新人教版第11章全等三角形三四五教案.docx
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新人教版第11章全等三角形三四五教案
三角形全等的条件(三)
Ⅰ.提出问题,创设情境
1.复习:
(1)三角形中已知三个元素,包括哪几种情况?
三个角、三个边、两边一角、两角一边.
(2)到目前为止,可以作为判别两三角形全等的方法有几种?
各是什么?
三种:
①定义;②SSS;③SAS.
2.在三角形中,已知三个元素的四种情况中,我们研究了三种,今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢?
Ⅱ.导入新课
问题1:
三角形中已知两角一边有几种可能?
1.两角和它们的夹边.
2.两角和其中一角的对边.
问题2:
三角形的两个内角分别是60°和80°,它们的夹边为4cm,你能画一个三角形同时满足这些条件吗?
将你画的三角形剪下,与同伴比较,观察它们是不是全等,你能得出什么规律?
将所得三角形重叠在一起,发现完全重合,这说明这些三角形全等.
提炼规律:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
问题3:
我们刚才做的三角形是一个特殊三角形,随意画一个三角形ABC,能不能作一个△A′B′C′,使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢?
①先用量角器量出∠A与∠B的度数,再用直尺量出AB的边长.
②画线段A′B′,使A′B′=AB.
③分别以A′、B′为顶点,A′B′为一边作∠DA′B′、∠EB′A,使∠D′AB=∠CAB,∠EB′A′=∠CBA.
④射线A′D与B′E交于一点,记为C′
即可得到△A′B′C′.
将△A′B′C′与△ABC重叠,发现两三角形全等.
两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
思考:
在一个三角形中两角确定,第三个角一定确定.我们是不是可以不作图,用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢?
探究问题4:
如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,△ABC与△DEF全等吗?
能利用角边角条件证明你的结论吗?
证明:
∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°
∠A=∠D,∠B=∠E
∴∠A+∠B=∠D+∠E
∴∠C=∠F
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF(ASA).
两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
[例]如下图,D在AB上,E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.
求证:
AD=AE.
[分析]AD和AE分别在△ADC和△AEB中,所以要证AD=AE,只需证明△ADC≌△AEB即可.
证明:
在△ADC和△AEB中
所以△ADC≌△AEB(ASA)
所以AD=AE.
Ⅲ.随堂练习
Ⅳ.课时小结
至此,我们有五种判定三角形全等的方法:
1.全等三角形的定义
2.判定定理:
边边边(SSS)边角边(SAS)角边角(ASA)角角边(AAS)
推证两三角形全等时,要善于观察,寻求对应相等的条件,从而获得解题途径.
三角形全等的条件---直角三角形全等的判定(四)
Ⅰ.提出问题,复习旧知
1、判定两个三角形全等的方法:
、、、
2、如图,Rt△ABC中,直角边是、,
斜边是
3、如图,AB⊥BE于C,DE⊥BE于E,
(1)若∠A=∠D,AB=DE,
则△ABC与△DEF(填“全等”或“不全等”)
根据(用简写法)
(2)若∠A=∠D,BC=EF,
则△ABC与△DEF(填“全等”或“不全等”)
根据(用简写法)
(3)若AB=DE,BC=EF,
则△ABC与△DEF(填“全等”或“不全等”)
根据(用简写法)
(4)若AB=DE,BC=EF,AC=DF
则△ABC与△DEF(填“全等”或“不全等”)
根据(用简写法)
Ⅱ.导入新课
(一)探索练习:
(动手操作):
已知线段a,c(a 利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C=∠ , AB=c,CB=a 1、按步骤作图: ac 1 作∠MCN=∠ =90°, 2在射线CM上截取线段CB=a, ③以B为圆心,C为半径画弧,交射线CN于点A, ④连结AB 2、与同桌重叠比较,是否重合? 3、从中你发现了什么? 斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等.(HL) (二)巩固练习: 1.如图,△ABC中,AB=AC,AD是高, 则△ADB与△ADC(填“全等”或“不全等”) 根据(用简写法) 2.如图,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E、F, (1)若AC//DB,且AC=DB,则△ACE≌△BDF, 根据 (2)若AC//DB,且AE=BF,则△ACE≌△BDF, 根据 (3)若AE=BF,且CE=DF,则△ACE≌△BDF, 根据 (4)若AC=BD,AE=BF,CE=DF。 则△ACE≌△BDF, 根据 (5)若AC=BD,CE=DF(或AE=BF),则△ACE≌△BDF, 根据 3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有() (A)两条直角边对应相等(B)斜边和一锐角对应相等 (C)斜边和一条直角边对应相等(D)两个锐角对应相等 4、如图,B、E、F、C在同一直线上,AF⊥BC于F,DE⊥BC于E, AB=DC,BE=CF,你认为AB平行于CD吗? 说说你的理由 答: 理由: ∵AF⊥BC,DE⊥BC(已知) ∴∠AFB=∠DEC=°(垂直的定义) 在Rt△和Rt△中 ∴≌() ∴∠=∠() ∴(内错角相等,两直线平行) 5、如图,广场上有两根旗杆,已知太阳光线AB与DE是平行的,经过测量这两根旗杆在太阳光照射下的影子是一样长的,那么这两根旗杆高度相等吗? 说说你的理由。 课时小结 至此,我们有六种判定三角形全等的方法: 1.全等三角形的定义 2.边边边(SSS) 3.边角边(SAS) 4.角边角(ASA) 5.角角边(AAS) 6.HL(仅用在直角三角形中) §13.3角的平分线的性质 (一) 教学目标 1、应用三角形全等的知识,解释角平分线的原理. 2.会用尺规作一个已知角的平分线. 教学重点 利用尺规作已知角的平分线. 教学难点 角的平分线的作图方法的提炼. 教学过程 Ⅰ.提出问题,创设情境 问题1: 三角形中有哪些重要线段. 问题2: 你能作出这些线段吗? Ⅱ.导入新课 在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题: 在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON,MC⊥OA,NC⊥OB.MC与NC交于C点. 求证: ∠MOC=∠NOC. 通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC,即可证明∠MOC=∠NOC,所以射线OC就是∠AOB的平分线. 受这个题的启示,我们能不能这样做: 在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON,再分别过M、N作MC⊥OA,NC⊥OB,MC与NC交于C点,连接OC,那么OC就是∠AOB的平分线了. 思考: 这个方案可行吗? (学生思考、讨论后,统一思想,认为可行) 议一议: 下图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗? 要说明AC是∠DAC的平分线,其实就是证明∠CAD=∠CAB. ∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中,那么证明这两个三角形全等就可以了. 看看条件够不够. 所以△ABC≌△ADC(SSS). 所以∠CAD=∠CAB. 即射线AC就是∠DAB的平分线. 作已知角的平分线的方法: 已知: ∠AOB. 求作: ∠AOB的平分线. 作法: (1)以O为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA、OB于M、N. (2)分别以M、N为圆心,大于 MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB内部交于点C. (3)作射线OC,射线OC即为所求. 议一议: 1.在上面作法的第二步中,去掉“大于 MN的长”这个条件行吗? 2.第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗? 总结: 1.去掉“大于 MN的长”这个条件,所作的两弧可能没有交点,所以就找不到角的平分线. 2.若分别以M、N为圆心,大于 MN的长为半径画两弧,两弧的交点可能在∠AOB的内部,也可能在∠AOB的外部,而我们要找的是∠AOB内部的交点,否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了. 3.角的平分线是一条射线.它不是线段,也不是直线,所以第二步中的两个限制缺一不可. 4.这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明. 练一练: 任意画一角∠AOB,作它的平分线. 探索活动 按以下步骤折纸 1、在准备好的三角形的每个顶点上标好字母;A、B、C。 把角A对折,使得这个角的两边重合。 2、在折痕(即平分线)上任意找一点C, 3、过点C折OA边的垂线,得到新的折痕CD,其中,点D是折痕与OA的交点,即垂足。 4、将纸打开,新的折痕与OB边交点为E。 角平分线的性质: 角平分线上的点到角的两边的距离相等. 下面用我们学过的知识证明发现: 如图,已知AO平分∠BAC,OE⊥AB,OD⊥AC。 求证: OE=OD。 Ⅲ.随堂练习 课本P22练习. 练后总结: 平角∠AOB的平分线OC与直线AB垂直.将OC反向延长得到直线CD,直线CD与AB也垂直. Ⅳ.课时小结 本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识,探究得到了角平分线仪器的操作原理,由此归纳出角的平分线的尺规画法,并进一步探究到角平分线的性质. Ⅴ.课后作业 1.课本P22习题11.3─1、2. 课后作业: <<课堂感悟与探究>> 思考 1.在一节数学课上,老师要求同学们练习一道题,题目的图形如图所示,图中的BD是∠ABC的平分线,在同学们忙于画图和分析题目时,小明同学忽然兴奋地大声说: “我有个发现! ”原来他自己创造了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法.他的方法是这样的,在AB上取点E,使BE=BC,然后画DE⊥AB交AC于D,那么BD就是∠ABC的平分线. 有的同学对小明的画法表示怀疑,你认为他的画法对不对呢? 请你来说明理由. 板书设计 §13.3角的平分线的性质 一、角平分线仪器的操作原理 二、角平分线的尺规画法: 1.以O为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA、OB于M、N. 2.分别以M、N为圆心,大于 MN长为半径作弧.两弧在∠AOB内部交于C点. 3.连接OC,射线OC即为所求. 三、角平分线的性质. §13.3.2角的平分线的性质 (二) 教学目标 1、角的平分线的性质 2.会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”. 3.能应用这两个性质解决一些简单的实际问题. 教学重点 角平分线的性质及其应用. 教学难点 灵活应用两个性质解决问题. 教学过程 Ⅰ.创设情境,引入新课 拿出课前准备好的折纸与剪刀,剪一个角,把剪好的角对折,使角的两边叠合在一起,再把纸片展开,看到了什么? 把对折的纸片再任意折一次,然后把纸片展开,又看到了什么? 分析: 第一次对折后的折痕是这个角的平分线;再折一次,又会出现两条折痕,而且这两条折痕是等长的.这种方法可以做无数次,所以这种等长的折痕可以折出无数对. Ⅱ.导入新课 角平分线的性质即已知角的平分线,能推出什么样的结论. 折出如图所示的折痕PD、PE. 画一画: 按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕,并度量所画PD、PE是否等长? 投影出下面两个图形,让学生评一评,以达明确概念的目的. 结论: 同学乙的画法是正确的.同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线,而不是过角平分线上一点作两边的垂线段,所以他的画法不符合要求. 问题1: 如何用文字语言叙述所画图形的性质吗? [生]角平分线上的点到角的两边的距离相等. 问题2: 能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话.请填下表: 已知事项: OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,D、E为垂足. 由已知事项推出的事项: PD=PE. 于是我们得角的平分线的性质: 在角的平分线上的点到角的两边的距离相等. [师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢? (出示投影) 问题3: 根据下表中的图形和已知事项,猜想由已知事项可推出的事项,并用符号语言填写下表: [生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件,所以Rt△PEO≌△PDO(HL).于是可得∠PDE=∠POD. 由已知推出的事项: 点P在∠AOB的平分线上. 由此我们又可以得到一个性质: 到角的两边距离相等的点在角的平分线上.这两个性质有什么联系吗? 分析: 这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换. 思考: 如图所示,要在S区建一个集贸市场,使它到公路、铁路距离相等,离公路与铁路交叉处500m,这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1: 20000)? 1.集贸市场建于何处,和本节学的角平分线性质有关吗? 用哪一个性质可以解决这个问题? 2.比例尺为1: 20000是什么意思? 结论: 1.应该是用第二个性质.这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上,并且要求离角的顶点500米处. 2.在纸上画图时,我们经常在厘米为单位,而题中距离又是以米为单位,这就涉及一个单位换算问题了.1m=100cm,所以比例尺为1: 20000,其实就是图中1cm表示实际距离200m的意思.作图如下: 第一步: 尺规作图法作出∠AOB的平分线OP. 第二步: 在射线OP上截取OC=2.5cm,确定C点,C点就是集贸市场所建地了. 总结: 应用角平分线的性质,就可以省去证明三角形全等的步骤,使问题简单化.所以若遇到有关角平分线,又要证线段相等的问题,我们可以直接利用性质解决问题. 例题与练习 例如图,△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证: 点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 分析: 点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离,也就是说要证: PD=PE=PF.而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线,根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题. 证明: 过点P作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,垂足为D、E、F. 因为BM是△ABC的角平分线,点P在BM上. 所以PD=PE. 同理PE=PF. 所以PD=PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 练习: 1.课本P107练习. 2.课本P108习题13.3─2. 强调: 条件充足的时候应该直接利用角平分线的性质,无须再证三角形全等. .课时小结 今天,我们学习了关于角平分线的两个性质: ①角平分线上的点到角的两边的距离相等;②到角的两边距离相等的点在角的平分线上.它们具有互逆性,随着学习的深入,解决问题越来越简便了.像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题,我们可以直接利用角平分线的性质,而不必再去证明三角形全等而得出线段相等. Ⅴ.课后作业 1、课本习题13.3─3、4、5题. 2、《课堂感悟与探究》
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