函数单调性相关英文文献.docx
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函数单调性相关英文文献
翻译资料
Themonotonicityofthefunction
函数的单调性也叫函数的增减性。
函数的单调性是对某个区间而言的,它是一个局部概念。
定义
Definition
一般地,设函数f(x)的定义域为I:
Ingeneral,afunctionf(x)domainofI:
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1>x2时都有f(x1)≥f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数(另一种说法为单调不减函数)。
如果f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是严格增函数(另一种说法是增函数)。
IfforanybelongstosomeintervalIonthetwovariablesx1,X2,whenx1>x2isf(x1)≥f(x2).Thenf(x)inthisintervalisanincreasingfunctionof(anotherargumentismonotonenondecreasingfunction).Iff(x1)>f(x2),thenf(x)inthisintervalisstrictlyincreasingfunction(anotherstoryistheincreasingfunction).
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1>x2时都有f(x1)≤f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数(另一种说法为单调不增函数)。
如果f(x1) IfforanybelongstosomeintervalIonthetwovariablesx1,X2,whenx1>x2isf(x1)≤f(x2)f(x).Itisinthisintervalisadecreasingfunctionof(anothertermformonotonenonincreasingfunction).Iff(x1) 为了回避歧义,下文采取单调不减函数,严格增函数,单调不增函数,严格减函数等术语。 Inordertoavoidambiguity,belowthemonotonenondecreasingfunctions,strictlyincreasingfunction,monotonenonincreasingfunction,strictlydecreasingfunctionsuchasterminology. Nature 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数。 那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y=f(x)的单调区间,在单调区间上增函数的图像是上升的,减函数的图像是下降的。 Ifthefunctiony=f(x)inacertainintervalistheincreasingfunctionordecreasingfunction.Thensaidthefunctiony=f(x)isintherangeof(strict)monotonicity,thisintervaliscalledy=f(x)monotoneinterval,imageenhancementfunctionsinmonotoneintervalisrising,imagereductionfunctionisdeclining. 注意: Becareful. 函数的单调性也叫函数的增减性; Themonotonicityofthemonotonicityofthefunctionisalsocalledfunction; 函数的单调性是对某个区间而言的,它是一个局部概念。 Themonotonicityofthefunctiononanintervalisconcerned,itisalocalconcept. Extension 在数学中在有序集合之间的函数是单调(monotone)的,如果它们保持给定的次序。 这些函数最先出现在微积分中后来推广到序理论中更加抽象结构中。 尽管概念一般是一致的,两个学科已经发展出稍微不同的术语。 在微积分中,我们经常说函数是单调递增和单调递减的,在序理论中偏好术语单调和反单调或序保持和序反转。 Inmathematicsfunctionintheorderedsetismonotone(monotone),iftheykeepthegivenorder.Thesefunctionsappearfirstincalculusandlaterextendedtoordertheoryinmoreabstractstructure.Althoughtheconceptisgenerallyconsistent,twosubjectshaddevelopedaslightlydifferentterminology.Incalculus,weoftensaythatthefunctionismonotoneincreasinganddecreasingmonotone,preferenceterminologymonotonicinordertheoryandtheantimonotoneororderpreservingandorderreversal. 一般定义 Definition 设 Set f: P→Q F: P→Q 是在两个带有偏序≤的集合P和Q之间的函数。 在微积分中,它们是带有平常次序的实数集的子集之间的函数,但是定义仍保持同更一般的序理论定义一样。 IsthefunctionbetweenthetwowithapartiallyorderedsetPandQ≤.Incalculus,whichisafunctionwiththeusualordersubsetofrealnumberset,butstillmaintainthesameordertheorydefinitiondefinitionismoregeneral. 函数f是单调的,如果只要x≤y,则f(x)≤f(y)。 因此单调函数保持次序关系。 Thefunctionfismonotone,ifx≤y,f(x)≤f(Y).Sokeeptheorderrelationofmonotonefunction. Monotonicityofcalculusandrealanalysis 在微积分中,经常不需要诉诸序理论的抽象方法。 如上所述,函数通常是按自然次序排序的实数集的子集之间的映射。 Incalculus,oftendonotneedtoresorttoordertheoryAbstractmethod.Asmentionedabove,thefunctionisusuallyamappingbetweenasubsetofrealnumbersaresortedbythenaturalorderset.. 受在实数上的单调函数的图的形状的启发,这种函数也叫做单调递增的(或"非递减"的)。 类似的,函数叫做单调递减的(或"非递增"的),如果只要x<y,则f(x)≥f(y),就说它反转了次序。 Inspiredbythemonotonefunctioninrealontheshapeofthegraphofthefunction,alsocalledamonotoneincreasing(or"nondecreasing").Similarly,thefunctioniscalledmonotonedecreasing(or"nonincremental"),iftheX<y,f(x)≥f(y),itreversestheorderof. 如果把定义中的次序≥替换为严格次序>,则得到了更严格的要求。 有这样性质的函数叫做严格递增的。 还有通过反转序符号,可以得到对应的严格递减。 严格递增或递减的函数是一一映射(因为<math>a<b</math>蕴涵<math>a\neqb</math>)。 Iftheorder≥definitionwithstrictsequence>,aremorestringentrequirements.Havethefunctionofsuchnatureisstrictlyincreasing.Andbyreversingtheorderofsymbols,strictlydecreasingcangetthecorresponding.Functionofincreasingordecreasingstrictoneonemapping(because<math>a<b</math>math>a\neqcontains<b</math>). 要避免把术语非递减和非递增混淆于严格递增和严格递减。 Toavoidthetermnondecreasingandnonincreasingconfusioninstrictlyincreasingandstrictlydecreasing. Inthetheoryofmonotonesequence 在序理论中,不限制于实数集合,可以考虑任意偏序集合甚至是预序集合。 在这些情况下上述定义同样适用。 但是要避免术语"递增"和"递减",因为一旦处理的不是全序的次序就没有了吸引人的图像动机。 进一步的,严格关系<和>在多数非全序的次序中很少使用,因此不介入它们的额外术语。 Inordertheory,notlimitedtothesetofrealnumber,canconsiderarbitrarypartiallyorderedsetsandevenpreorderedset.Canalsobeusedinthesecasestheabovedefinition.Buttoavoidtheterm"progressive"and"decline",becauseoncethetreatmentisnottotallyorderedsequenceisnoimagemotivationattractive.Further,thestrictrelationof<and>arerarelyusedinmostnonorderorder,sodonotinterveneintheadditionaltermsoftheir. 单调(monotone)函数也叫做isotone或序保持函数。 对偶概念经常叫做反单调、antitone或序反转。 因此,反单调函数f满足性质x≤y蕴涵f(x)≥f(y), Monotone(monotone)functionisalsocalledIsotoneororderpreservingfunction.Dualconceptoftencalledtheantimonotone,antitoneorsequentialinversion.Therefore,theantimonotonefunctionfsatisfiesthepropertiesofX≤ycontainsf(x)≥f(Y), 对于它的定义域中的所有x和y。 容易看出两个单调函数的复合也是单调的。 ForallxandYdomaininits.Easytoseethatthecompoundtwomonotonefunctionisalsomonotone. 常数函数是单调的也是反单调的;反过来,如果f是单调的也是反单调的,并且如果f的定义域是格,则f必定是常量函数。 Constantfunctionismonotonicandantimonotonic;conversely,iftheFismonotonicandantimonotonic,andifthedomainfisalattice,thenfmustbeaconstantfunction. 单调函数是序理论的中心。 它们大量出现于这个主题的文章和在这些地方的找到的应用中。 著名的特殊单调函数是序嵌入(x≤y当且仅当f(x)≤f(y)的函数)和序同构(双射序嵌入)。 Monotonefunctioniscentraltothetheoryoforder.Theyappearinlargenumbersinthethemeofthearticleandfoundintheseplacesin.Monotonefunctionisfamousorderembedding(x≤yifandonlyiff(x)≤f(y)function)andorderisomorphism(bijectiveorderembedding). Functionofintervaleditor Features (1)函数单调性的几何特征: 在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的。 (1)thegeometriccharacteristicsofthemonotonicityofthefunction: themonotoneintervalfunction,imageenhancementisrising,imagesubtractionfunctionisdeclining. "当x1 "Whenx1 "当x1 "Whenx1 几何解释: 递增等价于函数图象从左到右逐渐上升;递减等价于函数图象从左到右逐渐下降。 Ageometricinterpretation: theincrementisequivalenttothefunctionoftheimagefromlefttorightgraduallydiminishing;equivalenttothefunctionoftheimagefromlefttorightgraduallydeclined. (2)函数单调性是针对某一个区间而言的,是一个局部性质。 (2)monotonefunctionisdirectedatacertaininterval,isalocalproperty. 有些函数在整个定义域内是单调的;有些函数在定义域内的部分区间上是增函数,在部分区间上是减函数;有些函数是非单调函数,如常数函数。 Somefunctionismonotonicinthewholedomain;partintervalinthedomainofsomefunctionisincreasingfunction,inpartontheintervalisadecreasingfunction;somefunctionisanonmonotonicfunction,suchastheconstantfunction. 函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质,具有任意性,不能用特殊值代替。 Monotonicityoffunctionisafunctioninamonotoneintervalonthe"whole"innature,isarbitrary,cannotusethespecialvalueinsteadof. 注: 在单调性中有如下性质。 Note: thefollowingpropertiesinthemonotonicity. 1.f(x)与f(x)+a具有相同单调性; 1.f(x)andf(x)+ahasthesamemonotonicity; 2.f(x)与a*f(x)在a>0时有相同单调性,当a<0时,具有相反单调性; 2.f(x)anda*f(x)havethesamemonotonicitywasina>0,whena<0,havingoppositemonotonicity; 3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数时,若f(x)*g(x)都恒大于零,则同为增(减)函数;若两者都恒小于零,则都是减(增)函数。 3whenf(x),G(x)isincreasing(decreasing)function,iff(x)*g(x)isaconstantgreaterthanzero,arethesameasforincreasing(decreasing)function;ifbothconstantislessthanzero,itisdecreasing(increasing)function. Operationalproperties 1.两个增函数之和仍为增函数; 1twoincreaseinfunctionandisstillincreasingfunction; 2.增函数减去减函数为增函数; 2minusthereductionfunctionofincreasingfunctionforincreasingfunction; 3.两个减函数之和仍为减函数; 3tworeductionfunctionandisstilldecreasingfunction; 4.减函数减去增函数为减函数; 4minusfunctionminusincreasingfunctionasadecreasingfunction; 另外还有: Inadditionto: 函数值在区间内同号时,增(减)函数的倒数为减(增)函数。 Functionvalueintheintervalnumberwithincreasing(decreasing)function,thereciprocalisreducing(increasing)function. Judgingmethodofediting 图象观察 Imageobservation Thedefinitionofproof 利用定义证明函数单调性的步骤: Usingthemonotonicityofthefunctiondefinitionthatsteps: ①任意取值: 即设x1、x2是该区间内的任意两个值,且x1 Thearbitraryvalue: letx1,X2beanyintherangeoftwovalues,andthex1 ②作差变形: 作差f(x2)-f(x1),并因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形; Thedifferenceofdeformation: asf(x2)-f(x1),andfactorization,formula,rationalmethodssuchasdifferentialtohelpdeterminethesignofthedifferenceinthedirectionofdeformation; ③判断定号: 确定f(x2)-f(x1)的符号; Thejudgesetnumber: F(x2)-f(x1)symbols; ④得出结论: 根据定义作出结论(若差>0,则为增函数;若差<0,则为减函数) Theconclusionis: makeaconclusionaccordingtothedefinition(ifthedifferenceof>0,istheincreasingfunction;ifthedifferenceof<0,isadecreasingfunction) 即“任意取值——作差变形——判断定号——得出结论”。 "Anyvalue--differencedeformation--judgment--conclusionno.". Derivativemethod 利用导数公式进行求导,然后判断导函数和0的大小关系,从而判断增减性,导函数值大于0,说明是严格增函数,导函数值小于0,说明是严格减函数,前提是原函数必须是连续的。 Thederivationusingderivativeformula,andthendeterminetheguidingfunctionand0sizerelations,soastojudgemonotonicity,guidefunctionvalueisgreaterthan0
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