初中正方形的判定专项练习30题.docx
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初中正方形的判定专项练习30题
初中正方形的判定专项练习30题
正方形的判定专项练习30题(有答案)
1.如图,已知平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E是DB延长线上一点,且△ACE是等边三角形.
(1)求证:
四边形ABCD是菱形;
(2)若∠AEB=2∠EAB,求证:
四边形ABCD是正方形.
2.已知:
如图,CE、CF分别是△ABC的内外角平分线,过点A作CE、CF的垂线,垂足分别为E、F.
(1)求证:
四边形AECF是矩形;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?
3.已知:
如图,点D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点,将△ADE绕点D旋转180°至△BDF.
(1)小明发现四边形BCEF的形状是平行四边形,请你帮他把说理过程补齐.
理由是:
因为△BDF是由△ADE绕点D旋转180°得到的所以△ADE与△BDF全等且点A、D、B在同一条直线上点E、D、F也在同一条直线上.
所以BF=AE,∠F=∠ _________
可得BF∥ _________
又因为E是AC的中点,所以EC=AE,
所以BF= _________
因此,四边形BCEF是平行四边形(根据 _________ )
(2)小明还发现在原有的△ABC中添加一个条件后,就可以使四边形BFEC成为一种特殊的平行四边形.你也来试试.
你认为添加条件 _________ 后,四边形BFEC是 _________ .(友情提示:
我们将根据你所提出问题的难易程度,给予不同的分值.)理由是:
_________ .
4.如图,在矩形ABCD中,AF、BE、CE、DF分别是矩形的四个角的角平分线,E、M、F、N是其交点,求证:
四边形EMFN是正方形.
5.如图,△ABC中,∠ACB=90°,D为AB中点,四边形BCED为平行四边形,DE、AC相交于点F.求证:
(1)点F为AC中点;
(2)试确定四边形ADCE的形状,并说明理由;
(3)若四边形ADCE为正方形,△ABC应添加什么条件?
并证明你的结论.
6.求证:
对角线相等的菱形是正方形.
已知:
四边形ABCD是菱形,且AC=BD(又:
AC,BD互相平分)
求证:
四边形ABCD是正方形.
12.在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B的平分线交于点D,DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F,求证:
四边形CFDE是正方形.
13.已知:
如图,在△ABC是,∠ACB=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为EF,求证:
四边形CFDE是正方形.
14.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F.
(1)试说明△BED≌△CFD;
(2)若∠A=90°,判断四边形AEDF的形状,并说明理由.
15.如图△ABC中,点O是AC上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠GCA的平分线于点F.
(1)说明EO=FO.
(2)当点O运动到何处,四边形AECF是矩形?
说明你的结论.
(3)当点O运动到何处,AC与BC具有怎样的关系时,四边形AECF是正方形?
为什么?
16.如图,在△ABC中,AB=AC,P是边BC的中点,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E
(1)求证:
PD=PE;
(2)DE与BC平行吗?
请说明理由;
(3)请添加一个条件,使四边形ADPE为正方形,并加以证明.
17.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠CAB、∠CBA的平分线交于点D,DE⊥BC于E,DF⊥AC于F,
(1)求∠ADB的度数;
(2)试说明四边形CEDF是什么形状的特殊四边形.
18.证明:
对角线相等的菱形是正方形.
19.已知:
如图,△ABC中,D是BC上任意一点,DE∥AC,DF∥AB.
①试说明四边形AEDF的形状,并说明理由.
②连接AD,当AD满足什么条件时,四边形AEDF为菱形,为什么?
③在②的条件下,当△ABC满足什么条件时,四边形AEDF为正方形,不说明理由.
20.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC垂足分别为E,F.求证:
四边形DEAF是正方形.
21.如图所示,在Rt△ABC中,CF为直角的平分线,FD⊥CA于D,FE⊥BC于E,则四边形CDFE是怎样的四边形,为什么?
22.如图所示,在△ABC中,∠ABC=90°,BD平分∠ABC,DE⊥BC,DF⊥AB.
求证:
四边形BEDF是正方形.
23.如图所示,顺次延长正方形ABCD的各边AB,BC,CD,DA至E,F,G,H,且使BE=CF=DG=AH.
求证:
四边形EFGH是正方形.
24.已知:
如图Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为∠ACB的平分线,DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F.
求证:
四边形CEDF是正方形.
25.如图所示,四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的.
求证:
四边形EFGH是正方形.
26.如图所示,E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、AD的中点,当四边形ABCD满足什么条件时,四边形EFGH为正方形?
并说明理由.
27.已知四边形ABCD中,AB=CD,AC=BD,试添加适当的条件使四边形ABCD成为特殊的平行四边形,并说明理由.
28.如图,已知在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点,且EA=EC.
(1)求证:
四边形ABCD是菱形;
(2)若∠DAC=∠EAD+∠AED,求证:
四边形ABCD是正方形.
29.如图,在△ABC中,点D、E、F分别在BC、AB、AC边上,且DE∥AC,DF∥AB.
(1)如果∠BAC=90°那么四边形AEDF是 _________ 形;
(2)如果AD是△ABC的角平分线,那么四边形AEDF是 _________ 形;
(3)如果∠BAC=90°,AD是△ABC的角平分线,那么四边形AEDF是 _________ 形,证明你的结论(仅需证明第3)题结论)
30.如图,分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形,即△ABD,△BCE,△ACF.请回答下列问题:
(1)说明四边形ADEF是什么四边形?
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形?
(3)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是菱形?
(4)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是正方形?
(5)当△ABC满足什么条件时,以A,D,E,F为顶点的四边形不存在?
(第
(2)(3)(4)(5)题不必说明理由)
矩形的判定30题参考答案:
1.
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO.
∵△ACE是等边三角形,
∴AE=CE.
∴BE⊥AC.
∴四边形ABCD是菱形.
(2)从上易得:
△AOE是直角三角形,
∴∠AEB+∠EAO=90°
∵△ACE是等边三角形,
∴∠EAO=60°,
∴∠AEB=30°
∵∠AEB=2∠EAB,
∴∠EAB=15°,
∴∠BAO=∠EAO﹣∠EAB=60°﹣15°=45°.
又∵四边形ABCD是菱形.
∴∠BAD=2∠BAO=90°
∴四边形ABCD是正方形.
2.
(1)证明:
∵CE、CF分别是△ABC的内外角平分线,
∴∠ACE+∠ACF=
×180°=90°,
∵AE⊥CE,AF⊥CF,
∴∠AEC=∠AFC=90°,
∴四边形AECF是矩形.
(2)答:
当△ABC满足∠ACB=90°时,四边形AECF是正方形,
理由是:
∵∠ACE=
∠ACB=45°,
∵∠AEC=90°,
∴∠EAC=45°=∠ACE,
∴AE=CE,
∵四边形AECF是矩形,
∴四边形AECF是正方形.
3.
(1)故答案为∠AED(1分);BF∥AC(2分);EC(3分);一组对边平行且相等的四边形为平行四边形.
(2)A层次:
(提出问题(1分),说理1分)
添加条件∠C=90°后四边形BFEC为矩形.(5分)
理由:
由
(1)得四边形BFEC为平行四边形,又∠C=90°,即有一个角是直角的平行四边形是矩形.(6分).
B层次:
(提出问题分,说理1分)
添加条件AC=2BC后四边形BFEC为菱形.
理由:
由
(1)得四边形BFEC为平行四边形又知AC=2CE,AC=2BC,所以EC=BC,即一组邻边相等的平行四边形是菱形.
C层次:
(提出问题(3分),说理3分)
添加条件∠C=90°且AC=2BC时四边形BFEC为正方形.(7分)
理由:
由
(1)得四边形BFEC为平行四边形,又∠C=90°,即有一个角是直角的平行四边形是矩形,所以此时四边形BFEC为矩形,又因为AC=2CE,AC=2BC,所以EC=BC,一组邻边相等的矩形是正方形,所以此时四边形BFEC为正方形.
4.∵四边形ABCD是矩形,
∴四个内角均为90°,
∵AF,BE,CE,DF分别是四个内角的平分线,
∴∠EBC=∠ECB=45°,
∴△EBC为等腰直角三角形,
∴∠E=90°,
同理∠F=∠EMF=∠ENF=90°,
∴四边形MFNE为矩形,
∵AD=BC,∠E=∠F=90°,∠DAF=∠EBC=45°,
∴△DAF≌△CBE(AAS)
∴AF=BE,
∵AM=BM,
∴AF﹣AM=BE﹣BM,即FM=EM,
∴四边形MFNE是正方形.
5.
(1)∵四边形DBEC是平行四边形,
∴DE∥BC,
∵D为AB中点,
∴DF为△ABC的中位线,
即点F为AC的中点;
(2)∵平行四边形BDEC,
∴CE平行等于BD.
∵D为AB中点,
∴AD=BD,
∴CE平行且等于AD,
∴四边形ADCE为平行四边形,
又∵AD=CD=BD,
∴四边形ADCE为菱形;
(3)应添加条件AC=BC.
证明:
∵AC=BC,D为AB中点,
∴CD⊥AB(三线合一的性质),即∠ADC=90°.
∵四边形BCED为平行四边形,四边形ADCE为平行四边形,
∴DE=BC=AC,∠AFD=∠ACB=90°.
∴四边形ADCE为正方形.(对角线互相垂直且相等的四边形是正方形)
6.∵四边形ABCD是菱形,
∴四边形ABCD也是平行四边形,
又∵AC=BD(且AC,BD互相平分),
∴四边形ABCD也为矩形,
又∵四边形ABCD是菱形,
∴四边形ABCD是正方形.
7.∵DE平分∠ADE,EF⊥AD,EF⊥AD,
∴EF=EG,
∵DE=DE,
∴△DEF≌△DGE(HL),
∴∠DEF=∠EDG,∠DEG=∠EDF,
∴FE∥DG,GE∥DF,
∴四边形EFDG是平行四边形,
∵∠EFD=90°,
∴四边形EFDG是矩形,
∵EF=EG,
∴四边形EFDG是正方形.
8.Ⅰ)法1:
答:
当四边形PEMF为矩形时,
矩形ABCD的长是宽的2倍.
证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠D=90°,AB=DC,
又∵AM=DM,
∴△AMB≌△DMC(SAS)
∴∠AMB=∠DMC
∵四边形PEMF为矩形,
∴∠BMC=90°,
∴∠AMB=∠DMC=45°
∴AM=DM=DC,即AD=2DC.
∴当四边形PEMF为矩形时,矩形ABCD的长是宽的2倍;
法2:
∵四边形PEMF为矩形,
∴∠M为直角,
∴B、C、M三点共圆,BC为直径,
又∵M为AD的中点,
∴BC=2CD,
∴当四边形PEMF为矩形时,矩形ABCD的长是宽的2倍.
(Ⅱ)答:
当点P运动到BC中点时,四边形PEMF变为正方形.
∵△AMB≌△DMC,
∴MB=MC.
∵四边形PEMF为矩形,
∴PE∥MB,PF∥MC
又∵点P是BC中点,
∴PE=PF=
MC
∴四边形PEMF为正方形.
9.
(1)证明:
∵DE⊥AC,DF⊥AB,
∴∠BFD=∠CED=90°,
在Rt△BDF和Rt△CDE中,
,
∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL);
(2)答:
四边形AFDE是正方形.
证明:
∵∠A=90°,DE⊥AC,DF⊥AB,
∴四边形AFDE是矩形,
又∵Rt△BDF≌Rt△CDE,
∴DF=DE,
∴四边形AFDE是正方形
10.∵∠CED是△BCE的外角,∠AED是△ABE的外角,
∴∠CED=∠CBE+∠BCE,∠AED=∠BAE+∠ABE,
∵∠BAE=∠BCE,∠AED=∠CED,
∴∠CBE=∠ABE,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°,AB=CD,
∴∠CBE=∠ABE=45°,
∴△ABD与△BCD是等腰直角三角形,
∴AB=AD=BC=CD,
∴四边形ABCD是正方形.
11.
(1)证明:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°,
又∵D是BC中点,AB=AC,
∴BD=CD,
在△BFD与△CED中,
∴△BED≌△CFD(AAS),
∴DE=DF.
(2)解:
当△ABC为等腰直角三角形时,
则有AE=DE=DF=AF,四边形AEDF为菱形,
又∵∠A=90°,
∴菱形AEDF为正方形
12.过点D作DG⊥AB,垂足为G,
∵∠CFD=∠CED=∠C=90°,
∴四边形CEDF是矩形.
∵AD,BD分别是∠CAB,∠CBA的平分线,
∴DF=DG,DG=DE.
∴DF=DE.
∴四边形CFDE是正方形.
13.∵∠ACB=90°,DE⊥BC,DF⊥AC,
∴四边形CFDE是矩形.
又∵CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,
∴DE=DF.
∴四边形CFDE是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).
14.
(1)∵在△ABC中,AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵D为BC边的中点,
∴BD=CD.
在△BED与△CFD中,
∵
,
∴△BED≌△CFD(AAS);
(2)四边形AEDF是正方形.理由如下:
∵∠DEB=90°,∠A=90°,
∴∠DEB=∠A,
∴AF∥ED.
同理,AE∥FD,
∴四边形AEDF是矩形.
又由
(1)知,△BED≌△CFD,
∴ED=FD,
∴矩形AEDF是正方形
15.
(1)∵MN∥BC,
∴∠ECB=∠CEO,∠GCF=∠CFO,
∵CE,CF分别为∠BCA,∠GCA的角平分线,
∴∠ECB=∠ECO,∠GCF=∠OCF,
∴∠CEO=∠ECO,∠CFO=∠OCF,
∴OC=OE,OC=OF,
∴OE=OF,
(2)当O点运动到AC的中点时,四边形AECF为矩形,
理由:
∵O点为AC的中点,
∴OA=OC,
∵OE=OF,OC=OE=OF,
∴OA=OC=OE=OF,
∴AC=EF,
∴四边形AECF是矩形,
(3)当O点运动到AC的中点时,AC⊥BC时,四边形AECF是正方形,
理由:
∵O点为AC的中点,
∴OA=OC,
∵OE=OF,OC=OE=OF,
∴OA=OC=OE=OF,
∴AC=EF,
∵AC⊥BC,MN∥BC,
∴AC⊥EF,
∴四边形AECF是正方形.
16.1)证明:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵PD⊥AB,PE⊥AC,
∴∠PDB=∠PEC=90°,
∵P是BC的中点,
∴BP=PC,
即∠BDP=∠PEC=90°,∠B=∠C,PB=PC,
∴△PDB≌△PEC,
∴PD=PE.
(2)答:
DE∥BC,
理由是:
∵△PDB≌△PEC,
∴BD=CE,
∵AB=AC,
∴
=
,
∴DE∥BC.
(3)答:
当∠A=90°时,使四边形ADPE为正方形,
证明:
∵∠A=∠ADP=∠AEP=90°,
∴四边形ADPE是矩形,
∵AB=AC,BD=CE,
∴AD=AE,
∴矩形ADPE是正方形,
即当∠A=90°时,使四边形ADPE为正方形.
17.
(1)∵△ABC是直角三角形,∠C=90°,
∴∠CAB+∠CBA=90°,
∴∠DAB+∠DBA=
(∠CAB+∠CBA)=
×90°=45°,
∴∠ADB=180°﹣45°=135°;
(2)四边形CEDF是正方形.
过D作DG⊥AB于G,
∵AD、BD是∠CAB、∠CBA的平分线,
∴DF=DG,DE=DG,
∴DF=DE,
∵△ABC是直角三角形,∠C=90°,DE⊥BC于E,DF⊥AC于F,
∴四边形CEDF是正方形.
18.连接AC、BD相交于O
∵菱形ABCD
∴OA=OC=
AC,OB=OD=
BD
∵AC=BD
∴OA=OB
∵OA⊥OB(菱形的对角线互相垂直)
∴∠OAB=∠OBA=45°
同理∠OBC=∠OCB=45°
∴∠OBA+∠OBC=90°
∴∠ABC=90°
∴ABCD是正方形.
19.①∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF为平行四边形;
②∵四边形AEDF为菱形,
∴AD平分∠BAC,
则AD平分∠BAC时,四边形AEDF为菱形;
③由四边形AEDF为正方形,∴∠BAC=90°,
∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可
20.∵DE⊥AB,DF⊥AC
∴∠AED=90°,∠AFD=90°
∵∠BAC=90°
∴∠EDF=90°
∴□AEDF是矩形
在△BDE和△CDF中
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∵DE⊥AB,DF⊥AC
∴∠DEB=∠DFC
又∵D是BC的中点
∴BD=DC
∴△BDE≌△CDF
∴DE=DF
∴□AEDF是正方形
21.四边形CDFE是正方形
理由如下:
∵FD⊥AC,FE⊥BC,AC⊥BC
∴四边形CDFE是矩形
∵CF平分∠ACB
∴∠FCD=45°
∴CD=DF
∴四边形CDFE是正方形
22.∵∠ABC=90°,DE⊥BC,DF⊥AB,
∴∠BFD=∠BED=∠ABC=90°.
∴四边形BEDF为矩形.
又∵BD平分∠ABC,DE⊥BC,DF⊥AB,
∴DF=DE.
∴矩形BEDF为正方形.
23.∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=DA,∠EBF=∠HAE=∠GDH=∠FCG,
又∵BE=CF=DG=AH,
∴CG=DH=AE=BF
∴△AEH≌△CGF≌△DHG,
∴EF=FG=GH=HE,∠EFB=∠HEA,
∴四边形EFGH为菱形,
∵∠EFB+∠FEB=90°,∠EFB=∠HEA,
∴∠FEB+∠HEA=90°,
∴四边形EFGH是正方形.
24.∵CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠DFC=90°,∠DEC=90°,
又∵∠ACB=90°,
∴四边形DECF是矩形,
∵DE=DF,
∴矩形DECF是正方形.
25.∵矩形的ABCD的外角都是直角,HE,EF都是外角平分线,
∴∠BAE=∠ABE=45°.
∴∠E=90°.
同理,∠F=∠G=90°.
∴四边形EFGH为矩形.
∵AD=BC,∠HAD=∠HDA=∠FBC=∠FCB=45°,
∴△ADH≌△BCF(AAS).
∴AH=BF.
又∵∠EAB=∠EBA,
∴AE=BE.
∴AE+AH=EB+BF,即EH=EF.
∴矩形EFGH是正方形.
26.四边形ABCD满足AC=BD,AC⊥BD时,四边形EFGH为正方形.
理由如下:
∵E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、AD的中点,
∴EF∥AC,且EF=
AC,
EH∥BD,且EH=
BD,
∵四边形EFGH是正方形,
∴EF=EH,EF⊥EH,
∴AC=BD,AC⊥BD,
∴四边形ABCD满足对角线互相垂直且相等时,四边形EFGH是正方形.
即四边形ABCD满足AC=BD,AC⊥BD时,四边形EFGH为正方形.
27.本题答案不唯一,以下是其中两种解法:
(1)添加条件AB∥DC,可得出该四边形是矩形;
理由:
∵AB∥DC,AB=DC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形.
(2)添加条件AC垂直平分BD,那么该四边形是正方形.
理由:
∵AC垂直平分BD,
∴AB=AD,BC=CD.
∵AB=DC,
∴AB=AD=BC=DC.
∴四边形ABCD是菱形.
∵AC垂直BD,
∴四边形ABCD是正方形.
28.
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO=
AC,
∵EA=EC,
∴EO⊥AC,
即BD⊥AC,
∴平行四边形ABCD是菱形;
(2)∵∠1=∠EAD+∠AED,∠DAC=∠EAD+∠AED,
∴∠1=∠DAC,
∴AO=DO,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC=2AO,DB=2DO,
∴AC=BD,
∴四边形ABCD是正方形.
29.
(1)∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形,
又∵∠BAC=90°,
∴四边形AEDF是矩形;
(2)∵DE∥AC,DF∥AB,
∴∠ADE=∠DAF,四边形AEDF是平行四边形,
又∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠DAE=∠DAF,
∴∠ADE=∠DAE,
∴AE=DE,
∴▱AEDF是菱形;
(3)由
(1)知四边形AEDF是矩形,由
(2)知四边形AEDF是菱形,所以四边形AEDF是正方形.
30.
(1)四边形ADEF是平行四边形.
∵等边三角形BCE和等边三角形ABD,
∴BE=BC,BD=BA.
又∵∠DBE=60°﹣∠ABE,∠ABC=60°﹣∠ABE,
∴∠DBE=∠ABC.
在△BDE和△BCA中
,
∴△BDE≌△BCA.(2分)
∴DE=AC.
∵在等边三角形ACF中,AC=AF,
∴DE=AF.
同理DA=EF.
∴四边形ADEF是平行四边形.
(2)当∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形.(5分)
理由:
∵∠DAF=360°﹣∠DAB﹣∠BAC﹣∠CAF=90°,
∴▱ADEF是矩形.
(3)当AB=AC,或∠ABC=∠ACB=15°时,四边形ADEF是菱形.(6分)
理由:
∵AB=AC,
∴AD=AF,
∴▱ADEF是菱形.
(4)当∠BAC=150°且AB=AC,或∠ABC=∠ACB=15°时,四边形ADEF是正方形.(7分)
(5)当∠BAC=60°时,以A,D,E,F为顶点的四边形不存在.(8分)
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