七年级数学知识点梳理最新整理.docx
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七年级数学知识点梳理最新整理
第一章代数初步知识.-1-
1.代数式.........................................................................................................-1-
2.列代数式的几个注意事项:
........................................................................-1-
3.几个重要的代数式:
(m、n表示整数)..................................................-1-
第二章有理数......................................................................................................-2-
2.1知识框架............................................................................................-2-
2.2有理数和无理数..................................................................................-2-
2.2.1有理数.......................................................................................-2-
2.2.2无理数.......................................................................................-2-
2.2.3补充...........................................................................................-3-
2.3数轴......................................................................................................-3-
2.3.2比较大小(补充)...................................................................-3-
2.4绝对值和相反数..................................................................................-4-
2.4.1绝对值.......................................................................................-4-
2.4.2相反数.........................................................................................-4-
2.5有理数运算..........................................................................................-4-
2.5.1有理数加减法法则:
...............................................................-4-
2.5.2有理数乘除法法则:
...............................................................-5-
2.5.3乘方...........................................................................................-5-
第三章代数式......................................................................................................-7-
3.1知识框架..............................................................................................-7-
3.2知识梳理..............................................................................................-7-
3.2.1代数式.......................................................................................-7-
3.2.2同类项.....................................................................................-7-
第四章一元一次方程.......................................................................................-9-
4.1知识框架..............................................................................................-9-
4.2知识梳理..............................................................................................-9-
4.2.1知识点解释...............................................................................-9-
4.2.2一元一次方程运用...................................................................-9-
第五章走进图形世界.....................................................................................-11-
5.1知识框架............................................................................................-11-
5.2知识梳理............................................................................................-11-
5.2.1投影.........................................................................................-11-
5.2.3视图.........................................................................................-11-
第六章平面图形.............................................................................................-12-
6.1线段、射线、直线............................................................................-12-
6.2角........................................................................................................-13-
6.3相交线................................................................................................-14-
6.4平行线................................................................................................-14-
6.5平移....................................................................................................-15-
6.6三角形................................................................................................-15-
第七章幂的运算.-17-
第八章整式乘法与因式分解.........................................................................-18-
8.1整式的乘法........................................................................................-18-
8.2整式的除法........................................................................................-18-
8.3分解因式...........................................................................................-18-
第十章二元一次方程.....................................................................................-19-
10.1知识框架..........................................................................................-19-
10.2二元一次方程..................................................................................-19-
10.3三元一次方程..................................................................................-19-
第十一章一元一次不等式.............................................................................-21-
11.1知识梳理..........................................................................................-21-
11.2一元一次不等式组..........................................................................-21-
第十二章证明.................................................................................................-22-
12.1知识框架..........................................................................................-22-
12.2知识梳理..........................................................................................-22-
第一章代数初步知识
1.代数式:
用运算符号“+-×÷……”连接数及表示数的字母的式子称为代数式(字母所取得数应保证它所在的式子有意义,其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义;单独一个数或一个字母也是代数式)
2.列代数式的几个注意事项:
(1)数与字母相乘,或字母与字母相乘通常使用“·”乘,或省略不写;
(2)数与数相乘,仍应使用“×”乘,不用“·”乘,也不能省略乘号;
(3)数与字母相乘时,一般在结果中把数写在字母前面,如a×5应写成5a;
(4)
带分数与字母相乘时,要把带分数改成假分数形式,如a×11应写成3a;
22
(5)在代数式中出现除法运算时,一般用分数线将被除式和除式联系,如3÷a
写成3的形式;
a
(6)a与b的差写作a-b,要注意字母顺序;若只说两数的差,当分别设两数为a、b
时,则应分类,写做a-b和b-a.
3.几个重要的代数式:
(m、n表示整数)
(1)a与b的平方差是:
a2-b2;a与b差的平方是:
(a-b)2;
(2)若a、b、c是正整数,则两位整数是:
10a+b,则三位整数是:
100a+10b+c;
(3)若m、n是整数,则被5除商m余n的数是:
5m+n;偶数是:
2n,奇数是:
2n+1;三个连续整数是:
n-1、n、n+1;
(4)若b>0,则正数是:
a2+b,负数是:
-a2-b,非负数是:
a2,非正数是:
-a2.
第二章有理数
2.1知识框架
2.2有理数和无理数
正有理数
有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数
正无理数
无理数无限不循环小数负无理数
2.2.1有理数
(1)凡能写成q(p,q为整数且p≠0)形式的数,都是有理数。
正整数、0、负整数统称p
整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数。
注意:
0即不是正数,也不是负数;-a不一定是负数,+a也不一定是正数;π不是有理数;
(2)有理数的分类:
⎧⎧正整数⎧⎧正整数
⎪正有理数⎨正分数
⎪整数⎪零
⎪
有理数⎨零
⎪
⎩
⎧负整数
B、有理数⎪
⎪
⎨
⎪⎩负整数
⎧正分数
⎪负有理数⎨负分数
⎪分数⎨负分数
⎩⎩⎩⎩
2.2.2无理数
无理数:
无限不循环小数称为无理数。
在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一关键点,归纳起来有四类:
(1)开方开不尽的数,如7,32等(注:
开根号后续将会学到);
(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π
π
的数,如+8等;
3
(3)有特定结构的数,如0.1010010001…等;
(4)某些三角函数,如sin60o等
2.2.3补充
整数:
正整数,0和负整数。
正整数和0统称自然数。
能被2整除的整数称为偶数,被2除余1的整数叫作奇数。
分数:
可以写成两个整数之比的不是整数的数,叫做分数。
分数都可以转化为有限小数或循环小数。
反之,有限小数或循环小数都可
以转化为分数。
实数:
有理数和无理数统称为实数。
实数与有理数和无理数之间的关系可见下图:
⎧
⎪
⎪
⎪分分分
分分⎨
⎪
⎪
⎪
⎪⎩分分分
⎧
⎪
⎪分分
⎨
⎪
⎪分分
⎪⎩
⎧分分分
⎪
⎨0
⎩
⎪分分分
⎧分分分
⎨
⎩分分分
2.3数轴
2.3.1数轴:
规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。
原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。
数轴上的点和实数的对应关系:
数轴上的每一个点都表示一个实数,而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。
实数和数轴上的点是一一对应的关系。
2.3.2比较大小(补充)
(1)正数的绝对值越大,这个数越大;
(2)正数永远比0大,负数永远比0小;
(3)正数大于一切负数;
(4)两个负数比大小,绝对值大的反而小;
(5)数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大;
(6)大数-小数>0,小数-大数<0。
常用比较方法:
(1)数轴比较:
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。
(2)求差比较:
设a、b是实数,
a-b>0⇔a>b,
a-b=0⇔a=b,a-b<0⇔a
(3)
求商比较法:
设a、b是两正实数,a>1⇔a>b;a=1⇔a=b;a<1⇔a
bbb
(4)绝对值比较法:
设a、b是两负实数,则a>b⇔a
(5)平方法:
设a、b是两负实数,则a2>b2⇔a
2.4绝对值和相反数
2.4.1绝对值
绝对值:
在数轴上表示一个数的点与原点的距离,叫做这个数的绝对值。
设数轴上原点为O,点A表示的数为a,则OA=a,
设数轴上点A表示的数为a,点B表示的数为b,则AB=a-b
一个正数的绝对值等于它本身,一个负数的绝对值等于它的相反数,0的绝对值为0。
反过来,绝对值等于它本身的数为非负数(正数或0),绝对值等于它的相反数为非正数(负数或0)。
绝对值可表示为:
a
⎧⎪a
⎨0
⎪⎩-a
(a>0)
(a=0)或a
(a<0)
=⎧a
⎩
(a≥0)
(a<0)
2.4.2相反数
相反数:
符号不同,绝对值相等的两个数互为相反数。
0的相反数是0。
在数轴上互为相反数的两个数表示的点,分居在原点两侧,并且到原点的距
离相等。
相反数等于本身的数只有0。
如果a+b=0⇔a、b互为相反数。
2.5有理数运算
2.5.1有理数加减法法则:
加法法则:
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
(2)异号两数相加,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;
(3)一个数与0相加,仍得这个数。
有理数加法的运算律:
(1)加法的交换律:
a+b=b+a
(2)加法的结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
减法法则:
减去一个数,等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b)
2.5.2有理数乘除法法则:
有理数乘法法则:
(1)两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘;
(2)任何数同零相乘都得零;
(3)几个数相乘,有一个因式为零,积为零;各个因式都不为零,积的符号由负因式的个数决定.
有理数乘法的运算律:
(1)乘法的交换律:
ab=ba;
(2)乘法的结合律:
(ab)c=a(bc);
(3)乘法的分配律:
a(b+c)=ab+ac.
除法法则:
除以一个数等于乘以这个数的倒数。
注意:
(1)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
0除以任何不等于0的数都等于0,
(2)除以一个数等于乘以这个数的倒数。
(3)乘积为1的两个数互为倒数。
0没有倒数,倒数等于本身的数是±1.
(4)0不能做除数,也不能做分母。
2.5.3乘方
求相同因数的乘积的运算,叫作乘方。
相同因数叫作底数,因数的个数叫作指数,乘方的结果叫作幂。
平方等于本身的是0或1,立方等于本身的数是0,±1.平方等于64的数是±8.
立方等于64的数是4。
正数的任何次幂都是正数;负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数。
负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数。
注意:
当n为正奇数时:
(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n,当n为正偶数时:
(-a)n=an
或(a-b)n=(b-a)n
2.5.4科学记数法
设N>10,则N=a×10n(其中1≤a<10,n为正整数,n=N的整数位数—1)。
注:
有效数字:
从左边第一个不为零的数字起,到精确的位数止,所有数字,都
叫这个近似数的有效数字。
有理数的运算顺序:
先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号里的。
无论何种运算,都要注意先定符号后运算。
第三章代数式
3.1知识框架
3.2知识梳理
3.2.1代数式
代数式:
用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
单独的一个数或一个字母也是代数式。
单项式:
像x、7、2x2y,这种数与字母的积叫做单项式。
单独一个数或字母也是单项式。
单项式的次数:
一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
单项式的系数:
单项式中的数字因数叫单项式的系数。
注意:
单项式是由系数、字母、字母的指数构成的,其中系数不能用带分数表示,
如-41
3
a2b,这种表示就是错误的,应写成-13
3
a2b。
一个单项式中,所有字母
的指数的和叫做这个单项式的次数。
如-5a3b2c是6次单项式。
多项式:
几个单项式的和叫做多项式。
其中每个单项式叫做这个多项式的项。
多项式中不含字母的项叫做常数项。
多项式中次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数。
单项式和多项式统称整式。
用数值代替代数式中的字母,按照代数式指明的运算,计算出结果,叫做代数式的值。
注意:
(1)求代数式的值,一般是先将代数式化简,然后再将字母的取值代入。
(2)求代数式的值,有时求不出其字母的值,需要利用技巧,“整体”代入。
3.2.2同类项
同类项:
所有字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
几个常数项也是同类项。
合并同类项:
把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母及字母的指数不变。
合并同类项的依据是乘法分配律。
去括号法则:
(1)括号前是“+”,把括号和它前面的“+”号一起去掉,括号里各项都不
变号。
(2)括号前是“﹣”,把括号和它前面的“﹣”号一起去掉,括号里各项都变号。
整式的加减:
实际上就是合并同类项,在运算时,如果遇到括号,先去括号,再
合并同类项。
第四章一元一次方程
4.1知识框架
4.2知识梳理
4.2.1知识点解释
方程:
含有未知数的等式叫做方程。
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