高中数学换元法解题案例及练习题.docx
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高中数学换元法解题案例及练习题
高中数学换元法解题案例及练习题
解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换兀法。
换兀的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有:
局部换元、三角换元、均值换元等。
局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式:
4x+2x-2>0,先变形为设2x=t(t>0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
如求函数y=-x
+d-x的值域时,易发现x€[0,1],设x=sin2a,a€[0,],问
2
题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设,其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。
如变量x、y适合条件x2+
y=r2(r>0)时,则可作三角代换x=rcosB、y=rsinB化为三角问
题。
均值换兀,如遇到x+y=S形式时,设x=—+t,y=——t等等。
22
我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,
换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量
的取值范围,不能缩小也不能扩大。
如上几例中的t>0和口€[0,-]。
2
I、再现性题组:
1.y=sinx•cosx+sinx+cosx的最大值是。
2.设f(x2+1)=loga(4—x4)(a>1),贝Uf(x)的值域是
3.已知数列{an}中,a1=—1,a.1•a.=a“1—a.,则数列通项a.=
4.设实数x、y满足x2+2xy—1=0,贝Ux+y的取值范围是
。
x
5.方程x=3的解是。
1+3
6.不等式log2(2x—1)•log2(2心—2)〈2的解集是
。
3小题:
已知变形为丄——=—1,设bn=丄,则b1=—1,bn=—1
an卑anan
+(n—1)(-1)=—n,所以an=—丄;
n
4小题:
设x+y=k,则x2—2kx+1=0,△=4k2—4>0,所以k>1
或k<—1;
5小题:
设3x=y,贝》3y2+2y—1=0,解得y=1,所以x=—1;
3
6小题:
设log2(2x—1)=y,则y(y+1)<2,解得-2 €(log25,log23)。 4 H、示范性题组: 例1.实数x、y满足4x2—5xy+4y2=5(①式),设S=x2+ y2,求丄+丄的值。 (93年全国高中数学联赛题)SmaxSmin 【分析】由S=x2+y2联想到cos2a+sin2a=1,于是进行三角换 解得S=叱一 8—5sin2a -1 --3w8—5sin2aW13 WWW 138「5sin: 10 3 此种解法后面求S最大值和最小值,还可由sin2 a=心°的有界 S 性而求,即解不等式: I8^°|W1。 这种方法是求函数值域时经常用 S 到的“有界法”。 【另解】由S=x2+y2,设x2=I+1,y2=|-1,t€[-|,|], 则xy=±J|4-12代入①式得: 4I±5咅-12=5, 移项平方整理得100t2+39S2-160S+100=0。 •••39S2-160S+100<0解得: 10 133 .1丄13丄13168 …+=——+——=——=— SmaxSmin1010105 【注】此题第一种解法属于“三角换元法”,主要是利用已知条 件S=x2+y2与三角公式cos2a+sin2a=1的联系而联想和发现用三角换元,将代数问题转化为三角函数值域问题。 第二种解法属于“均值换元法”,主要是由等式S=x2+y2而按照均值换元的思路,设x2= S+1、y2=S-1,减少了元的个数,问题且容易求解。 另外,还用到 22 了求值域的几种方法: 有界法、不等式性质法、分离参数法。 和“均值换元法”类似,我们还有一种换元法,即在题中有两个变 量x、y时,可以设x=a+b,y=a-b,这称为“和差换元法”,换元后有可能简化代数式。 本题设x=a+b,y=a-b,代入①式整理得3a2+13b2=5,求得a2€[O'1】'所以S=(a—b)2+(a+b)2=2(a2+b2)=10+20a2€[£2],再求—+丄的值。 1313133SmaxSmin 例2.△ABC的三个内角AB、C满足: A+C=2B,丄+丄=cosAcosC -一么,求cos的值。 (96年全国理) cosB2 【分析】由已知“A+C=2B”和“三角形内角和等于180°”的性 质,可得 AV「120;由“A+C=120°”进行均值换元,则设 B=60 fo A=60 io C=60— ,再代入可求cosa即cos乎。 【解】由厶ABC中已知A+C=2B,可得 o AC=120 o B=60 由A+C=120。 ,设c60 L ,代入已知等式得: 匕+—= cosAcosC cos(60: )+cos(60一) 1 cos: 2 1 、、3 sin: 2 1 cos: 2 1 3sinj 2 COS: 3sin 4 cos: _ ""3= _4 解得: COSa 即: 【另解】由 A+C=2B, 22, cos^C= 2 得A+C=120° .2 cosB =—22,设co^= 2+mcofe= B=60 —、2—m 所以cosA=—4—,cosC=—[—,两式分别相加、 2m2_m A+CA-C cosA+cosC=2coscos-—=cos 22 A-C= 2 22 m-2 所以 丄+丄 cosAcosC 相减得: A+C cosA—cosC=—2sinsin 2 2m 、3(m2-2)' A-C=_ 2 22 2 m-2 3sin A-C 2 2m -~ m-2 代入sin 2匕+cos2-C= 2 1整理得: 3m4—16m-12=0,解出m2=6,代入cos学 【注】本题两种解法由“A+C=120° cosA cosC 分别进行均值换元,随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算,除由已知想到均值换元外,还要求对三角公式的运用相当熟练。 假如 未想到进行均值换元,也可由三角运算直接解出: 由A+C=2B,得A +C=120°,B=60°。 所以一1—+-—=—2=—22,即cosAcosAcosCcosB cos= +cosC=—22cosAcosC,和积互化得: 2coscos=—,2[cos(A+C)+cos(A-C),即 2cos(A-C)=-y—2(2cos2A2C—1),整理得: 4、2cos2A2C+ 2cos丁—32=0, cos^C= 例3.设a>0,求f(x)=2a(sinx+cosx)— sinx -cosx= t2-1 •••f(x)=g(t)=—*(t—2a)2+1(a>0),t€[-42,42] t=-2时,取最小值: 一2a2—22a—- 2 当2a》V2时,t=V2,取最大值: —2a2+2占a——; 当0<2a<2时,t=2a,取最大值: £。 f(x)的最小值为—2a—2.2a—-1,最大值为 1(0 : : -2a22、.2a」(a2) 22 【注】此题属于局部换元法,设sinx+cosx=t后,抓住sinx+ cosx与sinx•cosx的内在联系,将三角函数的值域问题转化为二次 函数在闭区间上的值域问题,使得容易求解。 换元过程中一定要注意 新的参数的范围(t€[-2,2])与sinx+cosx对应,否则将会出错 本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法,即由对称 轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。 般地,在遇到题目已知和未知中含有 sinx与cosx的和、差、积 数或一次函数的研究。 例4.设对所于有实数x,不等式 x2log 2如卫+2xlog a log2(a丄>0恒成立,求a的取值范围 4a (87年全国理) 2 (a1) 24a2 三项有何联 系? 进行对数式的有关变形后不难发现,再实施换元法。 【解】设log2旦= a+1 2^^=log2^^=3+log2「= a2a2a (a1)2a1 2右=2log2= 4a2a t,则log 3—log2~2^=3—t,log -2t, 代入后原不等式简化为(3—t)x2+2tx—2t>0,它对一切实数x恒成立,所以: •••t<0即log2-^vO a+1 『弋,解得r<3或 ,4t8t(3—t): : 0t: : 0或t6 Ov互<1,解得0va<1。 a1 么会想到换兀及如何设兀,关键是发现已知不等式中 log24(a1) a 【注】应用局部换元法,起到了化繁为简、化难为易的作用。 为什 2 log2互、log2色昙三项之间的联系。 在解决不等式恒成立问题时, a+14a 使用了“判别式法”。 另外,本题还要求对数运算十分熟练。 一般地,解指数与对数的不等式、方程,有可能使用局部换元法,换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形,发现它们的联系而实施换元,这是我们思考解法时要注意的一点。 ■2.2 例5.已知sin^=且J2+=―2(②式),求- xyxy3(x+y)y 的值。 【解】设sin=
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