工程力学第7章 弯曲强度答案.docx

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工程力学第7章弯曲强度答案

第7章弯曲强度

7－1直径为d的圆截面梁，两端在对称面内承受力偶矩为M的力偶作用，如图所示。

若已知变形后中性层的曲率半径为ρ；材料的弹性模量为E。

根据d、ρ、E可以求得梁所承受的力偶矩M。

现在有4种答案，请判断哪一种是正确的。

（A）

4

M＝Eπd

习题7－1图

（B）

64ρ

M＝64ρ

（C）

Eπd4

3

M＝Eπd

（D）

32ρ

M＝32ρ

Eπd3

正确答案是A。

7－2关于平面弯曲正应力公式的应用条件，有以下4种答案，请判断哪一种是正确的。

（A）细长梁、弹性范围内加载；

（B）弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内；

（C）细长梁、弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内；

（D）细长梁、载荷加在对称面或主轴平面内。

正确答案是C_。

7－3长度相同、承受同样的均布载荷q作用的梁，有图中所示的4种支承方式，如果从梁的强度考虑，请判断哪一种支承方式最合理。

l

5

习题7－3图

正确答案是d。

7－4悬臂梁受力及截面尺寸如图所示。

图中的尺寸单位为mm。

求：

梁的1－1截面上A、

B两点的正应力。

习题7－4图

解：

1.计算梁的1－1截面上的弯矩：

−⎜⎟

M=⎛1×103N×1m+600N/m×1m×1m⎞=−1300N⋅m

⎝2⎠

2.确定梁的1－1截面上A、B两点的正应力：

A点：

⎛150×10−3m⎞

1300N⋅m×⎜−20×10−3m⎟

A

σ=Mzy=⎝2⎠＝2.54×106Pa=2.54MPa（拉应力）

Iz

B点：

100×10-3m×（150×10-3m）3

12

1300N⋅m×⎜0.150m−0.04m⎟

⎛⎞

σ=Mzy=⎝2⎠=1.62×106Pa=1.62MPa（压应力）

I

z

B0.1m×（0.15m）3

12

7－5简支梁如图所示。

试求I-I截面上A、B两点处的正应力，并画出该截面上的正应力

分布图。

习题7－5图

（a）ACB

（b）

FRA

3.64kN⋅m

⊕

Mmax

FRB

解：

（1）求支座约束力

FRA=3.64kN,

FRB=4.36kN

习题7－5解图

（2）求I－I截面的弯矩值（见习题7－5解图b）

MI−I=3.64kN⋅m

（3）求所求点正应力

A

σ=MI-IyA

Iz

33

I=bh

z12

=75×150

12

=21.1×106mm4

yA=（75−40）=35mm

6

∴σ=−3.64×10

×35=−6.04MPa

A21.1×106

6

σ=3.64×10

×75=12.94MPa

B21.1×106

7－6加热炉炉前机械操作装置如图所示，图中的尺寸单位为mm。

其操作臂由两根无缝

钢管所组成。

外伸端装有夹具，夹具与所夹持钢料的总重FP＝2200N，平均分配到两根钢管上。

求：

梁内最大正应力（不考虑钢管自重）。

习题7－6图

解：

1．计算最大弯矩：

−33

Mmax=−2200N×2395×10m=−5.269×10N⋅m

2．确定最大正应力：

σ=Mmax=

Mmax

α=

66mm

=0.611

max3

2W

σ=Mmax=

2×πD

32

（1−α4）

3

5.268N⋅m

108mm

=24.71×106Pa=24.71MPa

max2W

=π（1=08×10−3m）

2×（1−0.6114）

32

7－7图示矩形截面简支梁，承受均布载荷q作用。

若已知q＝2kN/m，l＝3m，h＝2b

＝240mm。

试求：

截面竖放（图c）和横放（图b）时梁内的最大正应力，并加以比较。

习题7－7图

解：

1．计算最大弯矩：

ql2

2×103N/m×（3m）2

Mmax

===2.25×103N⋅m

88

2．确定最大正应力：

3

平放：

σ

=Mmax=

2.25×10N⋅m×6

=3.91×106Pa=3.91MPa

max2−3

−32

hb

6

240×10m×（120×10m）

竖放：

σ

=Mmax=

2.25×103N⋅m×6

=1.95×106Pa=1.95MPa

max2−3

−32

bh

6

120×10m×（240×10m）

3．比较平放与竖放时的最大正应力：

σmax（平放）

σmax（竖放）

＝3.91

1.95

≈2.0

7－8圆截面外伸梁，其外伸部分是空心的，梁的受力与尺寸如图所示。

图中尺寸单位

为mm。

已知FP＝10kN，q＝5kN/m，许用应力[σ]＝140MPa，试校核梁的强度。

20

x

M（kN.m）

30.65

解：

画弯矩图如图所示：

习题7－8图

3

σ（）

Mmax1=32×30.65×10N⋅m=113.8×106Pa=113.8MPa<[σ]

max实＝

W1

π（140×10-3m）3

σ（）

Mmax2=

32×20×103N⋅m

=100.3×106Pa=100.3MPa<[σ]

max空＝

4

⎡⎛⎞⎤

W2π（140×10-3m）3⎢1−

⎢⎣

100

⎝⎠

⎦

⎜140⎟⎥

所以，梁的强度是安全的。

7－9悬臂梁AB受力如图所示，其中FP＝10kN，M＝70kN·m，a＝3m。

梁横截面的形状及尺寸均示于图中（单位为mm），C为截面形心，截面对中性轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4，拉伸许用应力[σ]＋＝40MPa，压缩许用应力[σ]－＝120MPa。

试校核梁的强度是否安全。

解：

画弯矩图如图所示：

M（kN.m）

C截面

30

x

10

40

习题7－9图

3−3

σ

+

max

=30×10N⋅m×96.4×10m=28.35×106Pa=28.35MPa

1.02×108×10−12m4

3−3

D截面

－

σ

max

=30×10N⋅m×153.6×10m=45.17×106Pa=45.17MPa

1.02×108×10−12m4

3−3

σ

+

max

=40×10N⋅m×153.6×10m=60.24×106Pa=60.24MPa>[σ]

1.02×108×10−12m4

3−3

σ

－

max

=40×10N⋅m×96.4×10m=37.8×106Pa=37.8MPa

1.02×108×10−12m4

所以，梁的强度不安全。

7－10由No.10号工字钢制成的ABD梁，左端A处为固定铰链支座，B点处用铰链与钢制圆截面杆BC连接，BC杆在C处用铰链悬挂。

已知圆截面杆直径d＝20mm，梁和杆的许用应力均为[σ]＝160MPa，试求:

结构的许用均布载荷集度[q]。

0.5

x

M（kN.m）

0.4125

习题7－10图

解：

画弯矩图如图所示：

对于梁：

Mmax=0.5q

σ=Mmax≤[σ],

0.5q≤[σ]

maxWW

[σ]W

160×106×49×10−6

q≤==15.68×103N/m=15.68kN/m

0.50.5

对于杆：

σ

=FN≤[σ],

4FB=4×2.25q≤[σ]

maxA

πd2

πd2

πd2×[σ]

π×（20×10-3）2×160×106

q≤==22.34×103N/m=22.34kN/m

4×2.254×2.25

所以结构的许可载荷为

[q]=15.68kN/m

7－11图示外伸梁承受集中载荷FP作用，尺寸如图所示。

已知FP＝20kN，许用应力[σ]＝

160MPa，试选择工字钢的号码。

习题7－11图

解：

maxP

M=F×1m=20×103N×1m=20×103N⋅m

σmax

=Mmax

W

≤[σ],

F×1m20×103×1m

W≥P==0.125×10－3m3＝125cm3

[σ]

所以，选择No.16工字钢。

160×106Pa

7－12图示之AB为简支梁，当载荷FP直接作用在梁的跨度中点时，梁内最大弯曲正应

力超过许用应力30％。

为减小AB梁内的最大正应力，在AB梁配置一辅助梁CD，CD也可以

8

习题7－12图

看作是简支梁。

试求辅助梁的长度a。

解：

1．没有辅助梁时

σmax

=Mmax≤[σ],

W

FPl

4=1.30[σ]

W

σmax

=Mmax≤[σ],

W

FPl（3−2a）

2=[σ]

W

FPl（3−2a）

FPl

2=4=[σ]

W1.30×W

1.30×（3−2a）=3

a=1.384m

7－13一跳板左端铰接，中间为可移动支承。

为使体重不同的跳水者站在跳板前端在

跳板中所产生的最大弯矩Mzmax均相同，问距离a应怎样变化?

习题7－13图

解：

最大弯矩发生在可移动简支点B处。

（见图a、b）

设不同体重分别为W，W+ΔW,则有，

W（l−a）=（W+ΔW）（l−a−Δa）

ABWA

a+ΔaB

W+ΔW

整理后得

a图

Δa=

ΔW

（W+ΔW）

b图

（l−a）

此即为相邻跳水者跳水时，可动点B的调节距离Δa与他们体重间的关系。

7－14利用弯曲内力的知识，说明为何将标准双杠的尺寸设计成a=l/4。

习题7－14图

解：

双杠使用时，可视为外伸梁。

其使用时受力点应考虑两种引起最大弯矩的情况。

如图a、b所示。

FP

l/2

l/2

ACB

a图

FP

aaFP

ACB

b图

若将a的长度设计能达到下述情况为最经济、省工：

M+=M−，

max

max

即正负弯矩的绝对值相等，杠为等值杆。

当a=l/4时，

M

+

max

M

−

max

=FPl/4（如图a，在中间面C）；

=FPl/4（发生在图b所示受力情况下的A面或B面）。

7－15图示二悬臂梁的截面均为矩形（b×h），但（a）梁为钢质，（b）梁为木质。

试写出危

险截面上的最大拉应力与最大压应力的表达式，并注明其位置。

二梁的弹性模量分别为E钢、

E木。

F

PFP

习题7－15图

解：

（1）两悬臂梁均为静定梁，故应力与材料弹性常数无关。

（2）两悬臂梁均发生平面弯曲，危险面均在固定端处。

（3）钢梁：

（4）木梁：

σ

+

max

σ

−

max

=6FPlbh2

=6FPlbh2

（在固定端处顶边诸点）

（在固定端处底边诸点）

σ

+

max

σ

−

max

=6FPlhb2

=6FPlhb2

（在固定端处后侧边诸点）

（在固定端处前侧边诸点）

7－16T形截面铸铁梁受力如图所示，其截面的Iz

=2.59×10−6m4。

试作该梁的内力

图，求出梁内的最大拉应力和最大压应力，并指出它们的位置。

画出危险截面上的正应力分布图。

习题7－16图

解：

（1）求支座约束力

FRA=37.5kN,

FRB=112.5kN

（2）作内力图，剪力图、弯矩图分别见习题7－16解图b、c。

（3）求所最大正应力和最小正应力

E、B两截面分别发生最大正弯矩与最大负弯矩。

所以，两个截面均有可能是危险截面。

6

σ+=MEy2

=14×10

×142=76.8MPa（在E截面下缘）

max

I

z

2.59×107

6

σ−=MBy2=25×10

×142=−137MPa（在B截面下缘）

max

I

z

2.59×107

正应力分布图见图d。

（a）A

q

EBD

2m1m

50kN

37.5kN

⊕

（b）

⊕

Ө

y

1

62.5kN

43.6MPa

（d）

（c）

14kN·my2

⊕

Ө

25kN·m

76.8MPa137MPa

习题7－16解图

7－17发生平面弯曲的槽形截面（No.25a）简支梁如图所示。

在横放和竖放两种情况

下，（a）比较许用弯曲力偶矩mO的大小，已知[σ]=160MPa；（b）绘出危险截面上的正应力分布图。

习题7－17图

解：

（a）

FRA

2Mmax

mO

5

FRB

（b）⊕

Ө

y1

（c）

y2

3

m

5O

σ

+

max

y1

y2

−

σ

+

max

−

σ

max

σmax

习题7－17解图

（1）求支座约束力

FRA

=FRB

=mOkN

5

（2）作弯矩图见习题7－17解图b所示。

（3）竖放下的许用弯曲力偶矩mO

由型钢表查得

从b图中得：

W=269.6×103mm3

M=3mO

由强度条件

max

σmax=

5

Mmax

W

≤[σ]

3

m≤5W[σ]=5×269.6×10

×160=71.89kN⋅m

O33

（4）横放下的许用弯曲力偶矩mO：

由型钢表查得

由强度条件

W=30.61×103mm3

3

m≤5W[σ]=5×30.61×10

×160=8.16kN⋅m

O33

危险截面上的正应力分布图见图c。

7－18制动装置的杠杆用直径d=30mm的销钉支承在B处。

若杠杆的许用应力

[σ]=140MPa，销钉的剪切许用应力[τ]=100MPa，求许可载荷[FP1],[FP2]。

FP1

FP2

习题7－18图

解：

（1）求FP1与FP2的关系

杠杠平衡时有：

FP1×1000=FP2×250，

（2）作弯矩图，如图a所示

FP2=4FP1

FP1

FP2

（a）Ө

5FP1

1000FP1

（b）

5F5F

2P1

2P1

（3）梁的弯曲正应力强度条件

习题7－18解图

σmax=

Mmax

W

≤[σ]

20×603

（

20×303

−）

W=1212=1.05×104mm3

30

1000Fp1

W

≤[σ]

4

F≤W[σ]=1.05×10

×140=1.47kN

P11000

1000

∴FP2≤5.88kN

（4）校核销钉的剪切强度剪切强度条件：

FQ

τmax=

A

≤[τ]

其中，F

=5F

=3.675mm2

Q2P1

∴τmax

=3.675×10

3

706.86

=5.2MPa<[τ]

则，销钉安全。

（5）杠杆系统的许可载荷为

[FP1]=1.47kN，

[FP2]=5.88kN。

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