椭圆各种类型题.docx
- 文档编号:9915374
- 上传时间:2023-02-07
- 格式:DOCX
- 页数:20
- 大小:30.23KB
椭圆各种类型题.docx
《椭圆各种类型题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《椭圆各种类型题.docx(20页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
椭圆各种类型题
面积类
1、已知椭圆:
与正半轴、正半轴的交点分别为,动点是椭圆上任一点,求面积的最大值。
【解析】试题分析:
先求顶点坐标,再求直线方程,根据椭圆的参数方程表示出点的坐标,然后再求点到直线的距离,表示出面积,然后求最值
试题解析:
依题意,,,直线:
,即设点的坐标为,则点到直线的距离是,
当时,,
所以面积的最大值是
考点:
椭圆的参数方程、点到直线的距离、三角函数求最值
2、设点A(,0),B(,0),直线AM、BM相交于点M,且它们的斜率之积为.(Ⅰ)求动点M的轨迹C的方程;(Ⅱ)若直线过点F(1,0)且绕F旋转,与圆相交于P、Q两点,与轨迹C相交于R、S两点,若|PQ|求△的面积的最大值和最小值(F′为轨迹C的左焦点).
【解析】(Ⅰ)设,则
化简 轨迹的方程为
(Ⅱ)设,的距离,
,将代入轨迹方程并整理得:
设,则,
设,则上递增,
,
考点:
椭圆,根与系数关系,基本不等式,坐标表示
3、已知椭圆的右焦点为,上顶点为B,离心率为,圆与轴交于两点(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,过点与圆相切的直线与的另一交点为,求的面积
【解析】(Ⅰ)由题意,,,,∵得,,
则,,得,,则
(Ⅱ)当时,,,得在圆F上,直线,则设由得,又点到直线的距离,得的面积
考点:
椭圆,根与系数关系,坐标表示等,考查了学生的综合化简计算能力
4、设椭圆的左焦点为,离心率为,过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆方程.
(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点,当面积最大时,求.
【解析】
(1)由题意可得,,又,解得,所以椭圆方程为
(2)根据题意可知,直线的斜率存在,故设直线的方程为,设,由方程组消去得关于的方程 由直线与椭圆相交于两点,则有,即得由根与系数的关系得故 又因为原点到直线的距离,故的面积令则,所以当且仅当时等号成立,即时,
考点:
1.椭圆方程;2.椭圆与直线综合;3.基本不等式.
5、已知椭圆的左、右焦点分别为、,P为椭圆 上任意一点,且的最小值为.
(1)求椭圆的方程;
(2)动圆与椭圆相交于A、B、C、D四点,当为何值时,矩形ABCD的面积取得最大值?
并求出其最大面积.
【解析】
(1)因为P是椭圆上一点,所以.在△中,,由余弦定理得.因为,当且仅当时等号成立.因为,所以.因为的最小值为,所以,解得.又,所以.所以椭圆C的方程为.
(2)设,则矩形ABCD的面积.因为,所以.所以.因为且,所以当时,取得最大值24.此时,.所以当时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为.
考点:
椭圆的定义、余弦定理、二次函数
6、已知、分别是椭圆:
的左、右焦点,点在直线上,线段的垂直平分线经过点.直线与椭圆交于不同的两点、,且椭圆上存在点,使,其中是坐标原点,是实数.(Ⅰ)求的取值范围;(Ⅱ)当取何值时,的面积最大?
最大面积等于多少?
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)当时,的面积最大,最大面积为.
【解析】(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,根据题意得 解方程组得∴椭圆的方程为.由,得.根据已知得关于的方程有两个不相等的实数根.∴,化简得:
.设、,则.
(1)当时,点、关于原点对称,,满足题意;
(2)当时,点、关于原点不对称,.由,得 即 ∵在椭圆上,∴,化简得:
.∵,∴.∵,∴,即且.综合
(1)、
(2)两种情况,得实数的取值范围是.
(Ⅱ)当时,,此时,、、三点在一条直线上,不构成.∴为使的面积最大,.∵∴.∵原点到直线的距离,∴的面积.∵,,∴.∴.∵,∴.“”成立,即.∴当时,的面积最大,最大面积为
考点:
直线和椭圆的相关问题,综合考查考生的运算求解能力.
7、设椭圆的离心率,是其左右焦点,点是直线(其中)上一点,且直线的倾斜角为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若 是椭圆上两点,满足,求(为坐标原点)面积的最小值.
【解析】(Ⅰ)则,故
(Ⅱ)当直线的斜率不存在时,可设代入椭圆得,此时, , 当直线的斜率存在时,设代入椭圆得:
设则 由得:
当时,取等号,又,故的最小值为 .考点:
直线与椭圆的位置关系综合应用.
8、已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为的菱形的四个顶点.(I)求椭圆的方程;(II)直线与椭圆交于,两点,且线段的垂直平分线经过点,求(为原点)面积的最大值.
【解析】(I)因为椭圆的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为的菱形的四个顶点,所以,椭圆的方程为
(II)设因为的垂直平分线通过点,显然直线有斜率,当直线的斜率为时,则的垂直平分线为轴,则所以因为,所以,当且仅当时,取得最大值为
当直线的斜率不为时,则设的方程为所以,代入得到当, 即 方程有两个不同的解又, 所以,又,化简得到 代入,得到 又原点到直线的距离为所以化简得到 因为,所以当时,即时,取得最大值综上,面积的最大值为.
考点:
直线与圆锥曲线的位置关系.
9、如图,A,B是椭圆的两个顶点,,直线AB的斜率为.求椭圆的方程;
(2)设直线平行于AB,与x,y轴分别交于点M、N,与椭圆相交于C、D,证明:
的面积等于的面积.
【解析】
(1)解:
依题意,,,,整理得 解得. 所以椭圆的方程为.
(2)证明:
由于//,设直线的方程为,将其代入,消去,整理得. 设,.所以 证法一:
记△的面积是,△的面积是.由,,则 因为,所以,从而.
证法二:
记△的面积是,△的面积是.则线段的中点重合. 因为,所以,.故线段的中点为. 因为,,所以线段的中点坐标亦为. 从而.
考点:
1.斜率公式;2.直线与曲线的位置关系;3.韦达定理.
10、已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设椭圆与曲线的交点为、,求面积的最大值.
【答案】
(1);
(2).
【解析】
(1)抛物线的焦点为,∴又椭圆离心率,∴,所以椭圆的方程为
(2)设点,则,连交轴于点,由对称性知:
由 得:
,(当且仅当即时取等号)面积的最大值为.
考点:
椭圆标准方程的求解,直线与椭圆的位置关系.
11、已知椭圆:
的右焦点在圆上,直线交椭圆于、两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若(为坐标原点),求的值;(3)设点关于轴的对称点为(与不重合),且直线与轴交于点,试问的面积是否存在最大值?
若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
【解析】
(1)由题设知,圆的圆心坐标是,半径为,故圆与轴交与两点,.1分所以,在椭圆中或,又,所以,或(舍去,∵),…于是,椭圆的方程为.
(2)设,;直线与椭圆方程联立,化简并整理得.∴,,∴,. ∵,∴,即得 ∴,,即为定值.
(3)∵,, ∴直线的方程为令,则,∴ 当且仅当即时等号成立. 故的面积存在最大值
考点:
直线与椭圆的位置关系点评:
主要是考查了椭圆方程的求解,以及直线与椭圆位置关系的运用,属于中档题。
12、已知两点F1(-1,0)及F2(1,0),点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上,且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,动直线l:
y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点,点M,N是直线l上的两点,且F1M⊥l,F2N⊥l.求四边形F1MNF2面积S的最大值.
【解析】
(1)依题意,设椭圆的方程为.构成等差数列,,.又,.椭圆的方程为
(2)将直线的方程代入椭圆的方程中,得 由直线与椭圆仅有一个公共点知,,化简得:
设,, 当时,设直线的倾斜角为,则,, , ,当时,,,.当时,四边形是矩形, 所以四边形面积的最大值为
考点:
直线与椭圆的位置关系点评:
主要是考查了椭圆方程,以及直线与椭圆的位置关系的运用,属于中档题。
13、如图,已知椭圆的左焦点为,过点的直线交椭圆于两点,线段的中点为,的中垂线与轴和轴分别交于两点.
(1)若点的横坐标为,求直线的斜率;
(2)记△的面积为,△(为原点)的面积为.试问:
是否存在直线,使得?
说明理由.
【解析】(Ⅰ)解:
依题意,直线的斜率存在,设其方程为.将其代入,整理得.设,,所以. 故点的横坐标为.依题意,得,解得.
(Ⅱ)解:
假设存在直线,使得,显然直线不能与轴垂直.由(Ⅰ)可得. 因为,所以,解得,即. 因为△∽△,所以.所以, 整理得.因为此方程无解,所以不存在直线,使得.
考点:
直线与椭圆相交的位置关系点评:
直线与椭圆相交时常联立方程借助于方程根与系数的关系整理化简,此类题目计算量较大要求学生具有较高的数据处理能力
14、已知椭圆:
的离心率为,分别为椭圆的左、右焦点,若椭圆的焦距为2.⑴求椭圆的方程;⑵设为椭圆上任意一点,以为圆心,为半径作圆,当圆与椭圆的右准线有公共点时,求△面积的最大值.
【解析】⑴因为,且,所以. 2分所以. 4分所以椭圆的方程为.
⑵设点的坐标为,则.因为,,所以直线的方程为. 由于圆与有公共点,所以到 的距离小于或等于圆的半径.因为,所以, 即 .又因为,所以. 解得,又,∴. 当时,,所以
考点:
本题主要考查椭圆的标准方程,椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系,不等式的解法。
点评:
中档题,求椭圆的标准方程,主要运用了椭圆的几何性质,a,b,c,e的关系。
曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理,简化解题过程。
利用函数观点,建立三角形面积的表达式,确定其最值。
15、已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过点的直线与椭圆相切,直线与轴交于点,当为何值时的面积有最小值?
并求出最小值.
【解析】(Ⅰ)设方程为,抛物线的焦点为,则.双曲线的离心率 所以,得∴椭圆C的方程为.
(Ⅱ)设直线的方程为,由对称性不妨设由消得:
依题意,得:
由,令,得,即当且仅当即时取等号. 因为故时,有最小值.
考点:
直线与椭圆的位置关系点评:
主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用,属于中档题。
16、已知椭圆的离心率为,短轴的一个端点到右焦点的距离为,直线交椭圆于不同的两点。
(1)求椭圆的方程;
(2)若坐标原点到直线的距离为,求面积的最大值。
【解析】
(1)由,椭圆的方程为:
(2)由已知,联立和,消去,整理可得:
,设,则,当且仅当时取等号显然时,。
考点:
本题考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系
17、已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上,且对角线A C、BD过原点O,若,(i)求的最值.(ii)求证:
四边形ABCD的面积为定值;
【解析】
(1)由题意,,又, 解得,椭圆的标准方程为.
(2)设直线AB的方程为,设联立,得 -①
=
(i)当k=0(此时满足①式),即直线AB平行于x轴时,的最小值为-2.又直线AB的斜率不存在时,所以的最大值为2. 11分(ii)设原点到直线AB的距离为d,则.即,四边形ABCD的面积为定值
考点:
本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系点评:
对于直线与圆锥曲线的综合问题,往往要联立方程,同时结合一元二次方程根与系数的关系进行求解;而对于最值问题,则可将该表达式用直线斜率k表示,然后根据题意将其进行化简结合表达式的形式选取最值的计算方式.
向量点乘类
1、在直角坐标系中,点到两点的距离之和等于4,设点的轨迹为,直线与交于两点.
(1)写出的方程;
(2),求的值.
【解析】
(1)设,由椭圆定义可知,点的轨迹是以为焦点,长半轴为2的椭圆, 它的短半轴, 故曲线的方程为.
(2)证明:
设,其坐标满足消去并整理,得 故.
即,而,于是,解得
考点:
椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系.
2、已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点C(-1,0)且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点,试问在轴上是否存在点,使是与无关的常数?
若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】
(1)∵椭圆离心率为,∴,∴. 1分又椭圆过点(,1),代入椭圆方程,得. 所以. 4分∴椭圆方程为,即.
(2)在x轴上存在点M,使是与K无关的常数. 证明:
假设在x轴上存在点M(m,0),使是与k无关的常数,∵直线L过点C(-1,0)且斜率为K,∴L方程为,由 得. 设,则 ∵∴
==== 设常数为t,则. 整理得对任意的k恒成立,解得, 即在x轴上存在点M(),使是与K无关的常数.
考点:
椭圆的标准方程及几何性质,直线与椭圆的位置关系,平面向量的数量积。
点评:
中档题,曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理。
求椭圆标准方程时,主要运用了椭圆的几何性质,建立了a,bac的方程组。
3、已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切,直线与椭圆C相交于A、B两点.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)求的取值范围;
【解析】(Ⅰ)由题意知,∴,即又,∴ 故椭圆的方程为
(Ⅱ)解:
由得:
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
∴ ∵∴, ∴∴的取值范围是.
考点:
直线与圆锥曲线的综合问题;平面向量数量积的运算;椭圆的标准方程.
4、如图,F1,F2是离心率为的椭圆C:
(a>b>0)的左、右焦点,直线:
x=-将线段F1F2分成两段,其长度之比为1:
3.设A,B是C上的两个动点,线段AB的中垂线与C交于P,Q两点,线段AB的中点M在直线l上.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)求的取值范围。
【解析】(Ⅰ)设F2(c,0),则=,所以c=1.因为离心率e=,所以a=.所以椭圆C的方程为.
(Ⅱ)当直线AB垂直于x轴时,直线AB方程为x=-,此时P(,0)、Q(,0),.当直线AB不垂直于x轴时,设直线AB的斜率为k,M(-,m)(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).由 得(x1+x2)+2(y1+y2)=0,则-1+4mk=0,故k=.此时,直线PQ斜率为,PQ的直线方程为.即.联立 消去y,整理得.所以,.于是(x1-1)(x2-1)+y1y2.令t=1+32m2,1<t<29,则.又1<t<29,所以.综上,的取值范围为.
考点:
椭圆的方程、平面向量的数量积、韦达定理
5、如图,已知椭圆:
的离心率为,以椭圆的左顶点为圆心作圆:
,设圆与椭圆交于点与点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的最小值,并求此时圆的方程;(3)设点是椭圆上异于,的任意一点,且直线分别与轴交于点,为坐标原点,求证:
为定值。
【解析】
(1)依题意,得,,∴;故椭圆的方程为 .
(2)点与点关于轴对称,设,,不妨设.由于点在椭圆上,所以. (*) 由已知,则,,所以 . 由于,故当时,取得最小值为.由(*)式,,故,又点在圆上,代入圆的方程得到.故圆的方程为:
.
(3)设,则直线的方程为:
,令,得,同理:
, 故 (**) 又点与点在椭圆上,故,, 代入(**)式,得:
.所以为定值.
考点:
1.椭圆方程;2.配方法求最值.
6、已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切,直线与椭圆C相交于A、B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求的取值范围;
【解析】(Ⅰ)由题意知,∴,即又,∴ 故椭圆的方程为
(Ⅱ)解:
由得:
设,则
∴
∵∴, ∴∴的取值范围是.
考点:
1.椭圆的方程;2.椭圆的离心率;3.直线和椭圆的综合应用;4.向量的数量积.
7、已知椭圆,为其右焦点,离心率为.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)若点,问是否存在直线,使与椭圆交于两点,且.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
【解析】(Ⅰ)由题意知:
,∵离心率,∴,,故所求椭圆C的标准方程为.
(Ⅱ)假设存在这样的直线满足题意,并设.因为,,,所以:
由,得.根据题意,,得,且,所以 即,解得,或. 当时,(),显然符合题意;当时,代入,得,解得.综上所述,存在这样的直线,其斜率的取值范围是.
考点:
椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、一元二次方程根和系数的关系.
8、已知椭圆的离心率为,且经过点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)如果过点的直线与椭圆交于两点(点与点不重合),①求的值;②当为等腰直角三角形时,求直线的方程.
【解析】(Ⅰ)因为椭圆经过点,,因为,解得,所以椭圆的方程为.
(Ⅱ)①若过点的直线的斜率不存在,此时两点中有一个点与点重合,不满足题目条件.所以直线的斜率存在,设其斜率为,则的方程为,把代入椭圆方程得,设,则,,,因为,所以,②由①知:
,如果为等腰直角三角形,设的中点为,则,且,若,则,显然满足,此时直线的方程为;若,则,解得,所以直线的方程为,即或.综上所述:
直线的方程为或或.
考点:
1、求椭圆方程,2、直线与二次曲线的位置关系.
9、已知椭圆:
的离心率为,直线:
与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设椭圆的左焦点为,右焦点,直线过点且垂直于椭圆的长轴,动直线垂直于点,线段垂直平分线交于点,求点的轨迹的方程;(Ⅲ)设与轴交于点,不同的两点在上,且满足,求的取值范围.
【解析】(Ⅰ)∵ ∵直线相切,∴ ∴
∵椭圆的方程是
(Ⅱ)∵,∴动点到定直线:
的距离等于它到定点的距离,∴动点的轨迹是为准线,为焦点的抛物线 ∴点的轨迹的方程为
(Ⅲ),设、 ∴ ∵,∴∵,化简得 ∴当且仅当即时等号成立 ∵,又∴当即时,,故的取值范围是
考点:
1.椭圆方程;2.抛物线的定义;3.坐标法的应用.
10、已知、是椭圆的左、右焦点,且离心率,点为椭圆上的一个动点,的内切圆面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若是椭圆上不重合的四个点,满足向量与共线,与共线,且,求的取值范围.
【解析】
(1)由几何性质可知:
当内切圆面积取最大值时,即取最大值,且.由得又为定值,,综上得;又由,可得,即,经计算得,,,故椭圆方程为.
(2)①当直线与中有一条直线垂直于轴时,.
②当直线斜率存在但不为0时,设的方程为:
,由消去可得,代入弦长公式得:
,同理由消去可得,代入弦长公式得:
,所以令,则,所以,由①②可知,的取值范围是.
考点:
(1)椭圆方程;
(2)直线与椭圆的位置关系;(3)函数的值域.
11、在平面直角坐标系中,已知椭圆的左焦点为,左、右顶点分别为,上顶点为,过三点作圆 (Ⅰ)若线段是圆的直径,求椭圆的离心率;(Ⅱ)若圆的圆心在直线上,求椭圆的方程;(Ⅲ)若直线交(Ⅱ)中椭圆于,交轴于,求的最大值
【解析】(Ⅰ)由椭圆的方程知,点,,设F的坐标为,是的直径,, 2分解得,椭圆离心率
(Ⅱ)过点三点,圆心P既在FC的垂直平分线上,也在BC的垂直平分线上,FC的垂直平分线方程为 ①的中点为,的垂直平分线方程为 ②由①②得,即 在直线上,,。
由得,椭圆的方程为
(Ⅲ)由得 (*)设,则 当且仅当,时取等号。
此时方程(*)中的Δ>0,的最大值为1
考点:
直线与椭圆的位置关系
12、在平面直角坐标系中,已知定点A(-2,0)、B(2,0),异于A、B两点的动点P满足,其中k1、k2分别表示直线AP、BP的斜率.(Ⅰ)求动点P的轨迹E的方程;(Ⅱ)若N是直线x=2上异于点B的任意一点,直线AN与(I)中轨迹E交予点Q,设直线QB与以NB为直径的圆的一个交点为M(异于点B),点C(1,0),求证:
|CM|·|CN| 为定值。
【解析】(Ⅰ)设,由得 ,其中,整理得点的轨迹方程为.
(Ⅱ)设点(),设,则,,从而. 而,直线斜率,直线与以为直径的圆的另一个交点为,.方程为,即,过定点 定值证法一:
即三点共线,又是以为直径的圆的切线,由切割线定理可知,,为定值. 定值证法二:
直线:
直线:
联立得,,,为定值.
考点:
椭圆的方程;直线与椭圆的位置关系点评:
关于曲线的大题,第一问一般是求出曲线的方程,第二问常与直线结
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 椭圆 各种 类型