高二文科数学函数及导数试题及答案.docx
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高二文科数学函数及导数试题及答案
恩施市一中2017年春季高二周考试题
文科数学2017年2月26日
一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)
1.“lgx>lgy”是“>”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2.命题“∀x∈[0,+∞),x3+x≥0”的否定是( )
A.∀x∈(-∞,0),x3+x<0B.∀x∈(-∞,0),x3+x≥0
C.∃x0∈[0,+∞),x+x0<0D.∃x0∈[0,+∞),x+x0≥0
3.抛物线y=4x2上一点到直线y=4x-5的距离最短,则该点坐标为( )
A.(1,2)B.(0,0)C.D.(1,4)
4.设f(x)为可导函数,且满足=-1,则曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线的斜率是( )
A.1B.-1C.D.-2
5.命题甲:
对任意x∈(a,b),有f′(x)>0;命题乙:
f(x)在(a,b)内是单调递增的.则甲是乙的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( )
A.[0,)B.[,)C.(,]D.[,π)
7.函数f(x)=x3-3x(|x|<1)( )
A.有最大值,但无最小值B.有最大值,也有最小值
C.无最大值,但有最小值D.既无最大值,也无最小值
8.已知f′(x)是f(x)的导函数,f′(x)的图象如图所示,则f(x)的图象只可能是( )
9.已知f(x)=x2+2xf′(2014)+2014lnx,则f′(2014)=( )
A.2015 B.-2015C.2014D.-2014
10.若函数f(x)=在[-2,2]上的最大值为2,则a的取值范围是( )
A.B.C.(-∞,0]D.
11.已知a≤+lnx对任意x∈恒成立,则a的最大值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
12.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为( )
A.(-1,1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞)
二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)
13.已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是________.
14.函数f(x)=ex(sinx+cosx)在区间上的值域为________.
15.如果函数f(x)=2x2-lnx在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是________.
16.已知f(x)=x3+x2f′
(1)+3xf′(-1),则f′
(1)+f′(-1)的值为________.
三、解答题(共6小题,共70分)
17.(满分10分)
(1)求过曲线y=sinx上点P且与过这点的切线垂直的直线方程.
(2)已知点P(-1,1),点Q(2,4)是曲线y=x2上的两点,求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程.
18.(满分12分)设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明:
曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.
19.(满分12分)已知函数f(x)=x2+lnx.
(1)求函数f(x)在[1,e]上的最大、最小值;
(2)求证:
在区间[1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)=x3的图象的下方.
20.(满分12分)已知f(x)是二次函数,不等式f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12.
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在自然数m,使得方程f(x)+=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根?
若存在,求出所有m的值;若不存在,请说明理由.
21.(满分12分)某商品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件.如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位:
元,0≤x≤30)的平方成正比,已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件.
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数;
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?
22.(满分12分)已知函数f(x)=x2-alnx在(1,2]上是增函数,g(x)=x-a在(0,1]上为减函数.
(1)求f(x),g(x)的表达式;
(2)求证:
当x>0时,方程f(x)=g(x)+2有唯一解;
(3)当b>-1时,若f(x)≥2bx-在x∈(0,1]内恒成立,求b的取值范围.
答案解析
1.【答案】A
【解析】若lgx>lgy成立,则>一定成立;而当>成立时,例如x=1,y=0,此时lgx>lgy不成立.
2.【答案】C
【解析】“∀x∈[0,+∞),x3+x≥0”是含有全称量词的命题,其否定是“∃x0∈[0,+∞),x+x0<0”,
3.【答案】C
【解析】因为y=4x2与y=4x-5不相交,设与y=4x-5平行的直线方程为y=4x+m.
则⇒4x2-4x-m=0.①
设此直线与抛物线相切有Δ=0,
即Δ=16+16m=0,∴m=-1.
将m=-1代入①式,x=,y=1,
所求点的坐标为.
4.【答案】B
【解析】∵=-1,
∴=-1,
∴f′
(1)=-1.
5.【答案】A
【解析】f(x)=x3在(-1,1)内是单调递增的,但f′(x)=3x2≥0(-1 6.【答案】D 【解析】∵y=,∴y′=. 令ex+1=t,则ex=t-1且t>1, ∴y′==-. 再令=m,则0 ∴y′=4m2-4m=4(m-)2-1,m∈(0,1). 容易求得-1≤y′<0,∴-1≤tanα<0,得π≤α<π. 7.【答案】D 【解析】f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,所以f(x)在(-1,1)上是单调递减函数,无最大值和最小值,故选D. 8.【答案】D 【解析】从f′(x)的图象可以看出,在区间内,导数递增;在区间内,导数递减.即函数f(x)的图象在内越来越陡峭,在内越来越平缓. 9.【答案】B 【解析】f′(x)=x+2f′(2014)+,所以f′(2014)=2014+2f′(2014)+,即f′(2014)=-(2014+1)=-2015. 10.【答案】D 【解析】当x≤0时,f′(x)=6x2+6x,易知函数f(x)在(-∞,0]上的极大值点是x=-1,且f(-1)=2,故只要在(0,2]上,eax≤2即可,即ax≤ln2在(0,2]上恒成立,即a≤在(0,2]上恒成立,故a≤ln2. 11.【答案】A 【解析】设f(x)=+lnx,则f′(x)=+=.当x∈时,f′(x)<0, 故函数f(x)在上单调递减;当x∈(1,2]时,f′(x)>0,故函数f(x)在(1,2]上单调递增, ∴f(x)min=f (1)=0,∴a≤0,即a的最大值为0. 12.【答案】B 【解析】设m(x)=f(x)-(2x+4),则m′(x)=f′(x)-2>0,∴m(x)在R上是增函数. ∵m(-1)=f(-1)-(-2+4)=0, ∴m(x)>0的解集为{x|x>-1},即f(x)>2x+4的解集为(-1,+∞). 13.【答案】(-∞,2ln2-2] 【解析】函数f(x)=ex-2x+a有零点,即方程ex-2x+a=0有实根,即函数g(x)=2x-ex,y=a有交点,而g′(x)=2-ex,易知函数g(x)=2x-ex在(-∞,ln2)上递增,在(ln2,+∞)上递减,因而g(x)=2x-ex的值域为(-∞,2ln2-2],所以要使函数g(x)=2x-ex,y=a有交点,只需a≤2ln2-2即可. 14.【答案】 【解析】∵x∈,∴f′(x)=excosx≥0, ∴f(0)≤f(x)≤f,即≤f(x)≤e. 15.【答案】1≤k< 【解析】显然函数f(x)的定义域为(0,+∞),y′=4x-=. 由y′>0,得函数f(x)的单调递增区间为; 由y′<0,得函数f(x)的单调递减区间为, 由于函数在区间(k-1,k+1)上不是单调函数, 所以解得1≤k<. 16.【答案】- 【解析】∵f′(x)=3x2+2f′ (1)x+3f′(-1), ∴ 由①②得f′(-1)=-,f′ (1)=. ∴f′(-1)+f′ (1)=-. 17.【答案】 (1)2x+y--=0. (2)4x-4y-1=0 【解析】 (1)∵y=sinx,∴y′=cosx, 曲线在点P处的切线斜率是: y′|x==cos=. ∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为-, 故所求的直线方程为y-=-, 即2x+y--=0. (2)∵y′=(x2)′=2x,设切点为M(x0,y0), 则y′|x=x0=2x0, 又∵PQ的斜率为k==1,而切线平行于PQ, ∴k=2x0=1,即x0=, 所以切点为M. ∴所求的切线方程为y-=x-,即4x-4y-1=0. 18.【答案】 (1)由7x-4y-12=0得y=x-3. 当x=2时,y=,∴f (2)=,① 又f′(x)=a+,∴f′ (2)=,② 由①,②得解之得. 故f(x)=x-. (2)证明 设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y′=1+知 曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=(1+)(x-x0), 即y-(x0-)=(1+)(x-x0). 令x=0得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为(0,-). 令y=x得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0). 所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为|-||2x0|=6. 故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6. 【解析】 19. 【答案】 (1) 由f(x)=x2+lnx得f′(x)=′=x+,在[1,e]上,f′(x)>0, 所以函数f(x)是增函数. 所以f(x)max=f(e)=e2+1; f(x)min=f (1)=. (2)证明 设F(x)=f(x)-g(x)=x2+lnx-x3, 则F′(x)=x+-2x2=, 因为x>1,所以F′(x)<0. 所以函数F(x)在[1,+∞)上是减函数. 又F (1)=-, 所以在[1,+∞)上,有F(x)<0,即f(x) 所以在区间[1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)=x3的图象的下方. 【解析】 20.【答案】 (1)f(x)=2x2-10x(x∈R). (2)存在唯一的自然数m=3,使得方程f(x)+=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根 【解析】 (1)∵f(x)是二次函数,且f(x)<0的解集是(0,5), ∴可设f(x)=ax(x-5)(a>0). ∴f(x)在区间[-1,4]上的最大值是f(-1)=6a. 由已知,得6a=12,∴a=2, ∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(x∈R). (2)方程f(x)+=0等价于方程2x3-10x2+37=0 设h(x)=2x3-10x2+37, 则h′(x)=6x2-20x=2x(3x-1
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