学教材中的数学文化试题赏释
屈景兰潘祥万
2017高考考试大纲修订内容数学部分的要求是:
“在能力要求内涵方面,增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求,增加了数学文化的要求。
同时对能力要求进行了到位的说明,使能力要求更加明确具体”。
在整个考纲的修改部分,特别强调了要增加对于数学文化的考查。
作为教学一线的老师,除了关注初中数学教学的实际外,也不得不围绕高考这根指挥棒开展一些教学工作。
而具体的体现就是在其他兄弟省、市的中考数学试卷里就出现了与数学文化有关的题目。
这些题型的出现,其意图是向通过解题让孩子感受中国的传统文化之美并予以传承。
本文就对教材中涉及的数学文化试题和一些省、市的中考试题做一个简单的总结以飨同仁。
一、源于“实际生活中的收、支”的表示问题。
在《数学》七年级(上)有理数这章开始讲正、负数时,知道数的产生和发展与生活有关的。
如实物计数,结绳计数,刻道计数等是原始社会的计数方法,说明当时如何用小石子检查放牧归来的羊的只数;用结绳的方法统计猎物的个数;用在木头上刻道的方法记录捕鱼的等等。
古时候人们计数的方法有(结绳)记数,(筹码)记数和(算盘)记数,而算筹也是一种表示数的工具。
在中国的古代用算筹进行计算,红色(或正放)算筹表示正数,黑色(或斜放)算筹表示负数。
例1.史料证明:
追溯到两千多年前,中国人就开始使用负数,且在世界上也是首创。
而中国古代数学着作《九章算术》的“方程”一章,在世界数学史上首次正式引入负数。
如果收入100元记作+100元,那么-60元表示()
A.支出40元B.收入40元C.支出60元D.收入60元。
解析:
随着时代的进步,社会向前发展,一些繁杂(摆算筹)的计数方法也得改进。
后来的数学家们用“+、–”表示正、负数,知道其涵义后,书写简洁又方便。
赏释:
以教材中旁白作为切入点,了解古时人们计数的方式,进而考查正负数在实际生活中的意义。
二、源于《阅读与思考》中的有关问题
(一)中国人最先使用负数〖1〗、〖2〗、
中国是世界上首先使用负数的国家。
而负数产生的原因有:
一是来源于生活和生产实际;另一个是解方程的需要。
战国时期李悝所着的《法经》中已出现使用负数的实例:
“衣五人终岁用千五百不足四百五十。
”在甘肃居延出土的汉简中,出现了大量的“负算”……以负与得相比较,表示缺少、亏空之意,由此说明负数产生于生活实践的需要;据世界上第一部关于负数完整介绍的古算书《九章算术》记载,由于在解方程时遇到了小数减大数的情况,为了使方程能解,数学家发明了现在使用负数。
同时该书率先给出了负数的定义:
“今两算得失相反,要令正负以名之”,并辩证地阐明:
“言负者未必负于少,言正者未必正于多。
”比意大利数学家邦贝利在他的《代数学》中给出负数的定义要早得多。
例2.计算:
—+10—+
解:
原式=——+(10+)=—+=
解析:
主要是有理数加减法则及运算律的考查。
赏释:
有理数加减法则,在我国的古代数学着作《九章算术》的“方程”一章中,并给出名为“正负术”的算法。
而“正负术”就是今天的正负数加减法则。
遗憾的是未能总结出今天所学习的乘除法法则。
直到1299年元代朱世杰的《算学启蒙》中才有明确记载:
“同名相乘为正,异名相乘为负,同名相除所得为正,异名相除所得为负。
”这与我们现在学习的有理数乘除法法则是一致的。
(二)与“‘方程’史话〖3〗”有关的方程试题
人们对方程的表示及解法的研究有很久远的历史。
不管是公元820年左右中亚西亚的数学家阿尔-花拉子米着的《对消与还原》,还是公元前200~前50年古代中国的数学着作《九章算术》及宋元时期数学家创立的“天元术”,用“天元”表示未知数(与现今代数中的列一元方程解应用题的方法基本上是一致)而建立方程。
这种方法的代表着作是数学家李冶写的《测圆海镜》,书中的“立天元一”就相当于现在的设未知数x。
而后的清代数学家李善兰把国外数学着作翻译过来,就将equation一词译为“方程”,即含有未知数的等式称为方程,沿用至今。
例3.在《九章算术》的“方程”一章里,一次方程组是由算筹布置而成的,如图1,图2,图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x,y的系数与相应的常数项,把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来,就是
(1)写出图2所示的算筹图所表示的方程组;
(2)请你求出在
(1)中写出的方程组的解.
分析:
由图1可得1个竖直的算筹数算1,一个横的算筹数算10,每一横行是一个方程,第一个数是x的系数,第二个数是y的系数,第三个数是相加的结果:
前面的表示十位,后面的表示个位,由此可得图2的表达式.
①②
(1)根据图1所示的算筹的表示方法,可推出图2所示的算筹的表示的方程组:
;
(2)①×2-②得,-y=-5,
即y=5,
把y=5代入②得,4x+3×5=27,
x=3.
所以方程组的解为:
点评:
考查列二元一次方程组;关键是读懂图意,得到所给未知数的系数及相加结果.
例4.(2017年连云港市)《算法统宗》里有这样一首诗:
“我问开店李三公,众客来到此店中,一房七客多七客,一房九客一房空。
”则客人有位,客房有间。
例5.(2016.铜仁)我国古代名着《九章算术》中有一题“今有凫起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海。
今凫雁俱起,问何日相逢?
”(凫:
野鸭)设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞,经过
天相遇,可列方程为()
A.
B.
C.
D.
例6.元代朱世杰所着的《算学启蒙》里有这样一道题:
“良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里,驽马先行一十二日,问良马几日追及之?
”良马天可以追上驽马。
解析:
三个题都是列方程与解方程的问题,是课程标准要求及考查的知识点。
赏释:
对上述三个试题,均是我国古典数学着作《算法统宗》、《九章算术》、《算学启蒙》(人教版七年级上P112中的注释)中的方程问题。
而对一次方程或一次方程组的解法在《九章算术》中有比较完整的论述。
让学生了解我国数学文化的辉煌成就,进而增强民族自豪感和学习数学的信心。
过去代数的研究主要是对方程的研究。
在我国南宋数学家杨辉所着《田亩比类乘除算法》中有这样一个问题:
“直田积(矩形面积)八百六十四步,只云阔与长共六十步,问阔及长各几步。
答:
阔二十四步,长三十六步。
”这个问题实际上是古代的一元二次方程问题。
(二)源于生活中的长度测量问题
无论何时,在日常的生活或生产中,人们经常会遇到计算和测量。
随着科学的不断发展,而计量单位也不断的在更新,精确度也提高了。
我们见过的测长度的工具有:
木尺、塑料尺、卷尺、钢卡尺、游标卡尺等。
如果对测量精度要求不高,我们也可用肘、拃、步长等来估计距离。
如我国的传统中医理论中依据经络脉理寻求穴位等,也有测量。
例7.《索竿之长》问题
一支竹竿一条索,索比竿子长一托。
对折索子来量竿,却比竿子短一托。
则索长托,竿长托。
解析:
这是生活中的一个测量问题。
一托是一个人的两只手臂伸直的长度,与人的手臂长短有关,一般人的一托是5尺,就是米左右。
赏释:
主要应搞清楚古时候的计量有哪些,可以不必纠缠与现在长度有何关联,没必要考察。
虽是一个从测量问题,实则归为方程问题。
例8.(2017.泸州,2016.太原)已知三角形的三遍长分别为
,求其面积问题,中外数学家曾经进行过深入的研究,故希腊的几何学甲海伦给出求其面积的海伦公式
,其中
;我国南宋时期数学家秦九韶(约1202-1261)曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式
,若一个三角形的三边分别为
,其面积是()
A.
B.
C.
D.
解析:
此题是源于二次根式这章中“阅读与思考”中海伦—秦九韶公式(三斜求积公式)的介绍为背景,考查学生对二次根式代值计算化简问题。
赏释:
秦九韶在1247年完成的着作《数书九章》就总结了这个公式。
而《数书九章》是一部划时代的数学巨作,全书共18卷,81题,分九大类:
大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类。
而此书实用性强,所设问题复杂,解题步骤详,对“大衍求一术”(一次同余组解法)和“正负开方术”(高次方程的数值解法)等有深入研究。
(三)源于“杨辉三角〖4〗”问题
2011版初中数学课程标准指出:
数学是人类文化的重要组成部分,数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。
在数学教学中,结合学生已有认知和知识水平应当注重发展学生的“数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想”。
除了培养发展基本的数学素养和数学思想外,还要把“应用意识和创新意识”两方面的精神贯穿在教育教学中。
作为教学一线的教育者应结合教材中提供的素材,适当的进行拓展、延伸,使学生的知识面得以拓宽,为后续的学习打下基础;而下面两个地方的中考试题就是一个很好的例证,也为我们的教学开展指明了方向。
例9.(2016.四川广安)我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律,称之为“杨辉三角”.这个三角形给出了(a+b)n(n=1,2,3,4……)的展开式的系数规律(按a的次数由大到小的顺序)
11(a+b)1=a+b
121(a+b)2=a2+2ab+b2
1331(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
14641(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
…………
请依据上述规律:
写出(x-
)2016展开式中含x2014项的系数是:
.
解析:
在初中数学教材八年级(上)《整式的乘法与因式分解》这一章中学习了幂的意义和整式乘法公式,而完全平方公式实际上杨辉三角的特殊。
本题主要考查幂的运算和整式乘法运算.首先确定x2014是展开式中第几项,根据杨辉三角即可解决问题.
解:
(x﹣
)2016展开式中含x2014项的系数,根据杨辉三角,就是展开式中第二项的系数,即﹣2016×2=﹣4032.故答案为﹣4032.
例10.(2014.四川省巴中市)图中是我国古代数学家杨辉最早发现的,称为“杨辉三角形”.它的出现比西方要早五百年左右,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的!
“杨辉三角形”中有许多规律,如它的每一行数字正好对应了
(n为自然数)的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数,例如
展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字;再如
展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字.请认真观察此图,写出
的展开式为
1
11(a+b)1=a+b
121(a+b)2=a2+2ab+b2
1331(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
14641(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
…………
【答案】
赏释:
在我国古代,“幂”的早期含义是泛指方形的东西。
到三国时代,刘徽给《九章算术》作注时第一次在数学中使用幂表示乘积。
到明朝徐光启翻译《几何原本》时,用“自乘之数曰幂”来解释幂,明确给出了幂下了定义。
后来,随着数学家们的深入研究,在1591年法国数学家韦达的代数名着《分析方法入门》中才有现代意义的幂的概念。
在教学中,我们应清楚地告知:
幂是乘方的结果,不是乘方。
对于题中谈到的杨辉三角,实际上是高中数学教材中“二项式定理”学习的内容。
我国南宋时期杰出的数学家和教育家杨辉在公元1261年着《详解九章算术》中载有“开方作法本源”图,使得贾宪的成果得以保存。
由于“开方作法本源”图出自杨辉的着作,后人称“开方作法本源”图为杨辉三角。
事实上,杨辉作注:
“出《释锁算术》,贾宪用此术”。
所以,着名数学家华罗庚教授曾建议称之为“贾宪—杨辉三角”,现在“贾宪三角”“杨辉三角”并用,对于这个科学成果,比西方早500年左右。
我国古代有这样的数学成就,是非常值得骄傲的,是能激发中华民族自豪感的。
(四)源于“勾股定理”证明问题
2000多年来,人们对勾股定理的证明颇感兴趣。
因为这个定理重要、基本,还贴近人们的生活实际。
自古以来,上至帝王将相,下至平民百姓都愿意探讨、研究证明证明。
证明方法较多。
对于证明法,感兴趣者可参阅人教版八年级(下)P30“阅读与思考”中的毕达哥拉斯证法、赵爽弦图证法、加菲尔德证法;也可在互联网上搜阅其他证法。
而世界上第一次给出勾股数组通解公式的是《九章算术》一书。
同时,我们知道困扰数学界300多年的费马大定理可以看作是从勾股数组引出的类比、推广后的数学问题。
由此可知勾股定理的影响是深远的,在其他领域的作用是不可估量的。
例11.如图是我国古代着名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.若
,
,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图2所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是.
解析:
本题是勾股定理的应用计算问题。
解答时应明确周长是哪些线段的长度之和。
赏释:
对于勾股定理的应用问题,在人教版教材的第十七章P29的10题和P39的10题这两题均选自《九章算术》。
而这两题经改编,却在有些省市作为中考题展现。
如“荡秋千”问题和“折竹抵地”问题。
【勾股定理应用变式】:
(1)(2017.东营)我国古代有这样一道数学问题:
“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?
”题意是:
如图1所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是________尺.
图1图2
(2)(2017·襄阳)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图2所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若(a+b)2=21,大正方形的面积为13,则小正方形的面积为( )
A.3B.4C.5D.6
(3)我国明代有一位杰出的数学家程大位在所着的《直指算法统宗》里有道“荡秋千”的问题:
“平地秋千未起,踏板一尺立地,送行二步与人齐,五尺人高曾记;
仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉,良工高士素好奇,算出索长有几?
”
[解析]诗的意思告诉我们:
当秋千静止在地上时,秋千的踏板离地的距离为一尺,将秋千的踏板往前推两步,这里的每一步合五尺,秋千的踏板与人一样高,这个人的身高为五尺,当然这是秋千的绳索是呈直线状态,要求这个秋千的绳索有多长?
要解决这个古诗中的问题,我们可以先画出图形,再运用勾股定理求解.
(4)(2017年.荆州)《九章算术》中的“折竹抵地”问题:
今有竹高一丈,末折抵地,去根六尺.问折高者几何?
意思是:
一根竹子,原高一丈(一丈=10尺),一阵风将竹子折断,其竹稍恰好抵地,抵地处离竹子底部6尺远,问折断处离地面的高度是多少?
设折断处离地面的高度为x尺,则可列方程为( )
A.x2﹣6=(10﹣x)2B.x2﹣62=(10﹣x)2C.x2+6=(10﹣x)2D.x2+62=(10﹣x)2
以上变式均是教材母题的再挖掘,也是勾股定理的运用,关键是通过审题构造直角三角形,建立数学模型。
中、高考改革中谈到的数学学科核心素养之一,这正是我们教学中应该去关注、在教学过程中长期坚持执行的。
三、源于“数学活动”中的剪(切)、折、拼问题
在数学教材中有“数学活动”这样的课题,而对于教学一线的教师来说,为了赶进度、要教学成绩和质量,往往在教学中忽略了这一活动的开展;随着中、高考改革的推进,突出学科素养的考查,在这一指挥棒的指引下,我们不得不把这项被忽略的工作拾起,贯彻在这整个教学中。
翻开初中教材,看看“数学活动”这些内容,确实是培养学生学科核心素养的好课题。
比如,通过折纸、剪纸、拼接等活动,使学生的动手能力增强了,也培养了学生的直观想象和空间想象等。
例12.剪纸是我国传统的民间艺术,下列剪纸作品中,是轴对称图形的为()
A.
B.
C.
D.
解析:
对剪纸艺术,它是我国优秀传统文化之一。
主要考查学生对直观图形的辨识,同时考查轴对称图形的概念。
赏释:
对于民间的传统艺术很多,除了剪纸,还我们的国粹“京剧”中脸谱等。
而教材中折纸,比如15°,30°,60°,90°角以及折黄金矩形等。
都是对学生数学能力的培养和锻炼;这一内容的安排,也是学科核心素养在教材中的体现和落实,也应该是教材编写者的初衷了。
参考资料:
1.初中数学七年级(上),人民教育出版社(2012年教育部审定)
2.初中数学七年级教师教学用书(上、下),人民教育出版社
3.初中数学八年级(上),人民教育出版社(2012年教育部审定)
4.
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- 初中 数学 教材 中的 文化 试题